高等数学第二章——导数与微分.pptx

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1、会计学1高等数学第二章高等数学第二章导数导数(do sh)与微与微分分4第一页，共20页。一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程二、由参数方程(fngchng)所确定函所确定函数的导数数的导数第1页/共20页第二页，共20页。定义定义(dngy):(dngy):. )(0),(,0),(xfyyxFyxyxF 函数函数该区间内确定了一个隐该区间内确定了一个隐在在那么就说方程那么就说方程值存在值存在的的唯一唯一的的相应地总有满足这方程相应地总有满足这方程间内的任一值时间内的任一值时取某区取某区当当中中设在方程设在方程.)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐

2、函数隐函数(hnsh)的的显化显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?第2页/共20页第三页，共20页。隐函数隐函数(hnsh)(hnsh)求导法则求导法则: :应用复合函数求导法则直接对方程应用复合函数求导法则直接对方程 两边关于两边关于x求导求导,在求导过程在求导过程(guchng)中视中视y为为x的函的函数，数，即把即把y视为中间变量视为中间变量.( , )0F x y 第3页/共20页第四页，共20页。例例1 100,.xyxxyeedydyydxdx 求由方程所确定的隐函数求由方程所确定的隐函数的导数的导数解解要特别注意要特别注意(zh y)在

3、求导的过程中，视在求导的过程中，视 y = f (x)是是x的函的函数数.:求求导导方方程程两两边边对对 x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 第4页/共20页第五页，共20页。例例2 2.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0

4、yx代入代入.16110 yxy第5页/共20页第六页，共20页。解解例例3 321(arcsin ).1xx 用隐函数求导法验证：第6页/共20页第七页，共20页。例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23xxxexxxyx等式两边等式两边(lingbin)取取对数得对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求求导导得得上上式式两两边边对对x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设第7页/共20页第八页，共20页。例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边等式两边(lingbin)取取对数得对数得xxylnsi

5、nln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 xxxxyy1sinlncos)sinln(cossinxxxxxx 第8页/共20页第九页，共20页。一般一般(ybn)地地)0)()()()( xuxuxfxv( )( ) ( )( ) ln ( )( )( )fxv x u xv xu xf xu x)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 第9页/共20页第十页，共20页。方法方法(fngf(fngf):):先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数然后利用隐函数(hnsh)的求的求导方

6、法求出导数导方法求出导数.-对数对数(du sh)求导法求导法适用范围适用范围: :总结例总结例4 4、例、例5 5如下如下: :()( ).v xu x多多个个函函数数相相乘乘、除除及及幂幂指指函函数数的的情情形形第10页/共20页第十一页，共20页。1. 设设tan3ln22(sin ),(2)xxxxyxxx 求求.y 1y2y提示提示: 分别分别(fnbi)用对数用对数求导法求求导法求12,.yy答案答案(d (d n)n)12yyytan2(sin )(seclnsin1)xxxx 212ln3(2)3(2)xxxxx练习练习(linx(linx)3ln212(2)xxxx 第11页

7、/共20页第十二页，共20页。2. 2. 设设( )yy x 由方程由方程(fngchng)yexye确定确定(qud(qudng), ng), (0),y 解解 求求(0).y 第12页/共20页第十三页，共20页。二、由参数方程二、由参数方程(fngchng)所确定的函数所确定的函数的导数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如(lr) ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数(cnsh)问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消

8、参如何求导?t第13页/共20页第十四页，共20页。),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数由复合函数(hnsh)及反函数及反函数(hnsh)的求导法则得的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx 第14页/共20页第十五页，共20页。,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx )(22dxdydxddxyd dxdtttdtd )()( )(1)()()()()(2tt

9、tttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即( )( )dtdxt( )1( )dtdxdttdt第15页/共20页第十六页，共20页。例例6 6解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 ()ddydtdt dxdx第16页/共20页第十七页，共20页。.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮

10、炮弹弹在在时时刻刻的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻求求其其运运动动方方程程为为发发射射炮炮弹弹发发射射角角以以初初速速度度不不计计空空气气的的阻阻力力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt例例7 7解解第17页/共20页第十八页，共20页。)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0

11、ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 第18页/共20页第十九页，共20页。小结小结(xioji)隐函数隐函数(hnsh)(hnsh)求导法则求导法则: : 直接对方程两边关于直接对方程两边关于x x求导求导; ;对数对数(du sh)(du sh)求导法求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数(du sh),(du sh),按隐函数的求导法则求导按隐函数的求导法则求导; ;参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则.第19页/共20页第二十页，共20页。