【精品】2019高考数学二轮复习第二部分专题四立体几何满分示范课理.pdf

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1、试题、试卷、习题、复习、教案精选资料1专题四立体几何满分示范课【典例】(满分 12 分)(2017 全国卷)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBC12AD，BADABC90，E是PD的中点(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角M-AB-D的余弦值 规范解答(1)取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EFAD，EF12AD，由BADABC90得BCAD，3 分又BC12AD，所以EF綉BC，四边形BCEF是平行四边形，CEBF，4 分又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故C

2、E平面PAB.6 分(2)由已知得BAAD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，3)，PC(1，0，3)，AB(1，0，0).8分试题、试卷、习题、复习、教案精选资料2设M(x，y，z)(0 x1)，则BM(x1，y，z)，PM(x，y1，z3)因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n(0，0，1)是底面ABCD的一个法向量，所以|cos BM，n|sin 45，|z|（x1）2y2z222，即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，设PMPC，则x，y1，z33

3、.由解得x122，y1，z62(舍去)，x122，y1，z62，所以M122，1，62，从而AM 122，1，62.9 分设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则mAM0，mAB 0，即（22）x02y06z00，x00，所以可取m(0，6，2).10分于是 cosm，nm n|m|n|105.因此二面角M-AB-D的余弦值为105.12 分高考状元满分心得(1)写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全如第(1)问中BCAD，第(2)问中两向量的坐标(2)写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清

4、得分关键点，如第(1)问中一定要写出CE平面PAB证明过程中的三个条件，否则不得分；第(2)问中不写出公式cosn，mm n|m|n|而得出余弦值则要扣1 分 解题程序 第一步：由平面几何性质及公理4，得CEBF；第二步：根据线面平行的判定定理，证CE平面PAB；第三步：建立空间坐标系，写出相应向量的坐标；试题、试卷、习题、复习、教案精选资料3第四步：由线面角，向量共线求点M，确定M的位置；第五步：求两个平面的法向量，求二面角的余弦值；第六步：检验反思，规范解题步骤 跟踪训练 1.(2018 全国卷)如图，在三棱锥P-ABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平

5、面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为 30，求PC与平面PAM所成角的正弦值(1)证明：因为APCPAC4，O为AC的中点所以OPAC，且OP 23.连接OB，因为ABBC22AC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB12AC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB，OPAC且OBACO，所以PO平面ABC.(2)解：如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，23)，AP(0，2，23)取平面PAC的一个法向量OB(2，0，0)设M(a

6、，2a，0)(0 a2)，则AM(a，4a，0)试题、试卷、习题、复习、教案精选资料4设平面PAM的法向量为n(x，y，z)由APn0，AMn 0 得2y 23z0，ax（4a）y0，可取n(3(a4)，3a，a)，所以 cosOB，n23（a4）23（a4）23a2a2.由已知可得|cos OB，n|32，所以23|a4|23（a4）23a2a232，解得a 4(舍去)或a43，所以n 833，433，43.又PC(0，2，23)，所以 cosPC，n34.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34.2.(2018 潍坊模拟)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1 4，AB2，AC22，

7、BAC45，点M是棱AA1上不同于A，A1的动点(1)证明：BCB1M；(2)若平面MB1C把此棱柱分成体积相等的两部分，求此时二面角M-B1C-A的余弦值(1)证明：在ABC中，由余弦定理得，BC2482222cos 45 4，所以BC2，则有AB2BC28AC2，所以ABC90，所以BCAB，又因为BCBB1，BB1ABB，所以BC平面ABB1A1，又B1M?平面ABB1A1，试题、试卷、习题、复习、教案精选资料5故BCB1M.(2)由题设知，平面MB1C把此三棱柱分成两个体积相等的几何体为四棱锥C-ABB1M和四棱锥B1-A1MCC1.由(1)知四棱锥C-ABB1M的高为BC2，因为V三

8、棱柱ABC-A1B1C1122248，所以V四棱锥C-ABB1M12V柱4，又V四棱锥C-ABB1M13S梯形ABB1MBC23S梯形ABB1M4，所以S梯形ABB1M6AM422，所以AM2.此时M为AA1中点以点B为坐标原点，BA，BC，BB1的方向为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.所以A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(0，0，4)，M(2，0，2)所以CB1(0，2，4)，B1M(2，0，2)，AC(2，2，0)，设n1(x，y1，z1)是平面CB1M的一个法向量，所以n1CB10，n1B1M0，即2y1 4z10，2x12z10，令z11，可得n1(1，2，1)，设n2(x2，y2，z2)是平面ACB1的一个法向量，所以n2CB10，n2AC0，即2y2 4z20，2x2 2y20，令z21，可得n2(2，2，1)，所以 cosn1，n2n1n2|n1|n2|7367618，试题、试卷、习题、复习、教案精选资料6所以二面角M-B1C-A的余弦值为7618.