((完整版))二次函数专题训练(正方形的存在性问题)含答案-推荐文档.pdf

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1、二次函数专题训练（正方形的存在性）11如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（l，0），B（3，0），与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴相交于点 E，连接 BD（1）求抛物线的解析式（2）若点 P 在直线 BD 上，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标（3）在（2）的条件下，作 PFx 轴于 F，点 M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点 F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点 M 的坐标二次函数专题训练（正方形的存在性）22如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴

2、交于点 C，点 B 坐标为（6，0），点 C 坐标为（0，6），点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 BD（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA=BDE 时，求点 F 的坐标；（3）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MNx 轴与抛物线交于点 N，点 P 在 x 轴上，点 Q 在坐标平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请写出点 Q 的坐标二次函数专题训练（正方形的存在性）33如图，已知抛物线 y=ax2+bx3 过点 A（1，0），B（3，0），点 M、N 为抛物线上的动点，过点 M 作MDy 轴，交

3、直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E过点 N 作 NFx 轴，垂足为点 F（1）求二次函数 y=ax2+bx3 的表达式；（2）若 M 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形 MNFE 为正方形，求该正方形的面积；（3）若 M 点是抛物线上对称轴左侧的点，且DMN=90，MD=MN，请直接写出点 M 的横坐标二次函数专题训练（正方形的存在性）44.(2015 贵州省毕节地区)如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，顶点 M 关于 x 轴的对称点是 M（1）求抛物线的解析式；（2）若直线 AM与此抛物线的另一个交点为 C，求CAB 的面积；（3）是否存

4、在过 A，B 两点的抛物线，其顶点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，使得四边形 APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由二次函数专题训练（正方形的存在性）55.(2016 辽宁省铁岭市)如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标为（6，0），点 C 坐标为（0，6），点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接BD（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA=BDE 时，求点 F 的坐标；（3）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MNx 轴与抛

5、物线交于点 N，点 P 在 x 轴上，点 Q 在平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请直接写出点 Q 的坐标二次函数专题训练（正方形的存在性）66.(2016 广东省茂名市)如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（1，0），B（3，0）两点，且与 y 轴交于点C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 BD（1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点 P 作 PFx 轴于点 F，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线

6、PF 上一动点，当以 F、M、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标二次函数专题训练（正方形的存在性）7二次函数专题训练（正方形的存在性问题）参考答案1如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（l，0），B（3，0），与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴相交于点 E，连接 BD（1）求抛物线的解析式（2）若点 P 在直线 BD 上，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标（3）在（2）的条件下，作 PFx 轴于 F，点 M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点 F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点

7、 M 的坐标【解答】解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），B（3，0），抛物线的解析式为 y=x2+2x3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为 y=x2+2x3；C（0，3），抛物线的顶点 D（1，4），E（1，0），设直线 BD 的解析式为 y=mx+n，直线 BD 的解析式为 y=2x6，设点 P（a，2a6），C（0，3），E（1，0），根据勾股定理得，PE2=（a+1）2+（2a6）2，PC2=a2+（2a6+3）2，PC=PE，（a+1）2+（2a6）2=a2+（2a6+3）2，二次函数专题训练（正方形的存在性）8a=2，y=2（2）6=2，P（2，2），

8、（3）如图，作 PFx 轴于 F，F（2，0），设 M（d，0），G（d，d2+2d3），N（2，d2+2d3），以点 F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形，必有 FM=MG，|d+2|=|d2+2d3|，d=或 d=，点 M 的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）2如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标为（6，0），点 C 坐标为（0，6），点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 BD（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA=BDE 时，求点 F

9、的坐标；（3）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MNx 轴与抛物线交于点 N，点 P 在 x 轴上，点 Q 在坐标平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请写出点 Q 的坐标【解答】解：（1）把 B、C 两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为 y=x2+2x+6，y=x2+2x+6=（x2）2+8，D（2，8）；（2）如图 1，过 F 作 FGx 轴于点 G，设 F（x，x2+2x+6），则 FG=|x2+2x+6|，FBA=BDE，FGB=BED=90，FBGBDE，=，B（6，0），D（2，8），二次函数专题训练（正方形的存在性）9E（2，0），BE=4，DE

10、=8，OB=6，BG=6x，=，当点 F 在 x 轴上方时，有=，解得 x=1 或 x=6（舍去），此时 F 点的坐标为（1，）；当点 F 在 x 轴下方时，有=，解得 x=3 或 x=6（舍去），此时 F 点坐标为（3，）；综上可知 F 点的坐标为（1，）或（3，）；（3）如图 2，设对角线 MN、PQ 交于点 O，点 M、N 关于抛物线对称轴对称，且四边形 MPNQ 为正方形，点 P 为抛物线对称轴与 x 轴的交点，点 Q 在抛物线的对称轴上，设 Q（2，2n），则 M 坐标为（2n，n），点 M 在抛物线 y=x2+2x+6 的图象上，n=（2n）2+2（2n）+6，解得 n=1+或 n

11、=1，满足条件的点 Q 有两个，其坐标分别为（2，2+2）或（2，22）3如图，已知抛物线 y=ax2+bx3 过点 A（1，0），B（3，0），点 M、N 为抛物线上的动点，过点 M 作MDy 轴，交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E过点 N 作 NFx 轴，垂足为点 F（1）求二次函数 y=ax2+bx3 的表达式；（2）若 M 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形 MNFE 为正方形，求该正方形的面积；（3）若 M 点是抛物线上对称轴左侧的点，且DMN=90，MD=MN，请直接写出点 M 的横坐标【解答】解：（1）把 A（1，0），B（3，0）代入 y=ax2+bx3，得：，解得，

12、故该抛物线解析式为：y=x22x3；（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x22x3=（x1）24，该抛物线的对称轴是 x=1，顶点坐标为（1，4）如图，设点 M 坐标为（m，m22m3），其中 m1，二次函数专题训练（正方形的存在性）10ME=|m2+2m+3|，M、N 关于 x=1 对称，且点 M 在对称轴右侧，点 N 的横坐标为 2m，MN=2m2，四边形 MNFE 为正方形，ME=MN，|m2+2m+3|=2m2，分两种情况：当m2+2m+3=2m2 时，解得：m1=、m2=（不符合题意，舍去），当 m=时，正方形的面积为（22）2=248；当m2+2m+3=22m 时，解得：m3=2

13、+，m4=2（不符合题意，舍去），当 m=2+时，正方形的面积为2（2+）22=24+8；综上所述，正方形的面积为 24+8或 248（3）设 BC 所在直线解析式为 y=px+q，把点 B（3，0）、C（0，3）代入表达式，得：，解得：，直线 BC 的函数表达式为 y=x3，设点 M 的坐标为（t，t22t3），其中 t1，则点 N（2t，t22t3），点 D（t，t3），MN=2tt=22t，MD=|t22t3t+3|=|t23t|MD=MN，|t23t|=22t，分两种情况：当 t23t=22t 时，解得 t1=1，t2=2（不符合题意，舍去）当 3tt2=22t 时，解得 t3=，t2

14、=（不符合题意，舍去）综上所述，点 M 的横坐标为1 或二次函数专题训练（正方形的存在性）114.(2015 贵州省毕节地区)如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，顶点 M 关于 x 轴的对称点是 M（1）求抛物线的解析式；（2）若直线 AM与此抛物线的另一个交点为 C，求CAB 的面积；（3）是否存在过 A，B 两点的抛物线，其顶点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，使得四边形 APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据轴对称，可得 M的坐标，根据待定系数法，可得 AM

15、的解析式，根据解方程组，可得 B 点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（3）根据正方形的性质，可得 P、Q 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式解答：解：（1）将 A、B 点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式 y=x22x3；（2）将抛物线的解析式化为顶点式，得 y=（x1）24，M 点的坐标为（1，4），M点的坐标为（1，4），设 AM的解析式为 y=kx+b，将 A、M点的坐标代入，得，解得，AM的解析式为 y=2x+2，联立 AM与抛物线，得，解得，C 点坐标为（5，12）SABC=412=24；（3）存在过 A，B 两点的抛物线，其顶点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，

16、使得四边形 APBQ 为正方形，由 ABPQ 是正方形，A（1，0）B（3，0），得二次函数专题训练（正方形的存在性）12P（1，2），Q（1，2），或 P（1，2），Q（1，2），当顶点 P（1，2）时，设抛物线的解析式为 y=a（x1）22，将 A 点坐标代入函数解析式，得 a（11）22=0，解得 a=，抛物线的解析式为 y=（x1）22，当 P（1，2）时，设抛物线的解析式为 y=a（x1）2+2，将A 点坐标代入函数解析式，得 a（11）2+2=0，解得 a=，抛物线的解析式为 y=（x1）2+2，综上所述：y=（x1）22 或 y=（x1）2+2，使得四边形 APBQ 为正方形5.

17、(2016 辽宁省铁岭市)如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标为（6，0），点 C 坐标为（0，6），点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接BD（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA=BDE 时，求点 F 的坐标；（3）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MNx 轴与抛物线交于点 N，点 P 在 x 轴上，点 Q 在平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请直接写出点 Q 的坐标分析（1）由点 B、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，

18、再利用配方法将抛物线解析式变形成顶点式即可得出结论；（2）设线段 BF 与 y 轴交点为点 F，设点 F的坐标为（0，m），由相似三角形的判定及性质可得出点 F的坐标，根据点 B、F的坐标利用待定系数法可求出直线 BF 的解析式，联立直线 BF 和抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点 F 的坐标；（3）设对角线 MN、PQ 交于点 O，如图 2 所示根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点 P、Q的位置，设出点 Q 的坐标为（2，2n），由正方形的性质可得出点 M 的坐标为（2n，n）由点 M 在抛物线图象上，即可得出关于 n 的一元二次方程，解方程可求出 n 值，代入点 Q 的坐标即

19、可得出结论解答解：（1）将点 B（6，0）、C（0，6）代入 y=x2+bx+c 中，得：，解得：，抛物线的解析式为 y=x2+2x+6二次函数专题训练（正方形的存在性）13y=x2+2x+6=（x2）2+8，点 D 的坐标为（2，8）（2）设线段 BF 与 y 轴交点为点 F，设点 F的坐标为（0，m），如图 1 所示FBO=FBA=BDE，FOB=BED=90，FBOBDE，点 B（6，0），点 D（2，8），点 E（2，0），BE=64=4，DE=80=8，OB=6，OF=OB=3，点 F（0，3）或（0，3）设直线 BF 的解析式为 y=kx3，则有 0=6k+3 或 0=6k3，解得

20、：k=或 k=，直线 BF 的解析式为 y=x+3 或 y=x3联立直线 BF 与抛物线的解析式得：或，解方程组得：或（舍去），点 F 的坐标为（1，）；解方程组得：或（舍去），点 F 的坐标为（3，）综上可知：点 F 的坐标为（1，）或（3，）（3）设对角线 MN、PQ 交于点 O，如图 2 所示点 M、N 关于抛物线对称轴对称，且四边形 MPNQ 为正方形，点 P 为抛物线对称轴与 x 轴的交点，点 Q 在抛物线对称轴上，设点 Q 的坐标为（2，2n），则点 M 的坐标为（2n，n）点 M 在抛物线 y=x2+2x+6 的图象上，n=+2（2n）+6，即 n2+2n16=0，解得：n1=1

21、，n2=1点 Q 的坐标为（2，1）或（2，1）6.(2016 广东省茂名市)】如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（1，0），B（3，0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 BD（1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标；二次函数专题训练（正方形的存在性）14（3）在（2）的条件下，过点 P 作 PFx 轴于点 F，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以 F、M、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点

22、M 的坐标分析（1）利用待定系数法求出过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）连接 PC、PE，利用公式求出顶点 D 的坐标，利用待定系数法求出直线 BD 的解析式，设出点 P 的坐标为（x，2x+6），利用勾股定理表示出 PC2和 PE2，根据题意列出方程，解方程求出 x 的值，计算求出点 P 的坐标；（3）设点 M 的坐标为（a，0），表示出点 G 的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可解答解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（1，0），B（3，0）两点，解得，经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式为 y=x2+2x+3；（2）如图 1，连接 PC、PE，x=1

23、，当 x=1 时，y=4，点 D 的坐标为（1，4），设直线 BD 的解析式为：y=mx+n，则，解得，直线 BD 的解析式为 y=2x+6，设点 P 的坐标为（x，2x+6），则 PC2=x2+（3+2x6）2，PE2=（x1）2+（2x+6）2，PC=PE，x2+（3+2x6）2=（x1）2+（2x+6）2，解得，x=2，则 y=22+6=2，点 P 的坐标为（2，2）；（3）设点 M 的坐标为（a，0），则点 G 的坐标为（a，a2+2a+3），以 F、M、G 为顶点的四边形是正方形，FM=MG，即|2a|=|a2+2a+3|，二次函数专题训练（正方形的存在性）15当 2a=a2+2a+3 时，整理得，a23a1=0，解得，a=，当 2a=（a2+2a+3）时，整理得，a2a5=0，解得，a=，当以 F、M、G 为顶点的四边形是正方形时，点 M 的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）