广义多元风险模型破产时刻的随机模拟分析.pdf

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1、广义多元风险模型破产时刻的随机模拟分析赵晓凡,牛明飞兰州大学 数学与统计学院,甘肃兰州(730000)E-mail:摘要:首先引入一个广义多元复合Poisson风险模型,然后通过分析该风险模型得出一个较易实现的随机模拟算法，接着考虑当索赔额为指数分布时通过一个具体的例子,应用上述算法得到了该风险模型在有限时间内破产时刻的数据,最后通过Matlab软件对上述数据进行分析,而得出它的统计规律.关键词:复合泊松过程;破产时刻;随机模拟;统计分析中图分类号:0211文献标识码:A0引言自从经典风险模型U(t)=+ctPN(t)i=1Xi被建立以来,围绕此模型建立了许多推广的风险模型,本文以参考文献1为

2、基础建立了一个推广的新模型.由于理论上求解风险模型的破产概率、破产赤字及其有限时间内破产时刻分布的困难性,而利用随机模拟的方法则相对比较容易得到近似解.文献2和文献3分别对破产赤字和破产概率进行了随机模拟分析,本文将通过对新引入模型分析,得到一个较易实现的模拟算法,对其在有限时刻内破产时刻进行模拟分析,并最终得到其统计规律.1模型的引入定义1.1U(t)=+nXi=1CiMi(t)N1(t)Xj=1X1j(t)N2(t)Xj=1X2j(t)Nn(t)Xj=1Xnj(t)为广义n元复合Poisson风险模型,R(t)=nXi=1CiMi(t)N1(t)Xj=1X1j(t)N2(t)Xj=1X2j

3、(t)Nn(t)Xj=1Xnj(t)为盈余过程,其中Mi(t);t 0,Ni(t);t 0分别是参数为i,i(i=1,2,n)的Poisson过程,Xij;j=1,2,是独立同分布的非负随机变量序列，其分布函数为Fi(x),均值为i,且假定Mi(t),Ni(t),Xij(i=1,2,n;j 1)相互独立.实际背景:Mi(t)(i=1,2,n)表示在时间段(0,t内保险公司收到第i个险种的保费次数，每次保费收入为常数Ci;Ni(t)(i=1,2,n)表示第i个险种在时间段(0,t内的索赔次数;Xij(j=1,2,)表示第i个险种第j次的索赔额,为初始准备金.为了保证保险公司的稳定经营,假定ER(

4、t)=C11+Cnn 11 nnt 0定义1.2T=inft 0,U(t)t0,则转到1进行下一次的的模拟3如果t=t0,产生服从(0,1)上均匀分布的随机数U;如果U=1/,则R=R+C1;如果(1+2+i)/U=(1+2+(i+1)/,则R=R+C(i+1)(i=1,2,n 1);如果(1+n)/U=(1+n+1)/,则R=RF11();如果(1+n+1+2+j)/U=(1+n+1+2+(j+1)/,则R=R F1(j+1)()(j=1,2,n 1),为服从(0,1)上均匀分布的随机数4如果R=0,令t=t+,是服从参数为的指数分布的随机数,然后转到22http:/ 运行Matlab软件,

5、按照上述算法编制程序然后运行,最后得到破产时刻的数据.这些数据以文件名RuinTime保存起来,然后再打开文件RuinTime.在Matlab命令窗口再输入命令dfittool,调出Distribution Fitting Tool窗口，在此窗口调入已打开文件RuinTime的数据,就可以得到有限时间内破产时刻的频数直方图,以及经验分布图,同时还可以利用Distribution Fitting Tool窗口中的new fit选项卡做十几个常见分布的拟合3结果的分析运行Matlab软件,考虑n=2时,假设保单到达的次数M1(t);t 0,M2(t);t 0分别是参数为0.1,0.2的Poisso

6、n过程,索赔次数N1(t);t 0,N2(t);t 0分别是参数为0.01,0.02的Poisson过程,索赔分布X1j,j 1,X2j,j 1分别服从参数为1/1500,1/2000的指数分布，每次售出的保单收入C1=(1+0.2)0.010.11500=180,C2=(1+0.2)0.020.22000=240,初始准备金=5000,在3000个单位时间内,模拟此风险模型的次数为100000,最后利用模拟后得到的数据获得破产时刻的频率直方图(图1),及在(0,3000时间段内,发生破产的条件下,在各个时间段内的取值情况(表1).05001000150020002500300000.511.

7、522.533.54x 103DataDensity Histogram10987654321编号时间区间频数累积频数频率累积频率(0,300(300,600(600,900(900,1200(1200,1500(1500,1800(1800,2100(2100,2400(2400,2700(2700,30003318186573919233215411034733589451369331814183845757480894963050664513975198652437528060.62840.16390.07420.04420.02920.01960.01390.01120.00850.0

8、0700.62840.79230.86650.91070.93990.95940.97330.98450.99301.0000表1破产时刻在各时间段内的取值图1有限时间内破产时刻的直方图通过图1和表1,可以观测到，在(0,3000这段时间内发生破产的条件下,破产时刻集中分布于从0时刻开始的一段较短时间之内,并且随着时间的发展,在较长一段时间后,破产时刻取值于这段时间后的概率随之急剧的减小,也就意味着在这段时间后发生破产的概率随之减小,这对于保险公司具有一定的指导意义,即在开始的一段时间内,增加初始准备金的量,将减小在这段时间内发生破产的概率.4结论本文所引入的风险模型,由于其理论上求解的复杂性

9、与困难性,而模拟的理论比较直观,易于操作,所以用随机模拟的方法来分析风险模型不失为一种手段.但是,随机模拟也有其缺点:有时为了提高模拟的精度,必须增加模拟的次数,而模拟次数的增加也就意味着模拟时间将成倍的增加,所以通过对具体模型的分析,设计一个既能表现现实模型又能减少模拟次数与时间的算法,也就势在必行.本文正是基于上述思想,根据文中引入的风险模型,设计了一个算法,通过对模拟数据的分析,到的了一些统计规律,对现实具有一定的指导意义.参考文献1 陈新美.二元广义复合双Poisson风险模型下的破产概率J.湘潭大学自然科学学报,2006,28(4):17-21.3http:/ 2 徐怀,唐玲.一个风

10、险模型有限时间内破产赤字分布J.安徽大学学报(自然科学版),2005,29(5):1-3.3 孙立娟,顾岚.保险公司破产概率的估计及随机模拟J.系统工程理论与实践,2000(7):63-68.4 美sheldon M.Ross.统计模拟(英文版第4版)M.人民邮电出版社，2007.5 美sheldon 劳斯.随机过程M.中国统计出版社,2005.The Analsis of Stochastic Simulation For Ruin Time On AGeneralized Mutiple Type-insurance Risk modelZhao Xiao Fan,Niu Ming Fei

11、Lanzhou University School of Mathematics and statistics GansuLanzhou(730000)abstract:Firstly,a generalized mutiple Type-insueance compound Poisson risk model is proposed,thenthe more easily finished algorithm of simulating the risk model is introduced after analysing the riskmodel.When supposing tha

12、t the claim is exponentially distributed,the data of ruin time within finit timeare got by means of simulation.Finally,Matlab soft is used to analyse those data in order to get thestatistical rules.keyword:Compound Poisson Process;Ruin Time;Stochastic Simulating;Satistical Analysis.作者简介:赵晓凡(1982-),河南南阳人,硕士研究生,研究方向:保险精算4http:/