简单市场模型.pdf

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1、简单市场模型简单市场模型贺方毅贺方毅四川大学经济学院四川大学经济学院Fangyi He,School of Economics 2基本概念和假设 假设有两种可交易资产 无风险资产：债券等 风险证券：股票等 本章中我们只考虑两个时刻点：今天，即t=0;未来某个时间，比如一年以后，即t=1。风险证券的头寸(position)是指一个投资者持有的风险证券份额。无风险资产的头寸是指在银行账户中的金额。投资者可选择继续把钱存在银行，也可选择投资债券。Fangyi He,School of Economics 3基本概念和假设 风险证券在时刻t的价格用S(t)表示，当前价格S(0)是已知的，但未来的价格S

2、(1)是未知的。Ks表示收益率，我们用A(t)表示债券在时刻t的价格。债券的当前价格A(0)是已知的，在时刻1的价格A(1)也是已知的，具有确定性。例如，A(1)是由发行债券的机构确保的支付，我们说债券到期时的面值为A(1)。设债券收益率用KA表示，Fangyi He,School of Economics 4基本概念和假设 构建金融证券市场的数学模型需要我们给出一些假设，其目的是为了模型更容易处理。这些假设反应了现实世界的复杂性与数学模型的简化性和局限性之间的一种妥协。假设假设1.1（随机性(Randomness)）未来的股票价格S(1)是随机变量，它至少取两个不同的值。无风险证券的未来价格

3、A(1)是已知数。假设假设1.2（价格的正性）所有股票和债券的价格是严格正的，即Fangyi He,School of Economics 5基本概念和假设 持有x股股票和y份债券的投资者在时刻t时的总财富为向量(x,y)被称为资产组合资产组合(portfolio);V(t)为这个资产组合的价值价值，即，V(t)是投资者在时刻t的财富财富。?资产价格在时间0，1之间的变化决定着资产组合的价值变化，即收益率为Fangyi He,School of Economics 6基本概念和假设Fangyi He,School of Economics 7基本概念和假设Fangyi He,School of

4、 Economics 8基本概念和假设 尽管与实际情况相差甚远，但为了数学上的方便，我们允许资产组合中的风险资产的数量x和无风险资产的数量y为任意实数，包括负数和分数。假设假设1.3（可分性、流动性和卖空）一个投资者持有的股票数量x和债券数量y可以是任何数，即可以是整数、分数、正数、负数或者是零。一般说来，可分性可分性指的是投资者持有的股票数量和债券数量可以是分数。这与一个市场特征-流动性流动性-有关。即，任何资产都可以按照市场价格进行任意数量的买或者卖。Fangyi He,School of Economics 9基本概念和假设 如果在资产组合中持有的某种证券的数量是正的，我们就说投资者拥有

5、多头头寸多头头寸。否则，为空头头寸空头头寸，或者卖空资产卖空资产。无风险证券的空头头寸可能涉及发行和出售债券，实际操作中，通过借入现金更容易达到同样的融资效果，其中利率由债券的价格决定。偿还贷款和利息可以认为是终止终止空头。风险证券（如股票）的空头头寸可以通过卖空卖空来实现。投资者可以借入股票后卖出，利用所得的收益进行其他的投资。股票的所有者仍对股票拥有所有的权利（如获得红利）。Fangyi He,School of Economics 10基本概念和假设 投资者必须有足够的财力来履行合约，特别是能够通过回购股票并归还给股票的所有人以结清风险资产风险资产的空头头寸。类似的，投资者必须总有足够的

6、财力来归还贷款和利息以结清无风险证券无风险证券的空头头寸。假设假设1.4（偿还能力）投资者的财富始终是非负的，即满足上述条件的资产组合被称为是可允许的可允许的(admissible)。?假设假设1.5（离散单位价格）股票的未来价格S(1)为只取有限多个值的随机变量。Fangyi He,School of Economics 11无套利原则 当市场的参与者犯错误时，可能会出现没有初始投资的无风险利润。假设纽约的交易商A以dA=1.62美元兑换1英镑的汇率购买英镑，而交易商B在伦敦以dB=1.60美元兑换1英镑的汇率卖出英镑。一个没有任何初始投资的投资者可获得dA-dB=0.02美分的利润，其方法

7、是，同时取得交易商B的空头头寸和交易商A的多头头寸。投资者的获利需求将迫使交易商调整汇率使得这个可以无风险获得财富的机会消失。Fangyi He,School of Economics 12无套利原则 下面的例子说明了在单期简单框架下没有任何初始投资的投资者获取无风险利润的情况。Fangyi He,School of Economics 13无套利原则 假如一个投资者借入10,000美元（借款利率4%）并从交易商B处转换成6,250英镑（10,000/1.6），然后存入一个银行账户中（利率6%）。一年以后，获得375英镑（6,250*6%）的利息，从交易商A处将总金额6,625英镑转换为10,

8、467.50美元（6625*1.58，根据年初和交易商A签订的协议）。归还贷款以及400美元利息之后，投资商将得到67.50美元的利润。假设假设1.6（无套利原则）不存在初始价值V(0)=0的可允许的资产组合使得V(1)0具有非零概率。换言之，如果一个可允许的资产组合初始价值为零，即V(0)=0，那么V(1)=0的概率为1。Fangyi He,School of Economics 14单期二叉树模型Fangyi He,School of Economics 15单期二叉树模型 一般说来，在二叉树模型中，是按照无套利原则选择股票价格和债券价格。假设在时刻1上涨和下跌的可能的股票价格为其中，Sd

9、Su;0p1。?命题命题1.1 如果S(0)=A(0)，则Sd A(1)0的概率为p0，这个资产组合提供了一个套利机会，违背无套利原则。现在假设如果是这种情况，则在时刻0:卖空1股得到100美元。投资100美元于无风险资产。其结果是，你将持有一个资产组合(x,y)，其中x=-1,y=1,其初始价值仍为零，即V(0)=0这个投资组合的最终价值为Fangyi He,School of Economics 18单期二叉树模型因为，V(1)是非负的，其中第二个值严格为正，即V(1)是非负的随机变量，满足V(1)0的概率为1-p0，再一次出现套利机会，违背无套利原则。?隐含在以上论证中的一般意义的推理是

10、简单易懂的，即买价格低的资产，卖价格高的资产来赚取价差。Fangyi He,School of Economics 19风险和收益 与前面一样，我们假设A(0)=100美元；A(1)=110美元；S(0)=80美元，并且假设你有10,000美元用于资产组合投资。你决定买x=50股股票，在无风险资产上的投资为y=60，那么Fangyi He,School of Economics 20风险和收益 期望收益期望收益(expected return)，即资产组合收益率的数学期望即12%。我们将投资风险风险定义为随机变量Kv的标准差，有即8%。如果x=0，则y=100，即完全投资于无风险资产。在这种情

11、况下，收益率是确定的已知数KA=0.1，即10%，由标准差测量的风险为零，即A=0。另一方面，如果x=125，y=0，则完全投资于股票，于是有Fangyi He,School of Economics 21风险和收益且E(Ks)=0.15,s=0.20,即分别为15%和20%。?如果针对两个期望收益相同的资产组合进行选择，显然，任何投资者都会选择风险更低的。类似的，如果风险水平相同，任何投资者都会选择收益更高的，在这种情况下，高收益与高风险相联系。此时，选择取决于个人的偏好。Fangyi He,School of Economics 22远期合约 远期合约远期合约是在未来指定的时间以现在确定的

12、固定价格购买或者卖出风险资产的协议，指定的时间称为交割日交割日(delivery date)，固定的价格F称为远期价格远期价格(forward price)。将打算购买资产的投资者称为远期合约的多头远期合约的多头，或称持有远期合约多头头寸持有远期合约多头头寸。将打算卖出资产的投资者称为远期合约空头远期合约空头，或称持有远期合约空头头寸持有远期合约空头头寸。在远期合约交易时，没有现金支付。Fangyi He,School of Economics 23远期合约Fangyi He,School of Economics 24远期合约 一般来说，如果资产的未来价格S(1)上升，而且高于远期价格F，那

13、么以时刻1为交割日的持有远期合约多头头寸的投资者将受益。如果资产的未来价格S(1)下跌到远期价格F以下，那么远期合约多头头寸的持有者将遭受损失。一般地，远期合约多头头寸的回报(payoff)为S(1)-F（它可以为正、为负或为零）。远期合约空头头寸的回报为F-S(1)。?除了股票和债券外，一个投资者持有的资产组合可以包含远期合约，此时我们用三元向量(x,y,z)表示资产组合，和以前一样，用x和y表示股票和债券的数量，z为远期合约的数量（多头为正，空头为负）。Fangyi He,School of Economics 25远期合约 因为远期合约交易时没有现金支付，所以这样的资产组合的初始值可以也

14、就是在交割日，投资组合的价值为?远期价格F由无套利原则确定。特别的，对没有持有成本(carrying cost)的资产，F很容易被发现。这种资产的典型例子为不支付红利的股票。（与此对比，商品通常包括存储成本；而持有外币可以获得利息，可以认为是负的持有成本。）Fangyi He,School of Economics 26远期合约 远期头寸保证资产在交割日可以以远期价格F被买进。另外，资产也可以现在被买进然后持有到交割日。然而，如果初始现金支出为零，则必须贷款融资购买，在交割日需要归还的贷款及利息应该等于远期价格。命题1.2表明确实如此。命题命题1.2 假设A(0)=100美元，A(1)=110

15、美元，S(0)=50美元，其中风险证券没有持有成本。那么必然有远期价格F=55美元，否则就存在套利机会。Fangyi He,School of Economics 27远期合约 证明命题1.2如下：假设F55美元。那么在时刻0：借入50美元。以S(0)=50美元的价格买入该资产。持有远期价格为F的远期合约空头头寸，交割日为时刻1。其结果是资产组合(1,-0.5,-1)由股票、无风险头寸和远期合约空头头寸构成，初始价格为V(0)=0，那么在时刻1:终止远期合约空头头寸，以F美元的价格卖出资产。终止无风险资产头寸，支付0.5*110=55美元。则投资组合的终值V(1)=F-550将是你的套利利润，

16、违背无套利原则。Fangyi He,School of Economics 28远期合约另一方面，如果F0，这再一次违背了无套利原则，得出远期价格必须是F=55美元。Fangyi He,School of Economics 29看涨期权和看跌期权 假设A(0)=100美元，A(1)=110美元，S(0)=100美元，且其中0p1。?看涨期权看涨期权（其敲定价敲定价或者施权价施权价为100美元，施权时间为1）是一个合约，这个合约赋予持有者在时刻1以100美元价格购买1股股票的权利（而不是义务）。如果股票价格下跌到施权价以下，则看涨期权没有价值。Fangyi He,School of Econo

17、mics 30看涨期权和看跌期权 在时刻1，如果股价上涨到120美元，看涨期权可以行使权力以赚取股票市场价和施权价之间的差价20美元。因此，看涨期权的回报，即它在时刻1的价值为随机变量而C(0)表示期权在时刻0的价值，即今天购买或者卖出期权的价格。Fangyi He,School of Economics 31看涨期权和看跌期权 注注1.1初看起来，看涨期权类似于远期合约多头，两者都包含在未来某个时间，以预先固定的价格购买一种资产。一个本质的区别是：远期合约多头头寸的持有者承担以固定价格购买资产的义务义务，而看涨期权的持有者有权利权利但没有义务义务这样做。另一个差别是，投资者需要花钱购买看涨期

18、权，而在远期合约交易时不需要任何支付。?在可以利用期权的市场，可以投资由x股股票、y份债券、z份期权构成的资产组合(x,y,z)，在时刻0，该资产组合的价值为Fangyi He,School of Economics 32看涨期权和看跌期权在时刻1，该资产组合的价值为?我们的任务是，在符合市场假设的情况下，特别的，在没有套利机会的条件下，计算看涨期权在时刻0的价格C(0)。期权价格C(0)可以用如下两个步骤解出：步骤步骤1：构造x股股票、y份债券的投资，使得在时刻1，不论股票价格上涨到120美元还是下跌到80美元，资产组合与期权具有同样的价值，即称其为复制复制期权。步骤步骤2：计算时刻0在股票

19、和债券上的投资的价值，证明它必须等于期权的价格，即否则将存在套利机会，这个步骤被称为期权定价期权定价或者估值估值。Fangyi He,School of Economics 33看涨期权和看跌期权 步骤步骤1（复制期权）（复制期权）时刻1在股票和债券上的投资的价值将是因此，两个随机变量的等式可以写为第一个方程对应于股票上涨到120美元；第二个方程对应于股票下跌到80美元。因为我们想使得在股票和债券上的投资在时刻1无论股票上涨和下跌都恰好等于期权的价值，因此这两个同时满足，解出x和y，于是有Fangyi He,School of Economics 34看涨期权和看跌期权为复制期权，我们需要购买

20、股股票和取得空头头寸的债券（或者借入美元现金）。?步骤步骤2（期权定价）（期权定价）我们可以计算在股票和债券上的投资在时间0的价值，即美元。下面的命题证明它必须等于期权的价格。Fangyi He,School of Economics 35看涨期权和看跌期权 命题命题1.3 如果期权可以被上面的投资于股票和债券的资产组合复制，那么，否则，存在套利机会。证明命题1.3如下：假设那么在时刻0：以C(0)美元价格卖出1份期权。借入美元现金（或利用卖出债券取得债券空头头寸）。支付美元购买股股票。该交易的现金余额是正的，即将此金额进行无风险投资。Fangyi He,School of Economics

21、 36看涨期权和看跌期权最终的资产组合包括股票，无风险资产和看涨期权。资产组合的初始价值随后，在时刻1，如果股票上涨，则结算期权，支付市场价和施权价之差20美元；如果股票下跌，没有任何支付。你需要面对-C(1)的现金流。归还贷款和利息（终止债券的空头头寸）。这个现金流将是-=-40 美元。卖出股股票，如果股票上涨得到美元；如果股票下跌得到美元。这些交易的现金流之和为零，即这与股票上涨和下跌无关。但是，投资者将得到初始的无风险投资加上利息带来的利润，因此存在套利机会。Fangyi He,School of Economics 37看涨期权和看跌期权另一方面，如果那么在时刻0：支付C(0)美元买入

22、1份期权。支付美元买入债券。卖空股股票得到美元。这些交易的现金余额是正的，即可以进行无风险投资。用这种方法就可以构造一个资产组合，其初始价值V(0)=0。随后，在时刻1：如果股票上涨，则行驶期权，获得市场价和施权价的差价20美元；如果股票下跌，期权为零。所以期权的收入为C(1)。以美元卖出债券。终止股票空头头寸，支付即如果股票价格上涨，支付美元；如果股票价格下跌，支付美元。Fangyi He,School of Economics 38看涨期权和看跌期权这些交易的现金余额为零，即无论股票上涨还是下跌。但是，投资者可以得到来自无风险投资的加上利息带来的利润，与无套利原则矛盾。?注注1.2注意，股

23、票上涨或下跌的概率p和1-p与定价和复制期权无关。这是该理论的显著特色，不是巧合。?注注1.3在包含多个时期（或者连续时间）的情况下，复制复制是非常繁重的任务。在每一个时期都会发生价格变化，需要即时调整股票和债券的头寸，必须考虑管理和交易的成本。大多数投资者宁愿买卖期权。Fangyi He,School of Economics 39看涨期权和看跌期权 施权价为100美元，施权日为时刻1的看跌期权看跌期权给出了在时刻1以100美元卖出1股股票的权利。如果股票上涨，这种期权就没有任何价值，否则将带来利润，其回报为假设A(0)，A(1)，S(0)，S(1)设定同上，则资产组合概念可以扩展到允许看跌

24、期权头寸。与前面类似，用z表示看跌期权头寸。?看跌期权的复制和定价与看涨期权的模式相同，特别的，看跌期权的价格P(0)等于用股票和债券复制的投资在时刻0的价值。Fangyi He,School of Economics 40看涨期权和看跌期权 注注1.4看跌期权和远期合约空头头寸的相似之处是，两者都包含在将来的某个确定时间，以固定价格卖出资产。本质的不同时，远期合约空头头寸的持有者有义务义务以固定的价格卖出资产；而看跌期权的持有者，有权利权利但没有义务义务卖出资产。而且，想购买看跌期权的投资者将进行支付，但在进行远期合约交易时，没有支付。?一个投资者可能希望同时交易期权和取得远期合约头寸。在这

25、样的情况下，我们用z1,z2,z3,描述资产组合中的这些头寸。这些证券的共同特征是，它们的回报取决于股票价格（衍生证券衍生证券）。Fangyi He,School of Economics 41用期权管理风险 期权和衍生证券的应用可以扩展到其他投资领域。假设投资者的初始财富为1,000美元，按照前面例子的给定条件，比较以下两种投资方式：购买10股股票，在时刻1的价值为或者 购买份期权，在这种情况下，投资者的最终财富是Fangyi He,School of Economics 42用期权管理风险 如果股票上涨，与股票投资相比，期权投资产生的收益将更高。否则，将是灾难性的：投资者将损失所有的财富。

26、而当投资者投资于股票时，会得到20%或者损失20%。由于没有指定概率，我们不能计算期望收益和标准差。但我们很容易接受这个观点，与投资股票相比，期权的风险更高。这可能会被愿意冒风险的投资者利用。期权还可以用于降低风险。考虑一个计划在将来购买股票的投资者，股票今天的价格是S(0)=100美元。但是投资者仅在时刻t=1有可用资金，股票在时刻1的价格会变成Fangyi He,School of Economics 43用期权管理风险对某一个0p1。与前面一样，我们假设A(0)=100美元，A(1)=110美元。比较如下两个策略：等到时刻1，当资金可利用时，以S(1)的价格购买股票；在时刻0，借钱购买施权价为100美元的看涨期权，在时刻1归还贷款及利息；如果股票价格上涨，则行驶期权购买股票。如果投资者选择第一种策略，他将面临不可忽视的风险。如果选择第二种策略，他将借入美元购买期权。在时刻1，他将归还35美元结清贷款，并利用期权购买股票，购买1股的成本将是Fangyi He,School of Economics 44用期权管理风险比较这两种策略，显然选择第二种策略的风险比选择第一种策略的风险较低。?如果购买两个期权，风险将降为零，即这个策略等价于远期合约多头，因为股票的远期价格恰是110美元（证明参考命题命题1.2）。它还等价于今天借100美元购买1股股票，在时刻1归还110美元结清贷款。