第二十一章 重积分.ppt

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1、第二十二章第二十二章 曲面积分曲面积分主讲教师主讲教师 胡鹏彦教授胡鹏彦教授授课对象 05级数学系第二十二章 曲 面 积 分基本内容基本内容:平面图形面积、重积分的概念平面图形面积、重积分的概念,重积分的性质重积分的性质,重积分的计算及重积分的计算及其应用其应用,格林公式格林公式.基本要求基本要求:理解平面图形面积及重积分的概理解平面图形面积及重积分的概念念,掌握重积分的性质、计算、掌握重积分的性质、计算、应用及格林公式应用及格林公式,曲线积分与路径曲线积分与路径的无关性的无关性.重点难点重点难点:重积分的计算及格林公式重积分的计算及格林公式,曲线积曲线积分与路径的无关性分与路径的无关性.1

2、第一型曲面积分第一型曲面积分2 第二型曲面积分第二型曲面积分3 高斯公式与斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式第二十二章 曲 面 积 分1 第一型曲面积分第一型曲面积分基本内容基本内容:平面图形面积、二重积分的概念平面图形面积、二重积分的概念,平面图形可求面积的条件平面图形可求面积的条件,二元二元函数可积的条件函数可积的条件,二重积分的性质二重积分的性质.基本要求基本要求:了解平面图形可求面积的条件了解平面图形可求面积的条件,理理解平面图形面积及二重积分的概解平面图形面积及二重积分的概念念,掌握二元函数可积的条件及二掌握二元函数可积的条件及二重积分的性质重积分的性质.重点难点重点难点:二元函数的

3、可积性二元函数的可积性,二重积分的性二重积分的性质质.第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的概念背景背景曲面物体质量的计算曲面物体质量的计算设有一曲面块S,密度函数为 (x,y,z),其质量为分割 近似求和 取极限定义定义1 设S是空间中可求面积的曲面,f 是定义在S上的函数.对S作分割T,把S分成n个小曲面块Si,以Si记Si的面积,|T|为T的细度,在Si上任取一点(i,i,i),若极限存在,且与分割T和(i,i,i)的取法无关,则称此极限为 f 在S上的第一型曲面积分第一型曲面积分,记作第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的概念当 f(x,y,z)1时,曲面积分就是曲面块S的面积.第一型曲面

4、积分的概念第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的计算第一型曲面积分的计算定理定理22.1 设有光滑曲面 f(x,y,z)为S上的连续函数,则第一型曲面积分的计算第一型曲面积分的计算例例1 计算其中S是球面被平面所截的顶部.2 第二型曲面积分第二型曲面积分基本内容基本内容:平面图形面积、二重积分的概念平面图形面积、二重积分的概念,平面图形可求面积的条件平面图形可求面积的条件,二元二元函数可积的条件函数可积的条件,二重积分的性质二重积分的性质.基本要求基本要求:了解平面图形可求面积的条件了解平面图形可求面积的条件,理理解平面图形面积及二重积分的概解平面图形面积及二重积分的概念念,掌握二元函数可积的条

5、件及二掌握二元函数可积的条件及二重积分的性质重积分的性质.重点难点重点难点:二元函数的可积性二元函数的可积性,二重积分的性二重积分的性质质.曲面的侧曲面的侧默比乌斯(Mbius)带通常由z z(x,y)表示的曲面都是双侧曲面.当以其法线方向与z轴正向的夹角成锐角双侧曲面双侧曲面的一侧(也称为上侧)为正侧正侧时,则另一侧单侧曲面单侧曲面(也称为下侧)为负侧负侧.当S为封闭曲面时,通常规定曲面的外侧为正侧正侧,内侧为负侧负侧.第二型曲面积分概念第二型曲面积分概念背景背景 流量问题流量问题设某流体以一定的流速从给定的曲面S的负侧流向正侧,其中分割 近似求和 取极限P,Q,R为所讨论范围上的连续函数,

6、求单位时间内流经曲面S的总流量E.第二型曲面积分概念第二型曲面积分概念曲面S的正侧上点(x,y,z)处的单位法向量为单位时间内流经小曲面S的的流量第二型曲面积分概念第二型曲面积分概念总流量定义定义1 设P,Q,R为定义在双侧曲面S上的函数.在S所指定的一侧作分割T,把S分成n个小曲面块Si,以Siyz,Sizx,Sixy分别记Si在三个坐标平面上的投影区域的面积,其符号由Si的第二型曲面积分概念第二型曲面积分概念方向来确定.若Si的法线正向与z轴正向成锐角时,Sixy为正.反之,若Si的法线正向与z轴正向成第二型曲面积分概念第二型曲面积分概念钝角时,Sixy为负.定义定义定义定义1 1 设P,

7、Q,R为定义在双侧曲面S上的函数.在S所指定的一侧作分割T,把S分成n个小曲面块Si,以Siyz,Sizx,Sixy分别记Si在三个坐标平面上的投影区域的面积,其符号由Si的方向来确定.第二型曲面积分概念第二型曲面积分概念在Si上任取(i,i,i),若极限存在,且与分割T和(i,i,i)的取法无关,则称此极限为P,Q,R在S所指定侧上的第二型曲面积分第二型曲面积分第二型曲面积分第二型曲面积分,记作或第二型曲面积分概念第二型曲面积分概念由定义,若以S表示曲面S的另一侧,则第二型曲面积分概念第二型曲面积分概念第二型曲面积分的性质第二型曲面积分概念第二型曲面积分概念1.若存在,则其中ci(i 1,2

8、,k)是常数.第二型曲面积分概念第二型曲面积分概念2.若曲面S是由两两无公共内点的曲面块存在,则S1,S2,Si 所组成,且第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算定理定理22.2 设R是光滑曲面上的连续函数,以S的上侧为正侧,则例例1 计算其中S是球面部分并取球面外侧.第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算在3 高斯公式与斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式基本内容基本内容:格林公式，曲线积分与路线的格林公式，曲线积分与路线的 无关性，原函数无关性，原函数基本要求基本要求:掌握格林公式及其应用，掌握曲掌握格林公式及其应用，掌握曲线积分与路线无关的等价条件，线积分与路线无关的等价条件，会求原函

9、数会求原函数重点难点重点难点:格林公式格林公式高斯公式高斯公式 高斯(Gauss)公式给出了沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间的关系,这种关系有似于格林公式所建立的沿封闭曲线的曲线积分与二重积分之间的关系.定理定理22.3 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成.若函数P,Q,R在V上连续,其中S取外侧.(1)式称为高斯公式高斯公式.(1)且有一阶连续偏导数,则高斯公式高斯公式 例例1 计算高斯公式高斯公式 其中S是边长为a的正方体表面并取外侧.高斯公式高斯公式 斯托克斯公式斯托克斯公式 斯托克斯(Stokes)公式建立了沿空间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L的积分之间的关系.斯托克斯

10、公式斯托克斯公式 双侧曲面的侧与其边界曲线的方向:设有人站在S上指定的一侧,沿L行走时,指定的侧总在人的左方,则人前进的方向为边界线L的正向正向,反之为负向负向,这个规定方法也称为右手法则右手法则.定理定理22.4 设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线.若函数P,Q,R在S(连同L)上其中S的侧与L的方向按右手法则确定.(2)连续,且有一阶连续偏导数,则斯托克斯公式斯托克斯公式(2)式称为斯托克斯公式斯托克斯公式.斯托克斯公式斯托克斯公式 例例2 计算其中L为平面x y z 1与各坐标面的斯托克斯公式斯托克斯公式 交线,取逆时针方向为正向.空间曲线积分与路线的无关性空间曲线积分与路线的无关

11、性定义定义 若对于V内任一封闭曲线皆可以不经过V以外的点而连续收缩于属于V的某一点,则称此区域为单连通区域单连通区域;否则称为复连通区域复连通区域.单连通区域单连通区域,复连通区域复连通区域定理定理22.5 设 2为空间单连通区域.若函数P,Q,R在 内连续,且有一阶连续偏导数,则以下四个条件是等价的:(i)对于 内任一按段光滑的封闭曲线L有(ii)对 内任一按段光滑曲线L,曲线积分与路线无关;空间曲线积分与路线的无关性空间曲线积分与路线的无关性(iii)Pdx Qdy Rdz是 内某一函数u的(iv)在 内处处成立全微分,即空间曲线积分与路线的无关性空间曲线积分与路线的无关性满足性质的函数u称为Pdx Qdy Rdz的一个原函数原函数.若P,Q,R满足定理22.5的条件,则函数就是Pdx Qdy Rdz的一个原函数.空间曲线积分与路线的无关性空间曲线积分与路线的无关性例例3 验证曲线积分与路线无关,并求被积表达式的原空间曲线积分与路线的无关性空间曲线积分与路线的无关性函数u(x,y,z).