第二十一章二重积分27487.pdf

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1、第二十一章 二重积分 1 二重积分概念 教学目的：掌握二重积分的定义和性质 教学内容：二重积分的定义和性质(1)基本要求：掌握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解有界闭区域上的连续函数的可积性(2)较高要求：平面点集可求面积的充要条件 教学建议：(1)要求学生必须掌握二重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积由于二元函数可积的充要条件与定积分类似，这方面的内容可作简略介绍 (2)对较好学生可详细讲述二元函数可积的充要条件的证明，并布置有关习题 教学程序：一 平面图形的面积 1.内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念 直线网T分割平面图形 P，T的网眼中小闭矩形i的分类：（

2、）i含的全是 P 的内点（）i含的全是 P 的外点（不含 P 的点）（）i内含有 P 的边界点 记 TsP为T的第类i的面积的和 记 TSP为T的第和第三类i的面积的和 记PI=TsPTsup，称为P 的内面积 记PI=TSPTinf，称为 P 的外面积 定义 1 若平面图形 P的内面积PI等于它的外面积PI，则称 P为可求面积，井称其共同值PI=PI=PI为 P的面积（约当，黎曼测度）定理 211 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是：对任给的0，总存在直线网T，使得 TsTSPP （2）证 必要性 设平面有界图形P的面积为PI由定义 1，有PI=PI=PI对任给的，由PI及PI的定义知道

3、，分别存在直线网1T与2T，使得 ,21PPITs 22PPITS 记T为由1T与2T这两个直线网合并的直线网，可证得 TsTsPP1，TSTSPP2 于是由（3）可得 ,2PPITs 2PPITS 从而得到对直线网T有 TsTSPP 充分性 对任给的0，存在直线网T，使得（2）式成立但 TSIITsPPPP 所以 TsTSIIPPPP 由的任意性，因此PI=PI，因而平面图形 P 可求面积 推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它的外面积0PI，即对任给的0，存在直线网T，使得，TSP 或对任给的0，平面图形 P 能被有限个其面积总和小于的小矩形所覆盖 定理 212 平面有界图形 P

4、 可求面积的充要条件是：P 的边界 K 的面积为零 证 由定理 21 1，P 可求面 积的充 要条件 是：对 任给的0，存在 直线网T，使 得 TsTSPP由于 TSK TsTSPP 所以也有 TSK由上述推论，P 的边界 K 的面积为零 定理 213 若曲线 K 为由定义在ba,上的连续函数 xf的图象，则曲线 K 的面积为零 证 由于 xf在闭区间ba,上连续函数，从而一致连续因而对任给的0，总存在0，当把区间ba,分成n个小区间iixx,1ni,1并且满足nixxxiii,1max1时，可使在每个小区间iixx,1上的振幅都成立abi现把曲线 K按自变量nxxxx,10分成n个小段，这时

5、每一个小段都能被以ix为宽，i为高的小矩形甩覆盖由于这个小矩形面积的总和为 niniiiixabx11 所以由定理 211 的推论即得曲线 K 的面积为零 还可证明得到：由参量方程ttYtx,所表示的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积为零 二 二重积分的定义及其存在性 背景：求某曲顶柱体的体积时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，利用求柱体的体积的方法来得到结果一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义 定义：设yxf,是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数，用任意曲线把D分成n个可求面积的小区域：,21n以i表示i的面积，这些小区域构成D的一个分割T，以id表示

6、i的直径，称 inidT1max为分割T的细度，在每一个i上任取一点（ii,），作和式：niiiif1),(称之为函数在上属于分割的一个积分和 定义 2 设yxf,是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数，J是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某个正数，使对于D的任何分割T，当它的细度T时，属于T的所有积分和都有 JfNiiii1),(则称yxf,在D上可积，数J称为函数yxf,在D上的二重积分，记作 J=Ddyxf,其中yxf,称为二重积分的被积函数，yx,称为积分变量，D称为积分区域 几何意义：当yxf,0时，二重积分Ddyxf,在几何上表示以zyxf,为曲顶，D为底的曲顶柱体的体积 直角

7、坐标系下可表示为：Ddyxf,=Ddxdyyxf,可积的必要条件：yxf,在可求面积的区域 D 上有界 函数yxf,在可求面积的区域 D 上有界时，T 是 D 的一个分割，把 D 分成个可求面积的小区域 n,1，令yxfMiyxi,sup,，yxfmiyxi,inf,，ni,1 yxf,关于分割 T 的上和与下和：NIiiMTS,NIiimTs 定理 214 yxf,在 D 上可积的充要条件是：TST0lim=TsT0lim 定理 215 yxf,在 D 上可积的充要条件是：对于任给的正数，存在 D 的某个分割T，使得 TsTS 定理 216 有界闭区域 D 上的连续函数必可积.定理 21 7

8、 设yxf,是定义在有界闭区域 D 上的有界函数若yxf,的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则yxf,在 D 上可积 证 不失一般性，可设yxf,的不连续点全部落在某一条光滑曲线 L上记 L的长度为l，于是对任给的0，把 L 等分成1ln段：nLL,1 在每段iL上取点iP，使段与其一端点的弧长为nl2，以iP为中心作边长为的正方形i，则iLi，从而有niiL1记nii1，则为一多边形设的面积为W，那么 lllnW22211 现在把区域 D 分成两部分第一部分DD1第二部分121DDD 由于yxf,在2D上连续，根据定理 21 6与定理 21 5，存在2D的分割2T，使得 22TsTS又记yx

9、fMyx,sup,，yxfmyx,inf,，以T表 示由2T与多边形的边界所组成的区域 D 的分割，则有 WWmWMTsTSTsTS22 ll1，其中是yxf,在 D上的振幅由于yxf,在 D上有界，故是有限值于是由定理 21，5就证明了yxf,在上可积 口 三 二重积分的性质 二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下：l 若yxf,在 区 域D 上 可 积，k为 常 数，则kyxf,在D 上 也 可 积，且Ddyxkf,=kDdyxf,2 若yxf,yxg,在 D 上都可积，则yxf,yxg,在 D 上也可 积，且 Ddyxgyxf,=Ddyxf,Ddyxg,3，若yxf,在1

10、D和2D上都可积，且1D与2D无公共内点，则yxf,在上1D2D也可积，且21,DDdyxf=1,Ddyxf+2,Ddyxf 4 若yxf,与yxg,在 D 上可积，且yxf,yxg,，yx,D，则Ddyxf,Ddyxg,5 若yxf,在 D 上可积，则函数yxf,在 D 上也可积，且 Ddyxf,Ddyxf,6，若yxf,在 D 上可积且 myxf,M，yx,D 则 DmSDdyxf,DMS 这里DS是积分区域 D 的面积 7(中值定理)若yxf,在有界闭区域 D 上连续，则存在,D，使得 Ddyxf,=,fDS 这里DS是积分区域 D 的面积 中值定理的几何意义：以 D为底，)0,(,yxfyxfz为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于在yxf,区域 D 中某点,的函数值,f 作业:P217 1-5.