倒数和微分导数的概念课件.ppt

《倒数和微分导数的概念课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《倒数和微分导数的概念课件.ppt（68页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 导数是微分学的核心概念,是研究函数1 导数的概念 一、导数的概念化率”,就离不开导数.三、导数的几何意义 二、导函数态的有力工具.无论何种学科,只要涉及“变与自变量关系的产物,又是深刻研究函数性返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、导数的概念一般认为一般认为,求变速运动的瞬时速度，求已知曲线求变速运动的瞬时速度，求已知曲线 别在研究瞬时速度和曲线的别在研究瞬时速度和曲线的牛顿牛顿(16421727,英国英国)两个关于导数的经典例子两个关于导数的经典例子.切线时发现导数的切线时发现导数的.下面是下面是微分学产生的三个

2、源头微分学产生的三个源头.牛顿和莱布尼茨就是分牛顿和莱布尼茨就是分上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1.瞬时速度瞬时速度 设一质点作直线运动设一质点作直线运动,质点的位置质点的位置 s 是是当当 t 越来越接近越来越接近 t0 时，平均速度就越来越接近时，平均速度就越来越接近 t0时间时间 t 的函数的函数,即其运动规律是即其运动规律是 则在某则在某(1)时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.严格地说严格地说,当极限当极限时刻时刻 t0 及邻近时刻及邻近时刻 t 之间的平均速度是之间的平均速度是返回返回返

3、回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2.切线的斜率切线的斜率 如图所示如图所示,存在时存在时,这个极限就是质点在这个极限就是质点在 t0 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.其上一点其上一点 P(x0,y0)处处的切线的切线点击上图动画演示点击上图动画演示点点 Q,作曲线的割线作曲线的割线 PQ，这这PT.为此我们在为此我们在 P 的邻近取一的邻近取一需要需要寻找曲线寻找曲线 y=f(x)在在 条割线的斜率为条割线的斜率为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页答答:它就是曲线在点它就是曲线在点 P 的切线的切线 PT 的斜率的斜率.的极限若存在，则这个极限的极限若存在，则这个极限会是什么

4、呢？会是什么呢？设想一下设想一下,当动点当动点 Q 沿此曲线无限接近点沿此曲线无限接近点 P 时，时，(2)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同x0 处关于处关于 x 的瞬时变化率的瞬时变化率(或简称变化率或简称变化率).均变化率，增量比的极限均变化率，增量比的极限(如果存在如果存在)称为称为 f 在点在点的极限的极限.这个增量比称为函数这个增量比称为函数 f 关于自变量的平关于自变量的平 D D y=f(x)f(x0)与自变量增量与自变量增量 D D x=x xo 之比之比一类型的数学问题：一类型

5、的数学问题：求函数求函数 f 在点在点 x0 处处的增量的增量返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义1 设函数设函数 y=f(x)在点在点 x0 的某邻域内的某邻域内有定有定义，如果极限义，如果极限存在存在,则称函数则称函数 f 在点在点 x0 可导可导,该极限称为该极限称为 f 在在如果令如果令 D Dx=x x0,D Dy=f(x0+D Dx)f(x0),导数导数就就x0 的的导数导数，记作，记作可以写成可以写成返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这说明导数是函数增量这说明导数是函数增量 D D y 与自变量增量与自变量增量 D D x之比之比例例1 求函数求

6、函数 y=x3 在在 x=1 处的导数，并求该处的导数，并求该曲曲线在点线在点 P(1,1)的切线方程的切线方程.解解的极限的极限,即即就是就是 f(x)关于关于 x 在在 x0 处的变化处的变化点点 x0 不可导不可导.率率.如果如果(3)或或(4)式的极限不存在式的极限不存在,则称则称 在在返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此可知曲线由此可知曲线 y=x3 在点在点 P(1,1)的切线斜率为的切线斜率为所以所以于是所求切线方程为于是所求切线方程为即即返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 常量函数常量函数 f(x)=c 在任何一点在任何一点 x 的导数的导数

7、都为都为例例3 证明函数证明函数 f(x)=|x|在在 x=0 处不可导处不可导.证证 因为因为时它的极限不存在时它的极限不存在,所以所以 f(x)在在 x=0当当零零.这是因为这是因为 D Dy 0，所以所以处不可处不可导导.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4 证明函数证明函数在在 x=0 处不可导处不可导.不存在极限不存在极限,所以所以 f 在在 x=0 处不可导处不可导.证证 因为当因为当 时时,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(5)式称为式称为 f(x)在点在点 x0 的有限增量公式的有限增量公式,这个公这个公有限增量公式有限增量公式 设设 f(x)

8、在在点点 x0 可导，则可导，则这样这样,函数函数 f(x)的增量可以写成的增量可以写成根据有限增量公式即可得到下面定理根据有限增量公式即可得到下面定理.时的时的无穷小量无穷小量，于是于是 D D x=o(D D x).是当是当式对式对 D Dx=0 仍然成立仍然成立.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理5.1 如果函数如果函数 f 在点在点 x0 可导可导,则则 f 在在点点 x0连续连续.值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可其中其中 D(x)是熟知的狄利克雷函数是熟知的狄利克雷函数.例例5 证明函数证明函数 仅在仅在 x=

9、0 处可导处可导,处连续，却不可导处连续，却不可导.导的必要条件导的必要条件.如例如例3、例、例4 中的函数均在中的函数均在 x=0返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页不连续不连续,由定理由定理 5.1,f(x)在点在点 x0 不可导不可导.由于导数是一种极限由于导数是一种极限,因此如同左、右极限那样因此如同左、右极限那样,所以有所以有当当 x0=0 时时,因为因为证证 当时当时,用归结原理容易用归结原理容易证明证明 f(x)在点在点 x0 可以定义左、右导数可以定义左、右导数(单侧导数单侧导数).返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页存在，则称该极限为存在，则称该极限为

10、 f(x)在点在点 x0 的右导数的右导数,记作记作类似地可以定义左导数类似地可以定义左导数,合起来即为合起来即为:上有定义，如果右极限上有定义，如果右极限定义定义2 设函数设函数 y=f(x)在点在点 的某个右邻域的某个右邻域返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页右右导数和左导数统称为单侧导数导数和左导数统称为单侧导数.定理定理5.2 如果函数如果函数 y=f(x)在点在点 x0 的某个邻域内的某个邻域内有有在讨论分段函数在分段点上的可导性时在讨论分段函数在分段点上的可导性时,本结论本结论定义，则定义，则存在的充要条件是存在的充要条件是都存在，且都存在，且很有用处，请看下面例题很有

11、用处，请看下面例题.类比左、右极限与极限的关系，我们有：类比左、右极限与极限的关系，我们有：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6 设设试讨论试讨论 f(x)在在 x=0 处的左、右导数和导数处的左、右导数和导数.解解 容易看到容易看到 f(x)在在 x=0 处连续处连续.又因又因 所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页故故 f(x)在在 x=0 处不可导处不可导.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、导函数如果函数如果函数 f 在区间在区间 I 上的每一点都可导上的每一点都可导(对于区间对于区间(7)即即导函数，简称导数导函数，简称导数,记作记

12、作定义了一个在区间定义了一个在区间 I 上的函数，称为上的函数，称为 f 在在 I 上的上的则称则称 f 为区间为区间 I 上的可导函数上的可导函数.此时此时,对对 I 上的任上的任端点考虑相应的单侧导数端点考虑相应的单侧导数,如左端点考虑右导数如左端点考虑右导数),仅为一个记号，学了微分之后就会知仅为一个记号，学了微分之后就会知注注 这里这里意一点意一点 x 都有都有 f 的一个导数的一个导数 与之对应与之对应,这就这就返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页道，这个记号实质是一个道，这个记号实质是一个“微分的商微分的商”.例例7 求函数求函数 y=xn 的的导数，导数，n为正整数为

13、正整数.解解 由于由于 相应地，相应地，也可表示为也可表示为因此因此返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例8 证明证明:我们只证明我们只证明(i)的第二式和的第二式和(iii).返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 (i)由于由于上的连续函数，所以上的连续函数，所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(iii)由于由于因此因此特别有特别有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、导数的几何意义切线的方程是切线的方程是记记 a a 为为切线与切线与 x 轴正向的夹角，则轴正向的夹角，则f(x0)=tana a.(8)在用几何问题引出导数概念时在

14、用几何问题引出导数概念时,已知已知 是曲线是曲线处切线的斜率处切线的斜率.在点在点所以该所以该返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此可知由此可知,f(x0)0 说明说明 a a 是锐角是锐角;f(x0)0,使得使得(9)再由再由 ,得得 于是于是(9)式成式成立立.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页根据例根据例11，可得如下重要定理：，可得如下重要定理：设函数设函数 f 在点在点 x0 的某邻域内有定义的某邻域内有定义,且在点且在点 x0 可可定理定理 5.3(费马定理费马定理)导导.如果如果 x0 是是 f 的极值点，则必有的极值点，则必有使得使得类似地，若类似地

15、，若上述定理的几何意义：如果上述定理的几何意义：如果 f 在极值在极值 x=x0 处处可可导，则该点处的切线平行于导，则该点处的切线平行于 x 轴轴.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页称满足方程称满足方程 f (x)=0 的点为的点为 f 的的稳定点稳定点.注注 稳定点不一定都是极值点，如稳定点不一定都是极值点，如 x=0 是是 y=x3不是稳定点不是稳定点(因为它在因为它在 x=0 处不可导处不可导).都是稳定点都是稳定点,如如 x=0 是是 y=|x|的极小值点的极小值点,但但的稳定点的稳定点,但不是极值点但不是极值点.反之反之,极值点也不一定极值点也不一定返回返回返回返回后

16、页后页后页后页前页前页前页前页费马费马 (Fermat,P.1601-1665,法国法国 )达布达布(Darboux,J.G.1842-1917,法国法国)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理5.4(达布定理达布定理)是介是介如果如果 f 在在 a,b 上可导，且上可导，且之间的任一实数，则至少存在之间的任一实数，则至少存在证证 令令 F(x)=f(x)kx,则则 F (x)=f (x)k.根据根据费马定理费马定理,只要证明只要证明 F(x)在在(a,b)上有极值点即可上有极值点即可.由于由于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页使得使得由此可知由此可知,a,b

17、上上的连续函数的连续函数 ,其其最大值必在最大值必在 由费马定理得由费马定理得 ,即即定是极大值定是极大值,某一点某一点 c (a,b)处处取得取得.区间内取得的最大值一区间内取得的最大值一返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题3.举出一个函数举出一个函数 ,它满足它满足但但 不是它的垂直切线不是它的垂直切线.4.举出一个函数举出一个函数 ,要求它可导要求它可导,但但 不不连连 续续.试问这种不连续的导函数是否仍有介值性试问这种不连续的导函数是否仍有介值性?2.给出函数给出函数 f(x)在点在点 x0 不可导的不可导的“”定义定义.1.给出函数给出函数 f(x)在点在点 x

18、0 可导的可导的“”定义定义.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 一、导数的四则运算2 求导法则 导数很有用，但全凭定义来计算导 四、基本求导法则与公式 三、复合函数的导数 二、反函数的导数求导法则,使导数运算变得较为简便.数是不方便的.为此要建立一些有效的返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、导数的四则运算在点在点 x0 也可导也可导,且且推论推论 若若 u(x)在点在点 x0 可导可导,c 是常数是常数，则则 在点在点 x0 也可导也可导,且且定理定理 5.6 若函数若函数 在点在点 x0 可导可导,则函数则函数定理定理 5.5 若函数若函数 在

19、点在点 x0 可导可导,则函数则函数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 5.6 可推广到任意有限个函数相乘的情形可推广到任意有限个函数相乘的情形,如如 下面证明乘积公式下面证明乘积公式(2),请读者自行证明公式请读者自行证明公式(1).证证(2)按定义可得按定义可得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注意注意:,:,千万不要把导数乘积公式千万不要把导数乘积公式(2)记错了记错了.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 解解 因此因此,对于多项式对于多项式 f 而言而言,总是比总是比 f 低一低一个幂次个幂次.例例2 解解 由公式由公式 (2)

20、，得，得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 在点在点 x0 也可导也可导，且且定理定理5.7 若函数若函数 在点在点 x0 可导可导,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证由于由于 在点在点 x0 可导可导,因此因此返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页对对 应用公式应用公式(2)和和(5),得得(5)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3 求下列函数的导数：求下列函数的导数：解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页同理可得同理可得 同理可得同理可得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 定理定理 5.8 设设

21、为为 的反函数，在的反函数，在 由由假设假设,在点在点的某邻域内连续的某邻域内连续,且严格且严格二、反函数的导数 则则 在点在点 可导可导,且且 点点 的某邻域内连续，严格单调的某邻域内连续，严格单调,且且返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4 求下列函数的导数：求下列函数的导数：便可证得便可证得注意到注意到单调单调,从而有从而有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解上的反函数，故上的反函数，故返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页同理有同理有 的反函数，故的反函数，故上上返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 5.9在点在点 x0 可

22、可这个定理一般用有限增量公式来证明这个定理一般用有限增量公式来证明，但为了与但为了与导，导，且且三、复合函数的导数证法证法,为此需要先证明一个引理为此需要先证明一个引理.今后学习向量函数相联系今后学习向量函数相联系，这里采用另一种新的这里采用另一种新的返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页引理引理 f 在点在点 x0 可导的充要条件是可导的充要条件是:在在 x0 的的某邻某邻证证 设设 f(x)在点在点 x0 可导可导,且令且令返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页得得 f(x)在点在点 x0 可导可导,下面证明定理下面证明定理 5.9(公式公式(7).根据极限根据极限返回

23、返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页同理，同理，则存在一个在点则存在一个在点 x0于是当于是当 有有由引理的必要性由引理的必要性知存在一知存在一且且连续的函数连续的函数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页公式公式(7)改写改写为为连续，连续，根据引根据引 理的充分性理的充分性,这样就容易理解这样就容易理解“链链”的的复合函数求导公式复合函数求导公式(7)又称为又称为“链式法则链式法则”.若将若将返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例5在链式法则中一定要区分在链式法则中一定要区分意义了意义了.解解分解成分解成 这两个这两个于是由链式法则于是由链式法则,有有基本初

24、等函数的复合，基本初等函数的复合，返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6解解复合而成复合而成,例例7求下列函数的导数求下列函数的导数:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 运用复合求导法则运用复合求导法则,分别计算如下分别计算如下:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例8 8 求下列函数的导数求下列函数的导数:解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以 在在 处不可导处不可导.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页化某些连乘、连除式的求导化某些连乘、连除式的求导.例例9对数求导法对数求导法 均可导均可导,则则对数求导法不仅对幂指函数对数求导法不仅对幂指函数有效有效,也能简也能简返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 先对函数两边取对数先对函数两边取对数,得得再对上式两边求导再对上式两边求导,又得又得于是得到于是得到返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页求导法则：求导法则：四、基本求导法则与公式返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页基本初等函数的导数公式：基本初等函数的导数公式：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页