6.4综合拔高练.docx

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1、6.4综合拔高练五年高考练考点1利用余弦定理和正弦定理解三角形. （2020 课标III,7,5 分，峭）在 ABC 中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B=（）1112A.-B.-C.-D.- 93231 .（2019 浙江,14,6 分，姬）在ABC 中,nABC=9（F,AB=4,BC=3 D 在线 段 AC 上.若nBDC=45。,则 BD=,cosnABD=.2 .（2020新高考I7,10分,*）在ac=V5,csin A=3,c=V5b这三个 条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.问题:是否存在aABC,它

2、的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=V3sin B,C?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.第一小组采用的是“两次测角法”，他们在国贸中心隔壁的会展中 心广场上的A点测得国贸中心顶部的仰角为见正对国贸中心前进了s 米后，到达B点，在B点测得国贸中心顶部的仰角为0,然后计算出国贸 中心的高度（如图1）.第二小组采用的是“镜面反射法”，在国贸中心后面的新世纪豪园 一幢11层楼（与国贸中心处于同一水平面,每层约3米）楼顶天台上，进 行两个操作步骤:将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到 国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为由米;正对国贸中心, 将镜子前移a米

3、，重复中的操作，测量出人与镜子的距离为a2米，然后 计算出国贸中心的高度（如图2）.实际操作中,第一小组测得s=310米,a=30。,0=45。,最终算得国贸中 心的高度为Hi；第二小组测得al.45米,a=12米,22=1.40米，最终算得 国贸中心的高度为也.假设测量者的“身高h”都为1.60米.请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据：鱼之1.4,巡。1.7,结 果保留整数）；你认为哪个小组的方案更好?请说明理由.图1图1图2答案全解全析五年高考练LA由ssC=5/得导舞上3=3（负值舍去）,cos B二cos B二M+b/.a/2BABC9+9-16 1、生人K石，故选A.2 .答案

4、12V2 7V25，而解析 在BDC 中,BC=3,sinNBCD=*NBDO45。,由正弦定理得由正弦定理得BD _ BCsinzBCD sinzBDC，则 BD=3x亏 12V22,.34在 ABD 中n/BADqcosnBADW，nADB=135,JJcosnABD=cos180-(1350+nBAD)=cos(45-nBAD)=cos 45cosBAD+sin人uo C An &，4 1 3、7或 45 sinBAD=-x( 7 + 7 )-77r- 2 55/ 103 .解析方案一:选条件.由cq和余弦定理得上年等. 62ab 2由sin A=V3sin B及正弦定理得a=V3b.于

5、是弓等=孚由此可得b=c.由ac=V,解得 a=V3,b=c=l.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c=l.方案二:选条件.由C=,和余弦定理得粤了毒. 62ab 2由sin A=V3sin B及正弦定理得a=V3b.-r日3庐+庐。2_百十728庐二万，由此可得b=c,B=C=g,A=4. 03由csin A=3,所以 c=b=2V3,a=6.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c=2遍.方案三:选条件.由c=和余弦定理得月FT 62ab 2由sin A=V3sin B及正弦定理得a=V3b.于是居崇岑由此可得b=c.由c=Bb,与b=c矛盾.因此，选条件时问题中的三角形不存在.4 .

6、解析 由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=ACAB.由余弦定理得 BC2=AC2+AB2-2AC AB cos A.由得cos A=.因为0Av兀，所以A*.由正弦定理及得各=2=各=2百,从而AC=2V3sinsmB sinC sm4B,AB=2Vsin（兀-A-B）=3cos B-V3sin B.故 BC+AC+AB=3+V3sin B+3cos B=3+2百sin（B + 三）.又0B*所以当时,aABC的周长取得最大值3+2V3. 3O,_ n2i A2 2 、万5 .解析（1）在ABC 中,由余弦定理及 a=2V2,b=5,c=V13,W cos C=.又2ab 2asin

7、C 2V13因为C0，所以c=；.c 132713(2)在aABC中,由正弦定理及C=；,a=2Vc=7H,可得sin A= 4,cos,cos（3）由 ac 及 sin可得 cos A=，l-sin2A进而 sin 2A=2sin Acos A=y|.1.。/X OA. O2 A=2人1系所以sin(所以sin(Tln . ti ca 71. tt 12 V2 5 V2 17迎271 + - =sin 2Acos -+cos 2A-sin-=x+x.4744 13 2 13 226.解析 由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.

8、 由余弦定理得cos A支萨丹因为 00A180。,所以 A=60.(2)由(1)知 B=12(r-C,由题设及正弦定理得加sin A+sin(120-C)=2sin C,即乎+鼻os C+gsin C=2sin C, 2 22可得 COS(C+60)=-y.由于 0。0,所以nBAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.先讨论点P的位置.当nOBP90。时，在APPiB 中，PBPiB=15.由上可知,dN15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QAN15,点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时

9、,CQmAAC2二向”2=3用.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小 于圆。的半径.综上，当PB,AB,点Q位于点C右侧，且CQ=3后时,d最小，此时P,Q两点间的距 离 PQ=PD+CD+CQ=17+3V21.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3属)百米.8 .答案6a/3 角星析 由 b2=a2+c2-2accos B 及已知得 62=(2c)2+c2-2x2cxcx|, /. =2百9二-2百舍去)./.a=2c=4V3,* ABC 的面积 S=1ac-sin B=1x4V3x2V3x-y=6V3. 乙乙乙9 .答案 3；(2,+oo)解析 依题意有:acsin B=(a2

10、+c2-b2)=x2accos B,则 tan兀,，244四.c_sinC_sin偿A)_ 百cos/_ 佟 a sinA sinA 2 2sin4 2 2 tanAnC 为钝角,J乙又 nA0,，0nA3贝！J 0tan AV3, 3 tan/故 ；+fx 百=2.a 2 2故工的取值范围为(2,+oo).10.解析若选条件. (l)Va+b=ll,.b=ll-a,已知 c=7,cos A=-,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得(2) V cos A=-；, sin A=Jl-cos2A= 又 b=ll-a= 11-8=3,4V3 . . a c 一才菽C=csinA V3/S

11、AABC=|bcsin A=1x3x7x=6V3. 乙乙/若选条件.(1) *.* cos A=*, sin A=J l-cos2A=3V7Teos B=，sin B= /l-cos2B=167由正弦定理号得亲=与,sia4 sinB 377 5V78 165V7.*.5a=6b,又 a+b= 11, a=6.(2)由可得b=ll-a=5.sin C=sin兀-(A+B)=sin(A+B). AA .3a/3 . 由正弦定理得 c=2x-sin C=-x=2,a=-sin A,b=-sin B,所以 a+b+c=2+竽(sin A+sin B)J4V34V3sin-B + sinB4V3俘 c

12、osB +|sinB)+2=4sin(8 + )+2.因为所以B+江&D所以24sin（B +1）所以 44sin(8+J+2W6,即40), a=*b=|k,c=|k,则a ： b ： c=7 ： 5 ： 3,由正弦定理可知，sin A ： sin B ： sin C=7 : 5 : 3,故正确；由于三角形ABC的边长不确定，故三角形不确定，故错误；cos A普产金单津L1AABC是钝角三角形，故正确；2bc2*京秋 22若 b+c=8,则|k+|k=4k=8,解得 k=2,故 b=5,c=3,又(”ABC 的面积 S=|bcsin A=；x5x3x第=苧，故错误.LLL 4故正确的是.6

13、.答案解析 因为a2+b2c2,所以由余弦定理得cos所以C*故正确；Zabz因为ab?,所以cos券羿，又0C0,b0,c0,所以 c c所以1=即a2+b2c2 C与故正确;因为2ab(a+b)c,所以c嗡,所以(空)2 a+bJ_ 4a2b2 a2+b2+2ab，因为 a2+b22ab,所以C2所以C24a2b2a24-62+2abV4a2b24ab=ab,由知，此时ocq故错误;因为(a?+b2)c22a2b2,所以。2答，因为a2+b2，b,匚二、i2 2a2m 2a2b2所以 由知，此时0C4故正确.7 .解析 (1) Vm=(cos B,sin B-2sin C),n=(2cos

14、 C+cos B,sin B),且 m_Ln, /m,n=cos B(2cos C+cos B)+sin B(sin B-2sin C)=0,化简得 2cos(B+C)+l=0,即-2cos A+l=0,.* cos A=1, A0,兀),A=* 乙o根据题意，由正弦定理可得勺二名=2,. AC=2sin B,AB=2sin C. sinB sinC sm弓，AB+AC=2sin C+2sin B=2sin B+2sin(g-B)=2sin B+2(ycos B+|sin B)=2Vsin(B + 1).,Be(。，算，B+短片)，Asin(B+)eg,l,A2V3sin(5 +)e(V3,2

15、V3,即 AB+ACg(V3,2V3.8魂军析 若选择,由正弦定理得sin B cos Acos C=sin Asin Bsin C-|sin B,11因为 sin B0,所以 cos Acos C-sin Asin C=-,BP cos(A+C)=-. 乙乙-11因为 B=ti-(A+C),所以 cos(A+C)=-cos B=-j,即 cos B=-,因为OvBv所以B4若选择,由正弦定理得 sin2Bcos C+1-sin Csin 2B=V3sin Acos B,即 sin2Bcos C+sin Csin Bcos B=V3sin A-cos B,故 sin Bsin(B+C)=V3s

16、in Acos B.因为 sin(B+C尸sin A*0,所以 sin B=V3cos B,所以 tan B=V3,因为所以若选择,由正弦定理得sin Bcos A+sin A-cos B=2sin Ceos B,即 sin(B+A)=2sin Ceos B,因为 sin(B+A)=sin OO,所以 cos B=-, J因为0Bv凡所以B=*在ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB BDcos B,即 28=36+BD2-2x6xBDx1,解得BD=4或BD=2.因为 BC=2BDAB=6,所以 BD=4.所以 SjCD二S-BD二;ABBDsin B=1x6x4x=6a/3

17、.迁移创新4.(2020 课标 11,17,12 分,#ABC 中,siYA-sinZB-sMOsin Bsin C.求A;(2)若BC=3,求ABC周长的最大值.5.(2020天津,16,14分,*)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 a=2V2,b=5,c=VT3.(1)求角C的大小；(2)求sin A的值；(3)求 sin(2A + 的值.9.答案 第一小组:在aABD 中,sinNDAB=J,AB=31。米,sinNADB=sin（45-30）=4由正弦定理，得上焉=-,即需二半，所以BD=155（遥+加）米. smzADB snzDAB V6-V2 A42在RfB

18、CD中,累=噌所以CD萼BD警 155（迎+企户418.5（米）, du ZZ Z所以 H产418.5+1.6=420.1 =420 米. 第二小组:由MKEQE, 同理，由NTFPQF,得FQ二驾-粤 因为EQ-FQ=a，所以叱7二a,得EQ二PQ,KE_qPQMK h所以PQ=工二关翌=384（米），。1。2 所以 H2=PQ+3xl 1=417（米）.（2）答案不唯一，言之有理即可.第一组方案：优点:测量方法较好理解，普适性强;计算思路简捷.不足:距离较长，测量要求高，难度大;角度测量较难精准，容易造成误差;场地 要求较高.第二组方案：优点:测量方法有创意（用到镜面成像和相似三角形）;相

19、对距离短，比较好测量;只需测量距离，需要的工具少.不足:两次放镜子相对距离太短，容易造成误差;镜面放置较难保持水平，容易 造成误差;如果镜面较大，人眼看镜内物像时，两次不一定都看在镜上的同一个 点,易造成误差;人与镜子的距离差值较小，测量容易造成误差.6.(2019课标I ,17,12分,*ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.求A;(2)若&a+b=2c,求 sin C.考点2余弦定理和正弦定理在实际问题中的应用7.（2019江苏,18,16分,）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一 侧有一条直线型公路1,湖上有桥

20、AB（AB是圆O的直径）.规划在公路1 上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA 上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线1 的距离分别为AC和BD（C,D为垂足），测得AB=10,AC=6,BD=12（单位: 百米）.若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长；(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由；(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米)，求当d最 小时,P,Q两点间的距离.考点3三角形面积公式的应用8.(2019课标11,15,5分,*ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若 b=6,a

21、=2c,B=半贝SABC 的面积为.9.(2018北京,14,5分*)若4ABC的面积为q(a2+c2-b2),且nC为钝角， 4则/B=的取值范围是a10.(2020北京,17,13分,ABC中,a+b=11,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(l)a的值;(2)sinC和ABC的面积.条件:c=7,cos A=_；条件:cos A=-,cos B=. 816注:如果选择条件和条件分别解答,按第一个解答计分.11.（2019课标HI812分,*QABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin生蛆=bsin A.2求B;（2）若ABC为锐角三角形，且c=l,求aABC

22、面积的取值范围.三年模拟练应用实践1.（2020海南海口高二上期末,*?）设点G是4ABC的重心，且2sinB48+3sin AG/+2sin C，GC=0,贝!J cos C=（）3219A.-B.-C.-D. 433162.（2020广东中山高二上期末,*?）如图，为了测量某湿地A,B两点间的 距离,观察者找到在同一直线上的C,D,E三点.从D点测得NADO67.5。, 从C点测得NACD=45。,NBCE=75。,从E点测得nBEC=60。.若测得DC=2V5,CE=V（单位:百米），则A,B两点间的距离为（）A.巡百米B.2鱼百米C.3百米D.2遮百米3.(2020甘肃顶级名校高二月考

23、,)已知ABC的内角A,B,C的对边分 别是 a,b, c,且(a?+b2-c2)(acos B+bcos A)=abc,若ABC 的外接圆半径为 亭，则aABC的周长的取值范围为()A.(2,4B.(4,6C.(4,6)D.(2 4.(2020河南南阳高二上期末,) ABC的内角A、B、C的对边分别为 a、b、c,若 c=2,C=：且 sin C+sin(B-A)-2sin 2A=0,则下列结论不一定 3成立的是()A.b=2aB.aABC的周长为2+2百C.AABC的面积为当D.AABC的外接圆半径为号5 .(2020吉林长春外国语学校高二上期末杓在ABC中，已知(a+b):(c+a) ：

24、 (b+c)=6 : 5 : 4,给出下列结论：这个三角形被唯一确定；ABC 一定是钝角三角形；sin A ： sin B ： sin C=7 ： 5 ： 3;若b+c=8,则4ABC的面积是萼.其中正确结论的序号是.6 .(2020广东深圳实验学校高一上期末,)设4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,给出下列说法：若 a2+b2c2,BiJ C吟若 a3+b3=c3,则 C4；若 2ab(a+b)c,贝1 O*若(a?+b2)c2V2a2b2,则 0CAB,AD=2近,AB=6,若，求ACD的面积.迁移创新9.（*）在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻:“2019年8月16 日上午，高423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼（以下简称，国贸 中心）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位,标志着东莞最高楼纪 录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的 东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中,老师提出了问 题:国贸中心真有这么高吗?我们能否运用所学知识测量验证一下? 一 周后,两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.