空间曲面与空间曲线.ppt

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1、7.5 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线一一 曲面方程的概念曲面方程的概念二二 曲线方程的概念曲线方程的概念三三 二次曲面的截痕法二次曲面的截痕法1CH1_1 1 曲面方程的定义曲面方程的定义如果曲面如果曲面与三元方程与三元方程有下述关系：有下述关系：（1 1）曲面曲面上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；（2 2）不在曲面不在曲面那么，方程那么，方程就叫做曲面就叫做曲面的的方程方程，就叫做方程的就叫做方程的图形图形而曲面而曲面一一 曲面方程的概念曲面方程的概念2CH1_解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为例例1 1

2、 求与原点求与原点及及的距离之比为的距离之比为的点的全体所组成的曲面方程的点的全体所组成的曲面方程.设设是曲面上任一点，是曲面上任一点，3CH1_根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程解解例例2 2 已知已知求线段求线段面的方程面的方程.的垂直平分的垂直平分设设是所求平面上任一点，是所求平面上任一点，4CH1_（1）球面球面根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为设球心在点设球心在点半径为半径为下面建立下面建立球面方程球面方程.2 几种常见的曲面几种常见的曲面设设是球面上任一点，是球面上任一点，(球面方程的标准式球面方程的标准式)5

3、CH1_将标准方程展开得将标准方程展开得由此可见球面方程的特点由此可见球面方程的特点1)1)是是的二次方程的二次方程2 2）的系数为的系数为1 1（或相等）（或相等）3 3）不含）不含项项(球面方程的一般式球面方程的一般式)球面方程又可表示为球面方程又可表示为6CH1_定义定义（2 2）柱面）柱面并沿定曲线并沿定曲线所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面.移动的直线移动的直线柱面柱面这条定曲线这条定曲线叫叫的的准线准线，平行于定直线平行于定直线叫叫母线母线.柱面的柱面的动直线动直线7CH1_下面建立母线平行于下面建立母线平行于轴，准线为轴，准线为平面曲线平面曲线的柱面方程。的柱面方程。设设为

4、柱面上为柱面上任意一点，任意一点，过过作平行作平行轴的直线交轴的直线交平面平面曲线曲线上的点上的点因此因此将将代入得柱面方程代入得柱面方程由于由于在在平面曲线平面曲线上，上，8CH1_从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征：只含只含而缺而缺的方程的方程系中表示母线平行于系中表示母线平行于在空间直角坐标在空间直角坐标轴的柱面，轴的柱面，只含只含而缺而缺的方程的方程系中表示母线平行于系中表示母线平行于面上面上在空间直角坐标在空间直角坐标曲线曲线轴的柱面，其准线为轴的柱面，其准线为 只含只含而缺而缺的方程的方程系中表示母线平行于系中表示母线平行于面上面上在空间直角坐标在空间直角坐标曲线曲线轴

5、的柱面，其准线为轴的柱面，其准线为面上面上曲线曲线其准线为其准线为9CH1_柱面举例柱面举例母线平行于母线平行于 轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面轴的轴的平面平面母线平行于母线平行于轴的轴的抛物柱面抛物柱面母线平行于母线平行于10CH1_定义定义 一条平面曲线一条平面曲线绕其所在平面上的一条定绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面直线旋转一周所成的曲面称为称为旋转曲面旋转曲面.（3 3）旋转曲面旋转曲面线线叫旋转曲面的叫旋转曲面的轴轴这条定直这条定直旋转轴旋转轴11CH1_求由求由平面曲线平面曲线绕绕轴旋转一周所得轴旋转一周所得的旋转面方程。的旋转面方程。设旋转面上任意一点设旋转面上任意一点则则

6、是由是由平平面面的曲线的曲线绕绕上上轴旋转而轴旋转而得的，得的，一点一点将上式代入将上式代入得方程得方程面上曲线面上曲线绕绕轴的轴的旋转曲面方程旋转曲面方程.12CH1_同理：同理：坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线绕绕轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程为为坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线绕绕一周一周的的旋转曲面方程旋转曲面方程为为轴旋转轴旋转13CH1_ 例例3 3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程的旋转曲面的方程旋旋转转双双曲曲面面绕绕轴旋转轴旋转绕绕轴旋转轴旋转面上双曲线面上双曲线分别绕分别绕轴和轴和 轴；轴

7、；14CH1_旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面绕绕轴；轴；面上椭圆面上椭圆绕绕轴；轴；面上抛物线面上抛物线15CH1_面上直线面上直线圆锥面圆锥面绕绕轴；轴；16CH1_（4 4）锥面锥面通过定点通过定点动直线动直线沿定曲线沿定曲线移动所形成的移动所形成的曲面称为曲面称为锥面锥面，定点定点称称为锥面的为锥面的顶点顶点，定曲线定曲线称为锥面的称为锥面的准线准线。称为锥面的称为锥面的母线母线，动直线动直线17CH1_例例4 建立以椭圆建立以椭圆为准线，为准线，坐标原点为顶点的锥面方程。坐标原点为顶点的锥面方程。解解 设点设点 锥面锥面 上任意一点，上任意一点，过点过点 的母线的母线交椭圆于

8、点交椭圆于点由由锥面方程为锥面方程为椭圆锥面椭圆锥面18CH1_空间曲线空间曲线C C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.1 1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 二二 曲线方程的概念曲线方程的概念19CH1_例例5 5 方程组方程组解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？20CH1_2 2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程出发，以角速度出发，以角速度轴旋转，轴旋转，同时又以线速度同时又以线速度绕绕例例6 6 如果空间一点如果空间一点在圆柱面在圆柱面上从点上从点沿平行沿平行轴的正方向上升（其中轴的正方向上升（其中都

9、是常数），都是常数），于于构成的图形叫做构成的图形叫做螺旋线螺旋线试建立其参数方程试建立其参数方程那么点那么点21CH1_取时间取时间t t为参数，为参数，解解在在面的投影为面的投影为动点从动点从点出发，点出发，经过经过t t时间，运动到时间，运动到点点,则则，记，记即有即有22CH1_例例7 将曲线方程将曲线方程化为参数式方程。化为参数式方程。解解 将将代入代入得得参数式方程为参数式方程为:即即23CH1_3 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影消去变量消去变量后得：后得：设空间曲线设空间曲线的一般方程：的一般方程：称此曲面为曲线称此曲面为曲线面的面的投影柱面投影柱面。关于关于称

10、曲线称曲线为曲线为曲线在在面的面的投影曲线投影曲线。24CH1_类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影.的的投影柱面投影柱面：消去消去得曲线得曲线关于关于面面面上的面上的投影曲线投影曲线；的的投影柱面投影柱面：消去消去得曲线得曲线关于关于面面面上的面上的投影曲线投影曲线.25CH1_例例8 8 求曲线求曲线解解在在 面上的投影面上的投影.消去变量消去变量后得关于后得关于的投影柱面的投影柱面在在面上的投影为面上的投影为26CH1_例例9 9解解 半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为一个圆面一个圆面:.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在

11、求它在锥面所围成锥面所围成 和和由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体xoyyxzyxz+=-=27CH1_三三 二次曲面的截痕法二次曲面的截痕法二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之二次曲面二次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面28CH1_1 1 椭球面椭球面椭球面与平面椭球面与平面的交线为椭圆的交线为椭圆同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.29CH1_椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面球面球面30CH1_2 2 双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面31CH1_3 抛物面抛物面（与与 同号）同号）椭圆抛物面椭圆抛物面设设，图形如下：，图形如下：32CH1_xzy0（与与 同号）同号）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）设设，图形如下：，图形如下：33CH1_