证明不等式的四个基本技巧.pdf

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1、证明不等式的四个基本技巧证明不等式的四个基本技巧2.12.1 三角换元三角换元若对含平方的根的表达式的积分，如若对含平方的根的表达式的积分，如 1 1 x x2 2dxdx，1 1 y y2 2dydy，z z2 2 1dz1dz则可采用下列三角换元则可采用下列三角换元x x sinsint t，y y tantant t，z z 等式。等式。【试题【试题 9 9】证明对正实数】证明对正实数a a,b b,c c，有：，有：1 1，选择合适换元可简化不选择合适换元可简化不coscost t(a a2 2 2 2)()(b b2 2 2 2)()(c c2 2 2 2)9 9(abab bcbc

2、 caca)(2 2 1 1)【解析】选【解析】选A A,B B,C C (0 0,)，采用三角换元，采用三角换元a a 2 2 tantan A A，b b 2 2 tantanB B，c c 2 2 tantanC C2 2 则利用恒等式则利用恒等式1 1 tantan2 2 1 1coscos 2 2改写改写(2 2 1 1)为：为：8 8(tan(tan2 2A A 1 1)(tan)(tan2 2B B 1 1)(tan)(tan2 2C C 1 1)1818(tan(tanA AtantanB B tantanB BtantanC C tantanC CtantanA A)即：即：

3、4 41 1sinsin A AsinsinB BcoscosC C coscos A AsinsinB BsinsinC C sinsin A AcoscosB BsinsinC C 9 9coscos2 2A Acoscos2 2B Bcoscos2 2C Ccoscos A AcoscosB BcoscosC C即：即：coscos A AcoscosB BcoscosC C(sin(sin A AsinsinB BcoscosC C coscos A AsinsinB BsinsinC C sinsin A AcoscosB BsinsinC C)由三角恒等式由三角恒等式cos(cos

4、(A A B B C C)cos(cos(A A B B)cos)cos C C sin(sin(A A B B)sin)sin C C (cos(cos A AcoscosB B sinsin A AsinsinB B)cos)cos C C (sin(sin A AcoscosB B coscos A AsinsinB B)sin)sin C C4 49 9 coscos A AcoscosB BcoscosC C sinsin A AsinsinB BcoscosC C sinsin A AcoscosB BsinsinC C coscos A AsinsinB BsinsinC C即：

5、即：sinsin A AsinsinB BcoscosC C coscos A AsinsinB BsinsinC C sinsin A AcoscosB BsinsinC C coscos A AcoscosB BcoscosC C cos(cos(A A B B C C)将代入式得：将代入式得：4 4 coscos A AcoscosB BcoscosC Ccoscos A AcoscosB BcoscosC C cos(cos(A A B B C C)(2 2 2 2)9 9设设 A A B B C C，应用，应用AMAM GMGM不等式得：不等式得：3 3第第 1 1 页页 cosco

6、s A A coscosB B coscosC C coscos A AcoscosB BcoscosC C 3 3 3 3由于由于A A,B B,C C (0 0,)，在，在x x(0 0,)对余弦函数对余弦函数f f(x x)coscos x x是上凸函数，故由琴是上凸函数，故由琴2 22 2 生不等式得其函数的均值小于均值的函数。生不等式得其函数的均值小于均值的函数。即：即：coscos A A coscosB B coscosC CA A B B C C coscos coscos 3 33 33 3coscos A A coscosB B coscosC C 3 3于是：于是：cos

7、cos A AcoscosB BcoscosC C coscos 3 3 将代入将代入(2 2 2 2)式：式：coscos3 3(cos(cos3 3 coscos3 3)利用三角恒等式：利用三角恒等式：coscos3 3 4 4coscos3 3 3 3coscos 或或coscos3 3 coscos3 3 3 3coscos 3 3coscos3 3 4 49 9式变为：式变为：coscos3 3(cos(cos3 3 coscos3 3)coscos3 3(3 3coscos 3 3coscos3 3)于是：于是：4 4 coscos3 3(cos(cos coscos3 3)cos

8、cos4 4(1 1 coscos2 2)27274 49 9采用采用AMAM GMGM不等式：不等式：coscos2 2 coscos2 2 1 1 coscos2 2 coscos2 2 1 12 23 3 (1 1 coscos)(1 1 coscos2 2)2 22 23 32 22 23 3coscos2 2 coscos2 2 1 14 4 (1 1 coscos2 2)()3 3，即：，即：coscos4 4(1 1 coscos2 2)即：即：2 22 23 327271 1本式当且仅当本式当且仅当tantan A A tantanB B tantanC C 这就证明了式成立。

9、这就证明了式成立。1 12 2，或，或a a b b c c 1 1时，等号成立。时，等号成立。【试题【试题 1010】设】设a a,b b,c c,d d为正实数，且满足：为正实数，且满足：试证：试证：abcdabcd 3 3.1 11 1 a a4 4 1 11 1 b b4 4 1 11 1 c c4 4 1 11 1 d d4 4 1 1【解析】采用三角换元，设【解析】采用三角换元，设a a2 2 tantan A A，b b2 2 tantanB B，c c2 2 tantanC C，d d2 2 tantan D D且且A A,B B,C C,D D(0 0,)，则代数等式变换成三

10、角等式：，则代数等式变换成三角等式：2 2 第第 2 2 页页1 11 1 tantan A A2 2 1 11 1 tantan B B2 2 1 11 1 tantan C C2 2 1 11 1 tantan D D2 2 1 1即：即：coscos2 2A A coscos2 2B B coscos2 2C C coscos2 2D D 1 1即：即：sinsin2 2A A 1 1 coscos2 2A A coscos2 2B B coscos2 2C C coscos2 2D D应用应用AMAM GMGM不等式得：不等式得：coscos2 2B B coscos2 2C C co

11、scos2 2D D 2 23 3(cos(cosB BcoscosC CcoscosD D)3 3由得：由得：sinsin2 2A A 同理可得：同理可得：sinsin2 2B B sinsin2 2D D 2 23 3(cos(cosB BcoscosC CcoscosD D)3 32 23 3(cos(cosC CcoscosD Dcoscos A A)3 3；sinsin2 2C C2 23 3(cos(cosD Dcoscos A AcoscosB B)3 3；2 23 3(cos(cosA AcoscosB BcoscosC C)3 3.四式相乘得：四式相乘得：sinsin2 2A

12、 Asinsin2 2B Bsinsin2 2C Csinsin2 2D D 3 34 4coscos2 2A Acoscos2 2B Bcoscos2 2C Ccoscos2 2D D即：即：tantan2 2A Atantan2 2B Btantan2 2C C tantan2 2D D 3 34 4即：即：a a4 4b b4 4c c4 4d d4 4 3 34 4，即：，即：abcdabcd 3 3.证毕。证毕。【试题【试题 1111】设设x x,y y,z z为正实数，为正实数，且且x x y y z z xyzxyz，试证：试证：1 11 1 x x2 2 1 11 1 y y2

13、 2 1 11 1 z z2 2 3 32 2【解析】采用三角换元，设【解析】采用三角换元，设x x tantanA A，y y tantanB B，z z tantanC C，且，且A A,B B,C C (0 0,)2 2 则代数式变换成三角式：则代数式变换成三角式：tantan A A tantanB B tantanC C tantan A AtantanB BtantanC C由于由于A A,B B,C C (0 0,)，则式满足三角形内角的条件，即：，则式满足三角形内角的条件，即：A A B B C C 2 2 由于由于1 11 1 x x2 2 1 11 1 y y2 2 1 1

14、1 1 z z2 2 1 11 1 tantan A A2 2 1 11 1 tantan B B2 2 1 11 1 tantan C C2 2 coscosA A coscosB B coscosC C则待证式变为：则待证式变为：coscos A A coscosB B coscosC C .定理定理 2.12.1：在任何锐角三角形：在任何锐角三角形ABCABC中，恒有：中，恒有：coscos A A coscosB B coscosC C (2 2 3 3)证明证明：由于：由于f f(x x)coscos x x在在(0 0,)区间是向上凸函数，由琴生不等式知：函数的均区间是向上凸函数，

15、由琴生不等式知：函数的均2 2第第 3 3 页页3 32 23 32 2 值不大于均值的函数。即：值不大于均值的函数。即：coscos A A coscosB B coscosC CA A B B C C 1 1 coscos coscos 3 33 33 32 23 32 2即：即：coscos A A coscosB B coscosC C .证毕。证毕。在证明定理在证明定理 1.51.5 的注解中，已经解释了琴生不等式，即：对于向下凸出的的注解中，已经解释了琴生不等式，即：对于向下凸出的函数，函数的均值不小于均值的函数。那么，对于向上凸出的函数，函数的均函数，函数的均值不小于均值的函数。

16、那么，对于向上凸出的函数，函数的均值不大于均值的函数。值不大于均值的函数。事实上，函数在事实上，函数在x x(,)依然是凸函数，但是是向下凸出的函数。也许有依然是凸函数，但是是向下凸出的函数。也许有2 2 人认为人认为(2 2 3 3)式并不是对所有角成立，可事实上式并不是对所有角成立，可事实上(2 2 3 3)式对锐角、直角、钝角三式对锐角、直角、钝角三角形都成立。角形都成立。定理定理 2.22.2：在任意三角形：在任意三角形ABCABC中，恒有：中，恒有：coscos A A coscosB B coscosC C 证明法一证明法一：由于：由于C C (A A B B)，所以：所以：cos

17、cosC C cos(cos(A A B B)coscos A AcoscosB B sinsin A AsinsinB B3 3 2 2(cos(cos A A coscosB B coscosC C)3 32 2 1 1(sin(sin2 2A A coscos2 2A A)(sin(sin2 2B B coscos2 2B B)2 2(cos(cosA A coscosB B coscosA AcoscosB B sinsinA AsinsinB B)1 1(sin(sin2 2A A sinsin2 2B B 2 2sinsinA AsinsinB B)(cos(cos2 2A A c

18、oscos2 2B B 2 2coscosA AcoscosB B)2 2(cos(cosA A coscosB B)(sin(sinA A sinsinB B)2 2 1 1(cos(cosA A coscosB B)2 2 2 2(cos(cosA A coscosB B)(sin(sinA A sinsinB B)2 2 1 1(cos(cosA A coscosB B)2 2 0 0即：即：3 3 2 2(cos(cos A A coscosB B coscosC C)0 0即：即：coscos A A coscosB B coscosC C .证毕。证毕。证明法二证明法二：设：设BC

19、BC a a，CACA b b，ABAB c c，用余弦定理重写不等式。，用余弦定理重写不等式。b b2 2 c c2 2 a a2 2c c2 2 a a2 2 b b2 2a a2 2 b b2 2 c c2 23 3 2bc2bc2ca2ca2ab2ab2 23 32 2去分母得：去分母得：3abc3abc a a(b b2 2 c c2 2 a a2 2)b b(c c2 2 a a2 2 b b2 2)c c(a a2 2 b b2 2 c c2 2)等价于：等价于：abcabc (b b c c a a)()(c c a a b b)()(a a b b c c)与定理与定理 1.

20、21.2 中的中的(1 1 4 4)式相同。式相同。第第 4 4 页页在在Ch.1Ch.1，我我 们们 证证 明明 了了R R 2r2r等等 效效 于于 代代 数数 不不 等等 式式abcabc (b b c c a a)()(c c a a b b)()(a a b b c c)。在证明上述定理时，上式有等效于三角不等式。在证明上述定理时，上式有等效于三角不等式coscos A A coscosB B coscosC C 3 3R R。有人会问：是否对任意三角形，。有人会问：是否对任意三角形，coscosA A coscosB B coscosC C与与之之2 2r r间，存在自然关系？这里

21、间，存在自然关系？这里R R与与r r分布代表分布代表 ABCABC的外接圆半径与内切圆半径。的外接圆半径与内切圆半径。定理定理 2.32.3：设：设R R与与r r分布代表分布代表 ABCABC的外接圆半径与内切圆半径，则恒有下列关的外接圆半径与内切圆半径，则恒有下列关系：系：coscos A A coscosB B coscosC C 1 1 r r(2 2 4 4)R R证明证明：由余弦定理得：由余弦定理得：b b2 2 c c2 2 a a2 2c c2 2 a a2 2 b b2 2a a2 2 b b2 2 c c2 2coscos A A ，coscosB B ，coscosC

22、C 2bc2bc2ca2ca2ab2ab上面三式相加并通分得：上面三式相加并通分得：a a(b b2 2 c c2 2 a a2 2)b b(c c2 2 a a2 2 b b2 2)c c(a a2 2 b b2 2 c c2 2)coscos A A coscosB B coscosC C 2abc2abc 1 1(abab2 2 acac2 2 a a3 3 bcbc2 2 baba2 2 b b3 3 a a2 2c c b b2 2c c c c3 3)2abc2abc由三角形的面积公式得：由三角形的面积公式得：S S S S1 1(a a b b c c)r r prpr，即：，即

23、：r r p p2 2S S 1 11 1a aabcabcabcabcbcbcsinsin A A bcbc 。即：。即：R R 2 22 22R2R4R4R4S4S及海伦公式：及海伦公式：S S2 2 p p(p p a a)()(p p b b)()(p p c c)由得：由得：r r4S4S2 24 41 1 1 1 1 1(p p a a)()(p p b b)()(p p c c)R Rpabcpabcabcabc 1 1 1 1 1 1(2 2p p 2a2a)()(2 2p p 2b2b)()(2 2p p 2c2c)2abc2abc1 1(b b c c a a)()(c c

24、 a a b b)()(a a b b c c)2abc2abc第第 5 5 页页 1 1 2abc2abc c c2 2(a a b b)2 2(a a b b c c)2abc2abc1 1 2abc2abc c c2 2(a a b b c c)(a a b b)2 2(a a b b c c)2abc2abc 1 1 2abc2abc acac2 2 bcbc2 2 c c3 3(a a b b)2 2(a a b b)c c(a a b b)2 2 2abc2abc1 1 2abc2abc acac2 2 bcbc2 2 c c3 3(a a b b)()(a a2 2 b b2 2

25、)a a2 2c c b b2 2c c 2abc2abc 2abc2abc1 1 acac2 2 bcbc2 2 c c3 3 a a3 3 abab2 2 a a2 2b b b b3 3 a a2 2c c b b2 2c c 2abc2abcr r.证毕。证毕。R R对比式得：对比式得：coscos A A coscosB B coscosC C 1 1【练习【练习 4 4】(a)(a)设设p p,q q,r r为正实数，且为正实数，且p p2 2 q q2 2 r r2 2 2 2pqrpqr 1 1，证明：存在这样一个，证明：存在这样一个锐角三角形锐角三角形ABCABC，满足：，满

26、足：p p coscos A A，q q coscosB B，r r coscosC C.(b)(b)设设p p,q q,r r 0 0，且且p p2 2 q q2 2 r r2 2 2 2pqrpqr 1 1，证明：证明：当当p p coscos A A，q q coscosB B，r r coscosC C，且，且A A B B C C 时，时，A A,B B,C C (0 0,).2 2【试试 题题1212】设设a a,b b,c c为为 非非 负负 实实 数数，且且a a2 2 b b2 2 c c2 2 abcabc 4 4，证证 明明：0 0 abab bcbc caca abca

27、bc 2 2.【解解 析析】注注 意意 到到a a,b b,c c 1 1才才 能能 保保 证证a a2 2 b b2 2 c c2 2 abcabc 4 4，若若a a 1 1，则则abab bcbc caca abcabc bcbc abcabc (1 1 a a)bcbc 0 0，我们现在证明，我们现在证明abab bcbc caca abcabc 2 2.设：设：a a 2 2p p，b b 2q2q，c c 2r2r，代入，代入a a2 2 b b2 2 c c2 2 abcabc 4 4得到：得到：p p2 2 q q2 2 r r2 2 2 2pqrpqr 1 1根据上面的练习题

28、，我们设：根据上面的练习题，我们设：a a 2 2coscosA A，b b 2 2coscosB B，c c 2 2coscosC C，当，当A A,B B,C C (0 0,)，且，且A A B B C C 时，我们需要证明：时，我们需要证明：2 2coscos A AcoscosB B coscosB BcoscosC C coscosC Ccoscos A A 2 2coscos A AcoscosB BcoscosC C 1 12 2 我们可以假设我们可以假设A A 3 3，或，或1 1 2 2coscosA A 0 0请注意：请注意：coscosA AcoscosB B cosco

29、sB BcoscosC C coscosC CcoscosA A 2 2coscosA AcoscosB BcoscosC C第第 6 6 页页 coscos A A(cos(cosB B coscosC C)coscosB BcoscosC C(1 1 2 2coscos A A)由琴生不等式得：由琴生不等式得：coscos A A coscosB B coscosC C ，即：，即：coscosB B coscosC C coscos A A并注意：并注意：2 2coscosB BcoscosC C cos(cos(B B C C)cos(cos(B B C C)1 1 cos(cos(B

30、 B C C)1 1 coscos A A将代入得：将代入得：coscosA AcoscosB B coscosB BcoscosC C coscosC CcoscosA A 2 2coscosA AcoscosB BcoscosC C3 31 1 coscos A A(coscos A A)(1 1 coscos A A)()(1 1 2 2coscos A A)2 22 2 3 31 1coscos A A coscos2 2A A(1 1 3 3coscos A A 2 2coscos2 2A A)2 22 23 31 13 31 1coscos A A coscos2 2A A coscos A A coscos2 2A A 2 22 22 22 23 32 23 32 2即：式得到证明。故：即：式得到证明。故：0 0 abab bcbc caca abcabc 2 2得证。得证。证毕。证毕。本节三角换元的特点，是将代数不等式变换成三角不等式，利用熟知的本节三角换元的特点，是将代数不等式变换成三角不等式，利用熟知的三角关系、三角恒等式来证明不等式，关键要掌握三角恒等式。三角关系、三角恒等式来证明不等式，关键要掌握三角恒等式。第第 7 7 页页