让学生用好基本不等式解题的四个教学技巧(作为代表作预备).pdf

《让学生用好基本不等式解题的四个教学技巧(作为代表作预备).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《让学生用好基本不等式解题的四个教学技巧(作为代表作预备).pdf（5页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、代表作（预备）（第二代表作）让学生用好基本不等式解题的四个教学技巧让学生用好基本不等式解题的四个教学技巧吴享平（福建省厦门第一中学）邮编361000有人说“基本不等式”可以与数学各分支的大部分知识相结合，从而产生许许多多的数学问题，如：比较大小，最值问题，取值范围等等，无不展示着这一不等式的功效与作用。因此，让学生正确理解与掌握这一不等式的有关概念、形式与特点，并能灵活的加以运用是学好数学的必要条件之一，这里，从学生学习该不等式时容易产生的失误，以及在运用该不等式进行解题时，缺乏灵活性与创新性等现象，探索教学中的应对的方法与技巧，仅供教师与学生在教学与学习时参考和借鉴。一一.以“误”导“正”以

2、“误”导“正”，防范在前，防范在前在使用“基本值不等式”证题或求最值时，学生常常只注重这一不等式的形式，容易忽略它成立的条件与取等要求，于是在平时教学时，针对初学生这一特点，采用以“误”攻“误”的策略，让学生加深映象、深化理解，从而使学生能够正确掌握和运用这一不等式进行解题。1.1.引导注意正数条件引导注意正数条件a27a16例.已知aR,a 3，求u 的取值范围.a3(a3)327(a3)211644u(a3)12(a3)15，错解：错解：由a3(a3)(a3)当且仅当 a=时，取到“”.u5,).剖析：剖析：（先引导学生展开判断，启发学生特值检验）如a 5,时，u 3 5，显然，以上解法有

3、错，（再带动学生进行“错因”分析）事实上，以上解法产生错误的根源就在“忽视了定理的正数条件”。正确解法：正确解法：）当a 3时，有a 3 0，于是u (a3)41 5,当且仅(a3)当 a时，取到等号；）当a 3时，有a 3 0，于是u (a 3)4 1(a 3)1(a3)414 3，当且仅当a时，取到等号.u 的取值范围(a3)为(,35,).正确解法：正确解法：u (a3)44由41,令令t (a3)(a3)与同号，(a3)(a3)(a3)|t|(a3)444|a3|2|a3|4，t 4或t 4u 3或或(a3)|a3|a3|u 5，u 的取值范围为(,35,).2.2.引导注意取等条件引

4、导注意取等条件例.已知函数f(x)x24m x23的图象恒在 x 轴的上方，求实数 m 的取值范代表作（预备）（第二代表作）围。错解：错解：依题意得f(x)x 4m x 3 0 m x 3 x 4 m 2222x24x 32在 R 上恒成立.由x24x 32x231x 32x23 1x 32 2（*）m 2.剖析：剖析：以上解法错在（*）式，产生错误的原因是“忽视了定理的取等条件”。（*）式的取“”条件是“当且仅当x 3 1 x 2”，这是不成立的，因此，以上解法有误。2正确解法：正确解法：依题意得f(x)x2 4 mx2 3 0 mx2 3 x2 4 m x 4x2 322在 R 上恒成立.

5、又由y x24x23tx231x23x23 1x23，令t x23,则1t3，+），于是y t ,t 3,),构造h(t)t 1,则 h(t)1 1 0在3，2tt+）上恒成立，h(t)在3，+）上单调递增，h(t)min h(3)例.已知x为锐角，求函数y 4 34 3.m.3341的最小值.cos2xsin2x错解：错解：由由y 41448 28.ymin8.cos2xsin2xcos2xsin2xsin xcosxsin2x剖析：剖析：（先引导学生判断以上解法是否有错，启发学生观察以上解法有几次放缩，从而发现.）以上解法中利用不等式的传递性进行了两次放缩，第一次放缩的取等条件为“cos

6、x 2sin x”；第二次放缩的取等条件为“x 4”，由于两次放缩的取等条件不一致，因此，上述解法的两不等号处不能同时取“”，故而上述解法错误.4(sin2xcos2x)sin2xcos2xsin2xcos2x正确解法：正确解法：由y 54 54 9.2222cos xsin xcos xsin x当且仅当cos x 2 sin x即tan x 2时取“”，ymin 9.2例.设0 x 2，求y (4 x)(2 x)x的最大值.11 4 x2 x2x3(4 x)(2 x)2x()4(*),得ymax 4.223abc3)中“”成立的条件，上面（*）式中“”成立剖析：剖析：错解中忽视了abc (

7、3错解：错解：由y 的条件是“xxx”,这显然不成立.正确解法：正确解法：（通过求导数获解）这里从略.2222正确解法：令正确解法：令t 2x,0 x20t 2且且y(2t)t(2t)t(4t)t(4t)(4t)代表作（预备）（第二代表作）121 2t24t24t2316 32222，当且仅当，当且仅当2t 4t(2t)(4t)(4t)()2239即即t 2 32 316 3时，取到“”时，取到“”。ymax x 2339这就是人们常说的“用基本不等式解题时，要注意一正，二定，三取等一正，二定，三取等”.二、巧选例题，打破“定势”二、巧选例题，打破“定势”针对学生只会定势地、直接地使用基本不等

8、式进行解题的心理，教学时，可选择一些不能直接套用基本不等式，而需要进行变形、转化或构造才能借助基本不等式得以巧妙获解的问题形式，这样有利于锻炼学生的灵活变通能力，提升学生的思维素质。例.已知m n 0，求y mn16的最小值.(mn)n22分析：分析：想直接运用基本不等式求解，显然达不到目的。若注意到(mn)n(mn)nn，且(mn)n n mn，则不难通过“拆项”寻得巧解。解：解：由ymn1616164(mn)nn(mn)nn48.222(mn)n(mn)n(mn)n当且仅当m 4,n 2时取得等号，ymin8.例例.已知a 0,b 0且ab1 ab,求证3a2b 4 35分折：分折：若想直

9、接用基本不等式得“3a2b 6ab”；又由“abab12 ab1，从而解出ab的范围，再代入“3a2b 6ab”而获证，这是不ab2 ab 1 0”可能的，因为两次使用“基本不等式”取“”不一致（如本文中一的）.但是，如果能够想到由条件式“a b 1 ab”解出一个变量用另一个变量来表示，那么就可以把所要求证式的左边化为一个变量的表达式，从而获得如下证法a121,又a,b都是正数，则a 1 0，于是a1a144左边 3a2b 3a2 3(a1)5 2 12 5 4 3 5 右边.不a1a1证明：证明：由a b1 ab得b 等式成立三、变式训练，活跃思维三、变式训练，活跃思维针对学生学习过程中，

10、只注重教师讲什么就听什么，讲一题就只会一题，缺乏灵活变通等特点，教学时，可以在学生理解与掌握例题的基础上，进行一题多变，让学生的思维在变动中活跃起来，学会联想、变通与迁移，从变动中总结特点，提炼方法，达到训练思维，提升能力的目的。例.已知x,yR,且x2y 1，求u 21的最小值.xy代表作（预备）（第二代表作）教师带动学生展开分析，得到如下解法“由u ()(x2y)4(4)448，2 1x y2 1x yxyyx当且仅当x 11,y 时取等号，于是可得umin 8”后，不应该就此结束，而应该多层次、24多角度的带动学生展开变式训练，如变式变式.求函数y 41的最小值。sin2xcos2x22

11、（提示：利用sin xcos x进行代换，答：）14的最大值。x1 xx(1x)x(1x)1xx425()4()，答：）（提示：由f(x)2x1xx1x94m恒成立.求实数 m 的取值范围.变式变式.设a b c,且不等式abbcac变式变式.已知0 x 1，f(x)2（提示：不等式 m(ab)(bc)94答m(,25）恒成立，(ab)(bc)变式变式.若存在实数x(,),使得方程1 12 421求实数 p 的最小值.p0有解，2x1 14x（提示：方程 p 2(2x1)(14x)1341，答：）2(2x1)(14x)。四、特值引导，灵活转化四、特值引导，灵活转化针对一些复杂的多变量问题，学生

12、往往会有一种“望而生畏”的心理，教学时，可根据问题的特征，引导学生进行特值代入，展开探索与分析，采用多种手法（如分析法、代换法等等），将问题进行等价转化，达到化难为易，化繁为简的目的，从而巧妙地将问题得以解决，以提升学生灵活运用基本不等式破解问题的能力与信心。例.已知a,bR，问是否存在正整数 k 使得k3a3b3a2b2恒成立，若存在求出 k 的取值集合，若不存在，说明理由.分析：假设存在正整数 k 使得k a b a b恒成立，即k 33322a2b23a b33恒成立.（由 于a2b23a b33的 最小 值 不好解 决，应 该引 导 学生进 行“特 值”探 索，如）当a b 1代入得k

13、 a2b23a3b33262 2，由此可知满足题意条件的 k 若存在，2至多只能是k 1，如果k=1 成立，即只要3a3b3a2b2(a,bR)成立便可，事实代表作（预备）（第二代表作）上，由3a3b3a2b2（3a3b3)6(a2b2)6(a3b3)2(a2b2)32ab 3(a2b2)显然成立，满足题意条件的 k 存在，k 的取值集合为1.例.已知a,b,cR,求证(bccaab)()()1.caababbcbcca分析：容易发现，该题所要证明的结论式是一个关于a,b,c 的“对称式”，因此，会想到用 a=b=c 的特值代入结论式进行判断，发现恰使“左边”成立；再用a,b,c 不全相等的其

14、他值代入时，都有“左边1”，由此可知，在论证过程中无论怎样的放缩，均要确保 a=b=c的可能情况存在，同时确保a,b,c 三变量的同等“地位”，尽可能地将 a,b,c 三变量向同一式转化，于是可采用如下一种转化、代换方法来加以证明。bccaab)()()c aa ba bb cb cc aa b ca b ca b ca b ca b ca b c(2)(2)(2)c aa ba bb cb cc acaabbc,y,z 设x，则x,y,zR,且x y z 2abcabcabc证明：左边 (111111222222左边(2)(2)(2)(2)(2)(2)xyyzzx2x2y2y2z2z2xx

15、y zx y zx y zx y zx y zx y z(2)(2)(2)2x2y2y2z2z2x1 yzxz1 xzxy1 xyyz()1()1()12 xxyy2 yyzz2 zzxx1 zz1 yx1 xx1 zy1 yy1 xz ()()1()()1()()12 xy2 xy2 yz2 yz2 zx2 zx1 zz 1 xx 1 yyzxy()()()1右边2 xy 2 yz 2 zxxyyzzx不等式成立.（当且仅当x y z时取等号，即caabbca bc时取等号）。abcabcabc总之，在进行基本不等式教学时，教师只要能够充分抓住学生的认知心理，把握学生的思维特点与规律，再结合该不等式的形式与特征，讲究教学方法与技巧，做到有的放矢地克服学生思维成长过程中的消极因素，大力发展其积极因素，这样，学生的学习积极性，主动性以及正确、灵活地运用该不等式进行分析和解决问题的能力将会显著的得以提高.