振动力学(两自由度系统和多自由度系统)ppt课件.ppt

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1、1振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人第第3 3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动主讲：沈火明主讲：沈火明2振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 单单自自由由度度系系统统振振动动问问题题，在在我我们们所所讨讨论论的的范范围围内内是是线线性性定定常常方方程程。而而多多自自由由度度系系统统则

2、则是是二二阶阶多多元元联联立立微微分分方方程程组组，各各广广义义坐坐标标间间存存在在相相互互“耦耦合合”现现象。象。所所谓谓耦耦合合，就就是是变变量量之之间间互互相相联联系系。由由于于这这种种耦耦合合，使使微微分分方方程程的的求求解解变变得得非非常常困困难难。因因此此，分分析析多多自自由由度度系系统统振振动动问问题题的的重重要要内内容容之之一一就就是是如如何何将将方程方程“解耦解耦”，然后按单自由度的分析方法求解。，然后按单自由度的分析方法求解。两自由度是多自由度系统最简单的情况。两自由度是多自由度系统最简单的情况。3振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗

3、通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 建建立立运运动动微微分分方方程程的的方方法法和和单单自自由由度度系系统统基基本本一样一样,但难度更大。但难度更大。3.1.1 运动微分方程运动微分方程3.1 两自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵 标准的标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：系统，对每一质量利用牛顿定律得：4振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，

4、请同学们想一想如何来治疗该病人坐标原点仍取在静平衡位置坐标原点仍取在静平衡位置写成矩阵形式写成矩阵形式5振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人式中：式中：6振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人M称称为为系系统统的的质质量量矩矩阵阵，K称称为为刚刚度度矩矩阵阵，C称称为为阻阻尼尼矩矩阵阵，x为为系系

5、统统的的位位移移列列阵阵，F(t)为为外外激激励列阵。励列阵。对对于于其其它它形形式式的的两两自自由由度度振振动动系系统统同同样样可可得得到到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。由由于于矩矩阵阵M、K、C的的非非对对角角线线元元素素不不为为0，所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程。，所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程。7振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人3.1.2 刚度影响系数与刚度矩阵刚度影响系数与

6、刚度矩阵 刚刚度度矩矩阵阵K中中的的元元素素称称为为刚刚度度影影响响系系数数，其其kij的的力力学学意意义义是是：仅仅在在j坐坐标标处处产产生生单单位位广广义义位位移移，系统平衡时需在系统平衡时需在i坐标处施加的广义力。坐标处施加的广义力。具具体体求求解解时时，只只假假设设j坐坐标标处处的的位位移移为为1，其其它它各坐标的位移均为各坐标的位移均为0。8振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵惯性影响系数与质量矩阵

7、质质量量矩矩阵阵M中中的的元元素素称称为为惯惯性性（质质量量）影影响响系系数数，其其mij的的力力学学意意义义是是：仅仅在在j坐坐标标处处产产生生单单位位广义加速度，需在广义加速度，需在i坐标处施加的广义力。坐标处施加的广义力。具具体体求求解解时时，只只假假设设j坐坐标标处处的的加加速速度度为为1，其其它各坐标的加速度均为它各坐标的加速度均为0。9振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人例例：用用刚刚度度影影响响系系数数和和惯惯性性影影响响系系数数

8、求求标标准准m-k-c系系统统的的刚刚度矩阵和质量矩阵。度矩阵和质量矩阵。10振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 柔柔度度影影响响系系数数Rij的的力力学学意意义义是是：在在j j坐坐标标处处作作用用单单位位广广义义力力，引引起起i坐坐标标处处的的广广义义位位移移。由由柔柔度影响系数就可以形成系统的柔度矩阵度影响系数就可以形成系统的柔度矩阵 R。由由材材料料力力学学的的位位移移互互等等定定理理可可知知RijRji，即即柔度矩阵是对称的。柔度矩

9、阵是对称的。3.2 两自由度系统的位移方程两自由度系统的位移方程 柔度矩阵柔度矩阵3.2.1 柔度影响系数与柔度矩阵柔度影响系数与柔度矩阵11振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人例例：用用柔柔度度影影响响系系数数求求标标准准m-k-c系统的柔度矩阵。系统的柔度矩阵。12振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来

10、治疗该病人 以柔度矩阵表示的方程为位移方程。以柔度矩阵表示的方程为位移方程。对对标标准准m-k-c振振动动系系统统，质质量量m1和和m2上上的的静静位位移移可可以以表表示示为为xst=RF，而而系系统统的的动动位位移移为为这就是系统振动方程的位移形式。这就是系统振动方程的位移形式。3.2.2 位移方程位移方程13振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 因为因为R为正定矩阵，于是位移方程又可写为为正定矩阵，于是位移方程又可写为与力形式的方程比较知与

11、力形式的方程比较知 K=R1，R=K1 即对于正定系统即对于正定系统R和和K互为逆矩阵。互为逆矩阵。14振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人【例例3-13-1】求求系系统统的的振振动动微微分分方方程程。已已知知梁梁的的抗抗弯弯刚刚度为度为EIEI。解解：用用影影响响系系数数法法。由材料力学挠度公式由材料力学挠度公式 15振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面

12、积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人则则 而而 则方程为则方程为 16振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人若写为力方程形式若写为力方程形式 则方程为则方程为 下面用影响系数法直接求下面用影响系数法直接求K:17振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 设设x1=1,x2=0

13、，则则由由材料力学公式有：材料力学公式有：同理有同理有 求求出出各各个个刚刚度度系系数数即组成刚度矩阵即组成刚度矩阵K。18振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 对对于于非非标标准准的的m-k-c多多自自由由度度振振动动系系统统，用用传传统统的的动动力力学学方方法法建建立立运运动动微微分分方方程程比比较较困困难难，更更适适合合使使用用拉拉格格郎郎日日方方程程和和能能量量的的方方法法。拉拉格格郎郎日日方方程程为：为：用拉格朗日方程用拉格朗日方程建

14、立振动系统的运动微分方程建立振动系统的运动微分方程拉格朗日方程拉格朗日方程19振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 其其中中：T为为系系统统的的动动能能，V为为势势能能，Qi为为非非有有势势力力的的广广义义力力，drk为为与与非非有有势势广广义义力力Fk对对应应的的广广义义虚虚位位移。移。实实际际计计算算广广义义力力Qi时时，通通常常假假设设与与xi对对应应的的广广义义虚位移不等于零，其它虚位移都等于零。虚位移不等于零，其它虚位移都等于零。（i

15、1，2）20振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人【例例3-2】用用拉拉格格郎郎日日方方程程推推导导两两自自由由度度m-k-c系系统微振动微分方程。统微振动微分方程。解解：取取静静平平衡衡位位置置为为坐坐标原点和零势能位置。标原点和零势能位置。21振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人静平衡位置：静

16、平衡位置：则：则：22振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人23振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人计计算广算广义义力，力，设设m1产产生虚位移生虚位移dx1，而，而dx20，则则 同同样设样设m2产产生虚位移生虚位移dx2，而，而dx10，则则 24振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多

17、自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程 得得整理写成矩整理写成矩阵阵形式即可。形式即可。25振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人【例例3-3】用用拉拉格格郎郎日日方方程程建建立系统微振动微分方程。立系统微振动微分方程。解解：取取静静平平衡衡位位置置为为坐坐标原点和零势能位置标原点和零势能位置 x1x2D D1D

18、 D2而而 则则 26振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人所以所以 27振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人计计算广算广义义力，力，设设只有只有x1处处产产生虚位移生虚位移d dx1，则则 同同样设样设x2处处产产生虚位移生虚位移d dx2，则则 代入拉格朗日方程即可。代入拉格朗日方程即可。28

19、振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 只给出公式，不作严格推导。只给出公式，不作严格推导。1.质量矩阵的形成质量矩阵的形成 系统的动能可以表示为系统的动能可以表示为用能量法确定振动系统的用能量法确定振动系统的M、K、C29振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人记记则则 M即为所求的质量矩阵，显然为

20、对称阵。即为所求的质量矩阵，显然为对称阵。2.刚度矩阵的形成刚度矩阵的形成 势能可写为势能可写为 K即为所求的刚度矩阵，也是对称阵。即为所求的刚度矩阵，也是对称阵。30振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人3.阻尼矩阵的形成阻尼矩阵的形成 线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为C即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵。即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵。31振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病

21、人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人【例【例3-4】求求M和和K。解解：取取静静平平衡衡位位置置为为坐坐标原点和零势能位置标原点和零势能位置 ll则则 能量法能量法32振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人将余弦函数用级数展开，表示为将余弦函数用级数展开，表示为则则 所以所以 33振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取

22、烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人无阻尼自由振动系统的运动方程为无阻尼自由振动系统的运动方程为3.3.1固有频率与固有振型固有频率与固有振型3.3 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动假设方程解的形式为假设方程解的形式为34振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 这这里里：X1、X2为为振振动动幅幅值值，w w为为固固有有频频率率，a a 为初相位。代入振动方程可得

23、：为初相位。代入振动方程可得：这这是是广广义义的的特特征征值值问问题题，K-w w2M称称为为特特征征矩矩阵阵。要要使使上上式式有有解解，必必须须使使其其系系数数行行列列式式为为零。若零。若M为对角阵，为对角阵，K为对称阵，则有为对称阵，则有35振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 上上式式称称为为频频率率方方程程或或特特征征方方程程。由由此此可可求求出出w w2的两个正实根。且规定的两个正实根。且规定w w1=w w2。将将这这两两个个根根代

24、代入入广广义义特特征征值值问问题题(Kw w2M)X=0可得到相应的振幅比值可得到相应的振幅比值 式式中中X(i)表表示示对对应应于于第第i个个固固有有频频率率的的振振幅幅(i=1,2)。由由数数学学概概念念知知道道，只只能能求求出出振振幅幅的比值，而不能确定各振幅大小。的比值，而不能确定各振幅大小。36振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 和和单单自自由由度度一一样样，由由于于固固有有频频率率和和振振幅幅比比ui只只决决定定于于系系统统本本身

25、身的的物物理理特特性性，而而与与外外部部激激励励和和初初始始条条件件无无关关，这这表表明明它它们们都都是是系系统统的的固固有有属属性性。因因此此把把w wi称称为为系系统统的的固固有有频频率率或或主主频频率率，ui称为系统的固有振型或主振型。称为系统的固有振型或主振型。将振幅写成矩阵形式将振幅写成矩阵形式 称称为为振振型型向向量量或或模模态态向向量量，组组成成的的矩矩阵阵称为振型矩阵。称为振型矩阵。37振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 式式

26、中中的的X1可可以以取取任任意意值值。显显然然两两个个主主振振动的叠加也是方程的解，即动的叠加也是方程的解，即3.4 系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动38振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 由由解解的的形形式式可可看看出出，系系统统两两质质量量按按相相同同的的频频率率和和相相位位角角作作简简谐谐运运动动，这这种种运运动动称称为为固固有有振振动动或或主主振动。振动。每每一一个个主主

27、振振动动称称为为一一个个模模态态，w wi和和对对应应的的ui组组成成第第i 阶模态参数。阶模态参数。系系统统在在主主振振动动中中，各各质质点点同同时时达达到到平平衡衡位位置置或或最最大大位位移移，而而在在整整个个振振动动过过程程中中，各各质质点点位位移移的的比比值值将将始始终终保保持持不不变变，也也就就是是说说，在在主主振振动动中中，系系统统振动的形式保持不变，这就是振型的物理意义。振动的形式保持不变，这就是振型的物理意义。39振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们

28、想一想如何来治疗该病人 式式中中的的各各个个X、a a和和C均均为为任任意意常常数数，由由初初始始条条件确定。件确定。或写为下面的形式或写为下面的形式40振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人将初始条件代入可得将初始条件代入可得设初始条件为设初始条件为t0时时41振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病

29、人 综综上上所所述述，系系统统对对初初始始激激励励的的响响应应求求解步骤为：解步骤为：（1）建建立立运运动动微微分分方方程程，求求出出质质量量矩矩阵阵M和刚度矩阵和刚度矩阵K;（2）确定固有频率）确定固有频率w wi 和振幅比和振幅比ui;（3）利用初始条件求响应。）利用初始条件求响应。42振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人【3-5】求系统的频率方程。求系统的频率方程。解解：取取静静平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点和零势能位置和零势能位置

30、 则则 43振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人将余弦函数表示为将余弦函数表示为则则 所以所以 44振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人【T5-26】求系统的固有频率。】求系统的固有频率。解：用牛顿定律解：用牛顿定律 而而 x1x2dd1dd2dd3解得解得 则方程为则方程为 45振动理论及应用

31、第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人频率方程为频率方程为即即 展开得展开得 46振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人频率方程为频率方程为解得解得47振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同

32、学们想一想如何来治疗该病人【3-5】质质量量为为m2的的物物块块从从高高h处处自自由由落落下下，然然后后与与弹弹簧簧质质量量系系统统一一起起做做自自由由振振动动，已已知知m1m2m，k1k2k，h100 mg/k，求系统的振动响应。，求系统的振动响应。解解:（1）用牛顿定律建立方程用牛顿定律建立方程48振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人（2）频率方程为）频率方程为解得解得（3）求振型。利用）求振型。利用则则同理同理49振动理论及应用第第3章章

33、 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人（4）求响应）求响应初始条件初始条件代入得代入得50振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人解得解得响应为响应为51振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想

34、如何来治疗该病人 在在二二阶阶振振动动微微分分方方程程中中，如如果果质质量量矩矩阵阵M和和刚刚度度矩矩阵阵K的的各各个个元元素素都都不不为为零零，则则在在两两个个方方程程中中都都同同时时包包含含坐坐标标x1和和x2和和它它们们的的导导数数项项，这这种种情情形称为坐标耦合。形称为坐标耦合。把把M为为对对角角阵阵，K不不是是对对角角阵阵的的情情形形称称为为静静力力耦耦合合或或弹弹性性耦耦合合（刚刚性性耦耦合合），把把K为为对对角角阵阵，M不是对角阵的情形称为动力耦合或惯性耦合。不是对角阵的情形称为动力耦合或惯性耦合。3.5 广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合52振动理论及应用第第3章章 多自由度

35、系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 方方程程是是否否耦耦合合与与广广义义坐坐标标的的选选取取有有关关。前前面分析的标准面分析的标准m-k-c系统就是静力耦合。系统就是静力耦合。对对于于下下面面的的振振动动系系统统，设设杆杆的的质质量量为为m，绕质心的转动惯量为绕质心的转动惯量为JC。53振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 若

36、若取取质质心心位位移移x和和转转角角q q为为广广义义坐坐标标，则则自自由由振振动动方方程程是是静力耦合的静力耦合的54振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 若若坐坐标标x不不取取在在质质心心,而而是是选选在在满满足足k1a1k2b2的的O点点位位置置，利利用用平平面面运运动微分方程可得到动微分方程可得到 其其中中e为为O点点距距质质心心的的距距离离，这这时时运运动动方方程是动力耦合的。程是动力耦合的。O OCea1b155振动理论及应用第第3

37、章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 同同样样，若若将将坐坐标标x取取在在最最左左端端A，利利用用平平面面运运动动微微分分方方程程得得到运动方程为到运动方程为 这这里里的的a和和b如如原原图图所所标标的的位位置置。方方程程既既是静力耦合又是动力耦合。是静力耦合又是动力耦合。56振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人

38、从从前前面面的的分分析析可可知知，只只要要广广义义坐坐标标形形式式选选择择合合适适，就就可可以以得得到到没没有有坐坐标标耦耦合合的的运运动动微微分分方方程程，这时的广义坐标称为主坐标。这时的广义坐标称为主坐标。主主坐坐标标下下的的质质量量矩矩阵阵和和刚刚度度矩矩阵阵除除主主对对角角线线元元素素外外，其其余余元元素素均均为为零零，各各个个运运动动方方程程的的坐坐标标之间不存在耦合。之间不存在耦合。3.6 主坐标主坐标57振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来

39、治疗该病人其中其中u是前面得到的振型矩阵是前面得到的振型矩阵令令 将将x代代入入原原振振动动方方程程，化化简简后后就就可可得得到到解耦的运动方程（下章证明）解耦的运动方程（下章证明）58振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 显显然然上上述述解解耦耦的的方方程程的的解解可可以以用用单单自由度振动的方法独立求得自由度振动的方法独立求得 将将其其代代入入x=uP即即可可得得到到用用原原始坐标始坐标x表示的一般解。表示的一般解。主主坐坐标标的的概概念念

40、在在强强迫迫振振动动中中具具有有重重要意义。要意义。59振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 利利用用主主坐坐标标解解耦耦的的方方法法求求解解系系统统响响应应的基本步骤为：的基本步骤为：（1）求求出出原原振振动动方方程程的的固固有有频频率率和和振振幅幅比，得到振型矩阵比，得到振型矩阵u；（2）求出主坐标下的响应；）求出主坐标下的响应；（3）利利用用式式x=uP得得出出原原广广义义坐坐标标下的响应；下的响应；（4）利用初始条件确定常系数。）利用初

41、始条件确定常系数。60振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人【例例3-7】标标准准m-k-c系系统统中中，设设m1m,m22m,k1k2k,k32k,c=0,求求系系统统的的固固有有频频率率和和固固有有振振型型。利利用用坐坐标标变变换换方方法法求求系系统统对对初初始始激激励励的的响响应应。设设初初始条件为始条件为61振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤

42、病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 解解:（1）求固有频率和振幅比）求固有频率和振幅比,得到振型矩阵得到振型矩阵u62振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人（3）利用式）利用式x=uP得出得出（2）主坐标下的响应）主坐标下的响应（4）确定常系数。将初始条件代入得）确定常系数。将初始条件代入得63振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤

43、病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人联立解得联立解得所以所以64振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人两自由度振动微分方程为两自由度振动微分方程为复数解法复数解法3.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动设干扰力为谐和函数，并表示为复数形式设干扰力为谐和函数，并表示为复数形式令方程的解为令方程的解为65振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，

44、但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人其中其中X1和和X2为复振幅。将上式代入方程得为复振幅。将上式代入方程得其中其中(i,j=1,2)若为无阻尼系统，则若为无阻尼系统，则66振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人振幅为振幅为 若若干干扰扰力力为为正正弦弦函函数数或或余余弦弦函函数数，则则前前面面分析中相关的分析中相关的eiw w t 变为变为sinw w t 或或cosw w t 即可。即可。即即67振动理论及

45、应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 由此可看出由此可看出:（1）当当激激励励频频率率与与系系统统的的固固有有频频率率接接近近时时，系系统统出出现现共共振振现现象象，即即无无阻阻尼尼振振幅幅将将达达到到无无穷穷大大，所所不同的是，两自由度系统有两个共振峰；不同的是，两自由度系统有两个共振峰；（2）阻阻尼尼的的存存在在使使共共振振振振幅幅减减小小，在在相相同同的的阻阻尼尼下下，频频率率高高的的共共振振峰峰降降低低的的程程度度比比频频率率低低的的大大。因因此

46、此实实际际结结构构的的动动力力响响应应只只需需要要考考虑虑最最低低几几阶阶模模态的影响。态的影响。68振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 和和单单自自由由度度的的概概念念类类似似，可可以以绘绘出出频频率率比比与与振振幅幅之间随阻尼比的变化曲线之间随阻尼比的变化曲线幅频响应曲线幅频响应曲线频率响应曲线频率响应曲线 共振现象共振现象69振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移

47、植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人【例例3-8】在在两两自自由由度度标标准准m-k系系统统中中，设设m1m2m，k1k2k3k，在在第第一一个个质质量量上上作作用用有干扰力有干扰力F1(t)=F0cosw wt，求系统的响应。，求系统的响应。解：解：设解为设解为代入振动方程得代入振动方程得70振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人即即解得解得因此系统的响应为因此系统的响应为71振动理论及应用第第3章章 多

48、自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 【3-9】图图示示系系统统，xsa sinw wt，当当w w为为基基频频的的0.707倍倍时时，车车体体W2的的振振幅幅为为a的的多多少少倍倍。已已知知W144100 N，W2441000 N，k11.683107 N/m，k23.136108 N/m。解解:振动方程为振动方程为即即72振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮

49、肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 代入数据，求得固有频率为代入数据，求得固有频率为 w w118.04，w w2282.97 机车振动频率为机车振动频率为 w w0.707 w w1 0.707 18.04 12.76利用前面的方法求得振幅为利用前面的方法求得振幅为73振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 当当机机器器转转速速在在共共振振区区域域附附近近时时会会引引起起剧剧烈烈的的振振动动，由由单单自自由由度度系系统统振振动动理理论论知

50、知道道，可可以以通通过过调调整整质质量量或弹簧刚度或增加阻尼来使振动情况得到缓解。或弹簧刚度或增加阻尼来使振动情况得到缓解。动动力力吸吸振振器器的的原原理理是是在在原原系系统统上上附附加加一一个个新新的的m-k或或m-c系系统统，使使其其变变成成两两自自由由度度的的振振动动系系统统，利利用用前面研究的理论，使原振动系统的振幅趋于零。前面研究的理论，使原振动系统的振幅趋于零。动力吸振器动力吸振器74振动理论及应用第第3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的健康皮肤进行自体移植，但对于大面积烧伤病人来讲，健康皮肤很有限，请同学们想一想如何来治疗该病人 m1-k1