直升机动力学基础(多自由度系统振动-2011-11) (2).ppt

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1、南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology练习练习1.1.静止在平衡位置上的单自由静止在平衡位置上的单自由度系统，已知参数度系统，已知参数m m、k k、c c，求其受，求其受简谐激振力简谐激振力 作用时作用时的振动响应。的振动响应。南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of H

2、elicopter Technology 第三章多自由度系统的振动南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology两自由度振动系统两自由度振动系统南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology方程之间存在方程之间存在耦合耦合根据牛顿第二定律得系统

3、的运动方程：根据牛顿第二定律得系统的运动方程：南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology 写成矩阵形式：写成矩阵形式：南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology 从方程中可以看到描述系统特性的从方程中可以看到描述系统特性的M、K不再是两

4、个常数而是两个常数矩不再是两个常数而是两个常数矩阵。并且系统中各质量块的运动是关联阵。并且系统中各质量块的运动是关联的。这反映在矩阵的。这反映在矩阵K中非对角元素不为中非对角元素不为零。通常将这种系统运动的相互关联称零。通常将这种系统运动的相互关联称为为耦合耦合。南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University

5、 of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology(1)刚度影响系数刚度影响系数 考虑一个系统中的两个坐标考虑一个系统中的两个坐标i i和和j j。沿坐。沿坐标标j j 作用单位位移，而把其它坐标固定，由作用单位位移，而把其它坐标固定，由此在坐标此在坐标i i上产生的力，就定义为刚度影响系上产生的力，就定义为刚度影响系数数1.1.刚度矩阵的建立刚度矩阵的建立南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术

6、研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology 如果系统具有如果系统具有n n个自由度，个自由度，x x1 1到到x xn n，则根，则根据线性叠加原理，相应的力为据线性叠加原理，相应的力为:结论：刚度矩阵结论：刚度矩阵K K中的元素中的元素k kijij是使系统仅在第是使系统仅在第j j个坐标上产生单位位移个坐标上产生单位位移,而相应于第而相应于第i i个坐标个坐标上所需施加的力上所需施加的力。矩阵型式为矩阵型式为:南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术

7、研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology刚度影响系数刚度影响系数南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology南京航空航天大学南京航空航天大学Nan

8、jing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology2.2.阻尼矩阵的建立阻尼矩阵的建立阻尼影响系数阻尼影响系数 ：第：第 个自由度产生单位速度，其他自由度处的速度为零个自由度产生单位速度，其他自由度处的速度为零 时，需要在第时，需要在第 自由度处施加的力。自由度处施加的力。质量影响系数质量影响系数 ：第：第 个自由度产生单位加速度，其他自由度处的加速度个自由度产生单位加速度，其他自由度处的加速度 为零时，需要在第为零时，需要在第 自由度处施加的力。自由度处施加

9、的力。3.3.质量矩阵的建立质量矩阵的建立南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology 在分析力学中，基于虚位移原理和达朗在分析力学中，基于虚位移原理和达朗贝尔原理，可导出一般完整约束系统的贝尔原理，可导出一般完整约束系统的LagrangeLagrange方程，即：方程，即：（j=1，2N）1 1.完整定常约束系统的完整定常约束系统的LagrangeLagrange方程方程 系统不存在线性粘性阻尼时系统不存在线性粘性

10、阻尼时动能动能广义坐标广义坐标势能势能与广义坐标与广义坐标 对应的非保守外力对应的非保守外力(除有势力以外的所有外力除有势力以外的所有外力).).系统存在线性粘性阻尼时系统存在线性粘性阻尼时的的Lagrange方程方程耗散函数耗散函数:广义力等于势能对于相应广义坐标的偏广义力等于势能对于相应广义坐标的偏导数的负值导数的负值.阻尼力阻尼力:耗散函数：耗散函数：对于离散系统对于离散系统,耗散函数耗散函数的计算类似于系统的计算类似于系统弹性势能弹性势能的计算的计算,只不过只不过需要将需要将弹性势能弹性势能的计算中的的计算中的刚度系数刚度系数换成换成阻尼系数阻尼系数,广义位移换广义位移换成成广广义速度

11、义速度2 2.利用利用Lagrange方程建立系统运动微分方程的步骤方程建立系统运动微分方程的步骤 选定系统的广义坐标选定系统的广义坐标;计算系统的动能计算系统的动能,势能和耗散函数势能和耗散函数,并计算有关偏导数并计算有关偏导数;计算对应于各个广义坐标的非保守广义力计算对应于各个广义坐标的非保守广义力.3 3.用用Lagrange方程建立系统运动微分方程的优点方程建立系统运动微分方程的优点不用做隔离体的受力分析不用做隔离体的受力分析,免去处理约束力免去处理约束力,是建立复杂离是建立复杂离散系统运动微分方程的首选方法散系统运动微分方程的首选方法.由微振动假设由微振动假设,系统各个广义位移和广义

12、速度都可以看作系统各个广义位移和广义速度都可以看作是一阶小量是一阶小量,从而导出的微幅振动方程也将精确到一阶小量从而导出的微幅振动方程也将精确到一阶小量.利用利用Lagrange方程求系统的运动微分方程时，系统的能方程求系统的运动微分方程时，系统的能量要对广义坐标求一阶导数，由于求导运算将使精度降低一阶，量要对广义坐标求一阶导数，由于求导运算将使精度降低一阶，所以在计算所以在计算动能动能和和势能势能的时候必须的时候必须精确到二阶小量精确到二阶小量。4 4.注意事项注意事项【例例】建立图示系统的运动方程建立图示系统的运动方程解解:取取 为广义坐标，则该系统的动、势能分别为：为广义坐标，则该系统的

13、动、势能分别为：非保守外力在虚位移上所做虚功之和非保守外力在虚位移上所做虚功之和【例例】建立图示系统的运动方程建立图示系统的运动方程取小车的绝对位移取小车的绝对位移 和圆柱体的绝对位和圆柱体的绝对位移移 为广义坐标为广义坐标.运动方程运动方程:【例例】建立图示系统的运动方程建立图示系统的运动方程取小车的绝对位移取小车的绝对位移 和摆的偏转角和摆的偏转角 为广义坐标为广义坐标.计算动能计算动能:计算势能计算势能:取取 为系统的零势能位置为系统的零势能位置.计算耗散函数计算耗散函数:运动方程运动方程:南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics

14、&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology二自由度的固有振动二自由度的固有振动如图所示系统的自由振动响应由下述微分方程组和初始条件确定，即如图所示系统的自由振动响应由下述微分方程组和初始条件确定，即南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing Uni

15、versity of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology 如上方程组的解具有以下形式如上方程组的解具有以下形式将其带入到方程中，得到一二元齐次线性方程组，写成矩阵形式如下：将其带入到方程中，得到一二元齐次线性方程组，写成矩阵形式如下：对于二自由度系统，系统矩阵式对于二自由度系统，系统矩阵式2*2的对称矩阵。欲使系统振动，则应的对称矩阵。欲使系统振动，则应有非零解，这要求有非零解，这要求南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics

16、&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology展开上述行列式，可得展开上述行列式，可得视上式为视上式为 的二次代数方程，解出一对根的二次代数方程，解出一对根将其分别带回二元齐次方程组求非零解，可确定两个实数向量将其分别带回二元齐次方程组求非零解，可确定两个实数向量南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology 因此，二自由度无阻尼系统的自由

17、振动响应为因此，二自由度无阻尼系统的自由振动响应为上述分析表明，二自由度无阻尼系统具有两种不同频率的同步自由振动上述分析表明，二自由度无阻尼系统具有两种不同频率的同步自由振动仿照研究单自由度系统的术语，将这两个频率从小到大依次称为第一阶仿照研究单自由度系统的术语，将这两个频率从小到大依次称为第一阶和第二阶固有频率，响应的振动分别称为系统的第一阶和第二阶固有振和第二阶固有频率，响应的振动分别称为系统的第一阶和第二阶固有振动。动。为了确定系统的固有振动，还需具体获得待定的振幅向量为了确定系统的固有振动，还需具体获得待定的振幅向量 和和 。为此将为此将 代入齐次方程组，从而得到代入齐次方程组，从而得

18、到 的分量的分量 和和 应满足的关系应满足的关系南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology根据线性代数关于解的理论，上述方程根据线性代数关于解的理论，上述方程 有无穷多解，无法确定具体的有无穷多解，无法确定具体的和和 。因此，只能确定系统作第一阶固有振动时的两质量块振幅之比。因此，只能确定系统作第一阶固有振动时的两质量块振幅之比同理可得系统作第二阶固有振动时两质量块振幅之比同理可得系统作第二阶固有振动时两质量块振幅

19、之比向量向量 和和 反映了二自由度系统做固有振动时的反映了二自由度系统做固有振动时的形态，分别称之为第一阶和第二阶固有振动的振型，或称固有振型。形态，分别称之为第一阶和第二阶固有振动的振型，或称固有振型。南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology从固有振型的表达式中可以得出固有振型具有如下性质：从固有振型的表达式中可以得出固有振型具有如下性质：（1）固有振型）固有振型 反映了二自由度系统作第反映了二自由度系统作第r

20、阶固有振动阶固有振动 时两坐标位移时两坐标位移的比例关系，说明的比例关系，说明 两质量块的固有振动总是同频率的简谐振动，但可能两质量块的固有振动总是同频率的简谐振动，但可能是同相是同相 或反相或反相 振动。振动。（2）对任一固有振型）对任一固有振型 和非零实数和非零实数 ，仍是对应固有频率仍是对应固有频率 的固的固有振型，即固有振型只能确定到有振型，即固有振型只能确定到 相差一个实常数因子的程度。相差一个实常数因子的程度。南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute

21、 of Helicopter Technology下图表示了两下图表示了两 自由度系统固有振动时两质量块的振动幅值关系。自由度系统固有振动时两质量块的振动幅值关系。南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology二自由度系统的自由振动二自由度系统的自由振动 根据线性常微分方程理论可知，二自由度无阻尼系统的任一自由振动根据线性常微分方程理论可知，二自由度无阻尼系统的任一自由振动总是这两种固有振动的线性组合，即总是这两种固有

22、振动的线性组合，即 式中常数式中常数 和和 由初始条件确定。由初始条件确定。因此，二自由度无阻尼系统的自由振动与单自由度无阻尼系统的自由因此，二自由度无阻尼系统的自由振动与单自由度无阻尼系统的自由振动有本质区别；单自由度无阻尼的自由振动与固有振动是振动有本质区别；单自由度无阻尼的自由振动与固有振动是 同一种振动同一种振动在任意初始条件下总是简谐的；而二自由度无阻尼系统的自由振动一般在任意初始条件下总是简谐的；而二自由度无阻尼系统的自由振动一般是两种不同频率是两种不同频率 固有振动的线性组合，未必是简谐振动，甚至一般是非固有振动的线性组合，未必是简谐振动，甚至一般是非周期振动。周期振动。南京航空

23、航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology二自由度系统的运动耦合和解耦矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合耦合与坐标变刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合耦合与坐标变换换 以两自由度系统为例以两自由度系统为例南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of

24、 Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology 如果系统仅在第一个坐标上产生加速度如果系统仅在第一个坐标上产生加速度可见，不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引可见，不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力；而出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的起惯性力；而出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力坐标上引起惯性力同样道理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上同样道理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移

25、只在该坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力别的坐标上引起弹性恢复力耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性

26、耦合？即也不出现弹性耦合？即：如有则方程解耦，变成了两个单自由度问题如有则方程解耦，变成了两个单自由度问题使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标主坐标南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology结论：假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X和和Y有如下的变换关系：有如下的变换关系：TY=X其中其中 T 是非奇异矩阵，

27、如果在坐标是非奇异矩阵，如果在坐标 XX下系统的运动微分方程为：下系统的运动微分方程为：那么在坐标那么在坐标 Y 下的运动微分方程为：下的运动微分方程为：如果恰巧如果恰巧Y是主坐标是主坐标,都为对角阵都为对角阵这样的这样的T是否存在？如何寻找？是否存在？如何寻找？南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology当当T矩阵非奇异时，称矩阵矩阵非奇异时，称矩阵A与矩阵与矩阵 合同合同对于质量矩阵也如此对于质量矩阵也如此线性代

28、数知，合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质线性代数知，合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质对称性质对称性质：若矩阵：若矩阵A对称，则对称，则 对称对称正定性质正定性质：若原来的刚度矩阵：若原来的刚度矩阵K正定，则正定，则 仍正定仍正定 因此坐标变换因此坐标变换XTY 不改变系统的正定性质不改变系统的正定性质 对于质量矩阵也如此对于质量矩阵也如此南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology多自由度系统的固有

29、振动多自由度系统的固有振动（1）固有振动的形式和条件）固有振动的形式和条件 多自由度系统方程的矩阵与二自由度系统类似。因此在选定的物多自由度系统方程的矩阵与二自由度系统类似。因此在选定的物理坐标理坐标x下，无阻尼系统的自由振动应服从下述微分方程的初值问题，下，无阻尼系统的自由振动应服从下述微分方程的初值问题，即即 仿照二自由度的解，可以设多自由度的解为：仿照二自由度的解，可以设多自由度的解为：南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter

30、Technology同样把解带入到运动方程中，可以得到同样把解带入到运动方程中，可以得到 按照线性代数，这是矩阵束按照线性代数，这是矩阵束K和和M的广义特征值问题，标量的广义特征值问题，标量 和对应和对应的非零向量的非零向量 分别称为分别称为特征值特征值和和特征向量特征向量。上式有非零解向量的充分必要条件是上式有非零解向量的充分必要条件是 这是一个有关这是一个有关 的的N次代数方程，称为特征方程。次代数方程，称为特征方程。解出特征根带回求解特征向量得到运动方程的解南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技

31、术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology 由质量矩阵的正定性和刚度矩阵的半正定性可知，任意的特征向量由质量矩阵的正定性和刚度矩阵的半正定性可知，任意的特征向量 总使得总使得 这里的这里的 和和 分别定义为第分别定义为第r阶广义质量和第阶广义质量和第r阶广义刚度。因此可知阶广义刚度。因此可知 特征值特征值 均为非负实数。将均为非负实数。将 带回求解可解得特征向量带回求解可解得特征向量 ，也被称，也被称为系统的固有振型。为系统的固有振型。根据上述分析，系统的解确实为根据上述分析，系统的解确实为 其运动特征是系统中各质点以同一频率其运动特征是系统中

32、各质点以同一频率 和同一初相位和同一初相位 振动。将振动。将无阻尼系统的这种自由振动称其做第无阻尼系统的这种自由振动称其做第r阶固有振动，称阶固有振动，称 为它的第为它的第r阶固阶固有频率，称有频率，称 为它的第为它的第r阶固有振型。阶固有振型。南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology固有振型的性质固有振型的性质l 固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性 式中式中 上

33、式说明，互异固有频率所对应的固有振型关于质量矩阵和刚度上式说明，互异固有频率所对应的固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵加权正交。矩阵加权正交。l 固有振型的线性无关性固有振型的线性无关性 即诸即诸 （r=1，2N）线性无关。）线性无关。南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology上节内容小结上节内容小结 N N自由度无阻尼系统总有自由度无阻尼系统总有N N个线性无关的固有振个线性无关的固有振型，它们中的任意两个均关于系统

34、质量矩阵的刚度型，它们中的任意两个均关于系统质量矩阵的刚度矩阵加权正交。若引入固有振型矩阵矩阵加权正交。若引入固有振型矩阵则它是可逆方阵，并且满足矩阵形式的正交关系则它是可逆方阵，并且满足矩阵形式的正交关系南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology坐标变换与解耦 N N自由度无阻尼系统总有自由度无阻尼系统总有N N个线性无关的固有振型，因此，可用它做个线性无关的固有振型，因此，可用它做基地来张成描述系统运动的空间。

35、引入坐标变换基地来张成描述系统运动的空间。引入坐标变换 一般地，一般地，x x是建立系统微分方程时用的坐标，具有物理含义，通常被是建立系统微分方程时用的坐标，具有物理含义，通常被称为物理坐标；而称为物理坐标；而q q可能不易直观看出其物理意义，从而称为广义坐标。可能不易直观看出其物理意义，从而称为广义坐标。广义坐标反映了每一固有振型对系统运动的贡献量，故称之为主坐标，广义坐标反映了每一固有振型对系统运动的贡献量，故称之为主坐标，上述坐标变换被称为主坐标变换，可以借助主坐标变换实现系统方程的上述坐标变换被称为主坐标变换，可以借助主坐标变换实现系统方程的完全解耦。完全解耦。运动微分方程在主坐标下的

36、形式为运动微分方程在主坐标下的形式为 坐标下系统的运动是解耦的。解耦的系统运动是它的坐标下系统的运动是解耦的。解耦的系统运动是它的N N个固有振动。个固有振动。南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology例：直升机在起落架上沿铅垂平面的振动例：直升机在起落架上沿铅垂平面的振动南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升

37、机技术研究所Institute of Helicopter Technology南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology设方程的解为：设方程的解为：南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjin

38、g University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicop

39、ter Technology南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology 多自由度无阻尼系统的受迫振动服从于下述常微分方程组的初值问题多自由度无阻尼系统的受

40、迫振动服从于下述常微分方程组的初值问题1 单位脉冲响应矩阵单位脉冲响应矩阵 应用主坐标变换应用主坐标变换可将上述常微分方程转换为可将上述常微分方程转换为N个单自由度系统的零状态响应问题个单自由度系统的零状态响应问题南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology 考察系统第考察系统第j个自由度受单位脉冲后第个自由度受单位脉冲后第r阶主坐标的响应，它服从阶主坐标的响应，它服从 得到系统响应为得到系统响应为 这是单位脉冲响应

41、矩阵的第这是单位脉冲响应矩阵的第j列，故单位脉冲响应矩阵为列，故单位脉冲响应矩阵为 这正是单位脉冲响应矩阵的阵型展开式。这正是单位脉冲响应矩阵的阵型展开式。南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology2 任意激励下的响应任意激励下的响应 有了单位脉冲响应矩阵，系统受任意激励后得零状态响应为有了单位脉冲响应矩阵，系统受任意激励后得零状态响应为 考虑系统初始状态对响应的贡献时，系统的响应为考虑系统初始状态对响应的贡献时，

42、系统的响应为南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology动力吸振器动力吸振器南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology许多机器或部件由于旋转部分的质量偏心而产生强迫振动，为减小这许多机器或部件由于旋转部分的质量偏心而产生强迫振动，为减小这

43、种振动有时可以采用动力吸振器种振动有时可以采用动力吸振器 有阻尼动力吸振有阻尼动力吸振器系统器系统 主系统质主系统质量，量，主系统主系统刚度刚度主质量上作主质量上作用有简谐激用有简谐激振力振力阻尼动力吸振器阻尼动力吸振器质量质量刚度刚度阻尼阻尼c南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology 考虑无阻尼动力吸振器的情况考虑无阻尼动力吸振器的情况 系统的强迫振动方程为系统的强迫振动方程为 令令 得到稳态响应振幅得到稳态响

44、应振幅南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astronautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology ：系统的特征多项式：系统的特征多项式 当当 时，时，主系统不再振动，这种情况称为主系统不再振动，这种情况称为反共振反共振 此时此时 吸振器振幅吸振器振幅 主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力平衡主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力平衡南京航空航天大学南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics&Astro

45、nautics直升机技术研究所直升机技术研究所Institute of Helicopter Technology练习练习2.2.一直升机主减速器与机身之间隔振弹簧垂一直升机主减速器与机身之间隔振弹簧垂直方向的刚度为直方向的刚度为k1k1，起落架在地面滑跑时垂直方，起落架在地面滑跑时垂直方向的刚度为向的刚度为k2k2。已知旋翼和主减速器的质量为。已知旋翼和主减速器的质量为m1m1，机身质量为，机身质量为m2m2，桨叶片数为，桨叶片数为n n，不计阻尼。，不计阻尼。（1 1）当直升机滑跑时，桨毂上作用有垂直方向的）当直升机滑跑时，桨毂上作用有垂直方向的激振力激振力 ，求机身的稳态响应。，求机身的稳态响应。（2 2）当直升机飞行时，桨毂上作用有垂直方向的当直升机飞行时，桨毂上作用有垂直方向的激振力激振力 ，求机身的稳态响应。，求机身的稳态响应。