概率-第1讲.ppt

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1、概率论与数理统计概率论与数理统计主讲：邱燕红主讲：邱燕红课程介绍课程介绍:48学时学时,共讲共讲8章章.5章是概率论，章是概率论，章是数理统计章是数理统计有百分之多少的把握能通过这次概率考试？有百分之多少的把握能通过这次概率考试？1、重要的专业基础课：是计量经济学、抽样调查、市场调查、多元统计、统计预测与决策、时间序列分析、国民经济核算、数据处理与数据分析等专业主干课的学习基础。2、考研的重要内容：考研的数学试卷150分，其中概率论与数理统计内容约40分。3、重要工具：工作中遇到的大量问题，要用数理统计的方法去处理。概率论在物理、化学、生物、生态、天文、地质、医学等学科中，在控制论、信息论、电

2、子技术、预报、运筹等工程技术中的应用广泛。为什么学概率论？为什么学概率论？1、现象2、概率论与数理统计：研究和揭示随机现象的统计规律性的学科。什么是概率论？什么是概率论？确定性现象确定性现象不确定现象不确定现象随机现象随机现象（偶然现象偶然现象）模糊现象模糊现象概率论的起源概率论的起源 赌博赌博概率论概率论的发展的发展概率论发展简介概率论发展简介概率论数理统计随机过程 概率论和数理统计是一门概率论和数理统计是一门随机数学随机数学分支分支。许多。许多应用数学，如应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论信息论、对策论、排队论、控制论等等都以概率论作为基础。都以概率论作为基础。课程学习特点课程学习

3、特点 概率统计在研究方法上有它的特殊性，概率统计在研究方法上有它的特殊性，和其它数学学科的和其它数学学科的主要不同点主要不同点有：有：第一，由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理的，这些定义、公理、定理是来源于自然界的随机规律，但这些定义、公理、定理是确定的，不存在任何随机性。第二，在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法。这是因为它研究的对象随机现象的范围是很大的，在进行试验、观测的时候，不可能也不必要全部进行。但是

4、由这一部分资料所得出的一些结论，要全体范围内推断这些结论的可靠性。第三，随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的。而真正得出结果后，对于每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。下面我们就来开始这门课程的学习下面我们就来开始这门课程的学习1.1-1.1-1.2 1.2 概率论的基本概念概率论的基本概念 第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念预习教材预习教材“第第1-51-5页页”（2-32-3分钟分钟）请回答请回答:请解释请解释随机试验，样本空间，随机事件随机试验，样本空间，随机事件并说明之间

5、的关系并说明之间的关系?可试举例说明可试举例说明.随机试验随机试验E样本空间样本空间S样本点样本点e随机事件随机事件A 一、几个基本概念一、几个基本概念1、随机试验、随机试验随机试验随机试验具有以下具有以下特点特点:(1)(1)可以在可以在相同条件相同条件下下重复重复进行进行;(2)(2)每次试验的每次试验的可能结果不止一个可能结果不止一个,并且并且事先事先明确明确试验的所有可能结果试验的所有可能结果;(3)(3)进行一次试验进行一次试验之前不能确定之前不能确定哪一个结果会哪一个结果会出现出现.对随机现象进行一次观察和试验，统称对随机现象进行一次观察和试验，统称为为随机试验随机试验。简称为试验

6、，用。简称为试验，用E表示表示2、样本空间与样本点、样本空间与样本点随随机机试试验验E的的所所有有可可能能结结果果组组成成的的集集合合，称称为为E的的样本空间样本空间，用，用S表示，记为表示，记为注意：注意：1）e的完备性，互斥性特点的完备性，互斥性特点S=e e|e e为为E的可能结果的可能结果样本空间的元素样本空间的元素e，也称为也称为样本点样本点.2）试验的样本点与样本空间是根据试验的试验的样本点与样本空间是根据试验的内容而确定的内容而确定的.样本空间的实例样本空间的实例E E1 1:将一枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次,观察正面观察正面H H、反面反面T T出出现的情况现的情况.则样本

7、空间为则样本空间为S1=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)HheadTtailE E2 2:将一枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次,观察正面观察正面H H出现的次数出现的次数.则样本空间为则样本空间为S2=0,1,2注：注：试验的样本点与样本空间是根据试验的内容试验的样本点与样本空间是根据试验的内容而确定的而确定的.理解理解随机事件随机事件的几个重要概念的几个重要概念 （从集合观点出发）（从集合观点出发）（5 5）不可能事件不可能事件(Impossibleevent)样本空间样本空间S 由样本空间中的单个元素组成的子集由样本空间中的单个元素组成的子集（2）事件事件A发生发生（1）事件

8、的）事件的定义定义是相应样本空间的一个子集是相应样本空间的一个子集.当且仅当当且仅当A中的某个样本点出现中的某个样本点出现.（3 3）基本事件基本事件(Basicevents).（4 4）必然事件必然事件(Certainevent)空集空集E E3 3:抛一粒骰子抛一粒骰子,观察出现的点数观察出现的点数.则则样本空间样本空间为为S3=1,2,3,4,5,6随机事件的实例随机事件的实例(1)Ai=掷出掷出i点点i=1,2,3,4,5,6(不可能事件不可能事件)（基本事件）（基本事件）(必然事件必然事件S)S)(2)“掷出点数小于掷出点数小于7”(3)“掷出点数掷出点数8”1、包含关系：2、等价关

9、系：3、和事件：4、积事件：二二.事件的关系与运算事件的关系与运算5、差事件：例例1:抛一粒骰子，事件抛一粒骰子，事件A=“出现点数不超过出现点数不超过3”，B=“出现偶数点出现偶数点”.则则A=1，2，3，B=2，4，6.A-B=B-A=？1，34，66、A、B互不相容(互斥)：7、A、B互逆(对立)：若若事件事件 是两两互不相容的。是两两互不相容的。8 8、事件运算的法则、事件运算的法则1、交换律、交换律(Exchangelaw)：ABBA，ABBA2、结合律结合律(Combinationlaw)：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律分配律(Distributivelaw)

10、：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、DeMorgan对偶律对偶律(Duallaw)：（1）第三次第三次才才中奖中奖（2）恰恰有一次中奖有一次中奖（3）至少至少有一次中奖有一次中奖（5）不止不止一次中奖一次中奖（4）至多至多中奖二次中奖二次例例2：某人连续购买体育彩票，令事件：某人连续购买体育彩票，令事件A、B、C分别表示其第一、二、三、次所买的彩票中奖，分别表示其第一、二、三、次所买的彩票中奖，试用试用A，B，C及其运算表示下列事件：及其运算表示下列事件：事事件件在在一一次次试试验验中中是是否否发发生生具具有有随随机机性性，它它发发生生的的可可能能性性大大小小是是其其本

11、本身身所所固固有有的的性性质质，概概率率是是度度量量某某事事件件发发生生可可能能性性大大小的一种数量指标小的一种数量指标.我们简要介绍了我们简要介绍了随机试验随机试验样本空间样本空间随机事件随机事件给出了事件的集合表示给出了事件的集合表示 研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率也就是事件的概率.概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！1.3 1.3 概率的定

12、义及性质概率的定义及性质 事件发生的可能性事件发生的可能性最大是百分之百，此时最大是百分之百，此时概率为概率为1.0P(A)1我们用我们用P(A)表示表示事件事件A发生发生的概率，则的概率，则 事件发生的可能性事件发生的可能性最小是零，此时最小是零，此时概率为概率为0.那么要问那么要问:如何求得某事件的概率呢如何求得某事件的概率呢?一一.概率的频率定义概率的频率定义1.1.事件的频率事件的频率 设设试试验验E的的样样本本空空间间为为S，A为为E的的一一个个事事件件，把把试试验验E重重复复进进行行n次次，这这n次次试试验验中中事事件件A发发生生的的次次数数nA 称称为为事事件件的的频频数数，比比

13、值值nA/n 称称为为在在这这n次次试验中试验中事件发生的频率事件发生的频率，记作，记作fn(A)，即，即 fn(A)=nA/n直直观观想想法法是是用用频频率率来来近近似似事事件件A在在一一次次试试验验中中发发生生的的可可能能性性的的大大小小，但但是是这这种种近似是否可行呢？近似是否可行呢？掷掷一一枚枚均均匀匀硬硬币币，记记录录前前400次次掷掷硬硬币币试试验验中中频频率率P*的波动情况。的波动情况。（横轴为对数尺度）（横轴为对数尺度）2.频率的稳定性频率的稳定性长期实践表明长期实践表明，在重复试验中，事件，在重复试验中，事件A发生的发生的频率频率fn(A)总在一个常数值附近摆动，而且，随总在

14、一个常数值附近摆动，而且，随着重复试验次数着重复试验次数n 的增加，频率的摆动幅度越的增加，频率的摆动幅度越来越小来越小.观测到的大偏差越来越稀少观测到的大偏差越来越稀少，呈现出，呈现出一定的稳定性一定的稳定性.3概率的频率定义概率的频率定义在在一一组组不不变变的的条条件件下下，重重复复作作n 次次试试验验，当当试试验验次次数数n 很很大大时时，事事件件A发发生生的的频频率率fn(A)稳稳定定地地在在某某数数值值p 附附近近摆摆动动。称称数数值值p 为为事事件件A 在在这这一组不变的条件下发生的概率，记作一组不变的条件下发生的概率，记作fn(A)=p4频率定义概率的意义频率定义概率的意义（1）

15、它它提提供供了了一一种种可可广广泛泛应应用用的的，近近似似计计算算事事件概率的方法。件概率的方法。（2）它提供了一种检验理论正确与否的准则。）它提供了一种检验理论正确与否的准则。5.频率的基本性质频率的基本性质（1）对任意事件对任意事件A，有有（2）（3）若）若A1，A2，An是是两两互不相容两两互不相容的，则的，则即即通过规定概率应具备的通过规定概率应具备的基本性质来定义概率基本性质来定义概率.下面介绍用公理给出的概率定义下面介绍用公理给出的概率定义.1933年，前苏联数学家柯年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的尔莫哥洛夫给出了概率的公理公理化定义化定义.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且

16、柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，极为简单，但在此基础上建立起了概率论但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦的宏伟大厦.二、概率的公理化定义二、概率的公理化定义设设E是随机试验，是随机试验，S是它的样本空间，对是它的样本空间，对于于S中的每一个事件中的每一个事件A，赋予一个实数，记为赋予一个实数，记为P(A)，称为事件称为事件A的概率，如果集合函数的概率，如果集合函数P()满足下述三条公理满足下述三条公理:公理公理2 P(S)=1（规范性规范性）公理公理3若事件若事件A1,A2,两两互不相容两两互不相容，则，则有有（可列可加性可列可加性）公理公理10P(A)1（非负性非负性）公理公理2

17、P(S)=1（规范性规范性）公理公理3若事件若事件A1,A2,两两互不相容两两互不相容，则，则有有（可列可加性可列可加性）公理公理1说明，任一事件的概率介于说明，任一事件的概率介于0与与1之间；之间；公理公理2说明，必然事件的概率为说明，必然事件的概率为1；公理公理3说明，对于任何说明，对于任何互不相容（互斥）互不相容（互斥）的的事件序列，这些事件至少有一个发生的概事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和率正好等于它们各自概率之和.公理公理10P(A)1（非负性非负性）由概率的三条公理，我们可以推导由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质出概率的若干性质.下面我们就

18、来给出下面我们就来给出概率的一些简单性质概率的一些简单性质.三概率的性质三概率的性质(1)（2）有限可加性）有限可加性:若若A1，A2，An两两互不相容两两互不相容，则，则(3)若若A B,则有则有P(B A)=P(B)P(A)P(A)P(B)（4）对任一事件）对任一事件A，有有或或思考思考：P(B-A)=?又因又因再由性质再由性质3即得结论即得结论(5)对任何两个事件对任何两个事件A,B，都有都有三个事件和的概率为三个事件和的概率为=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)对任何对任何n个事件个事件A1，A2，An,都有都有（符号规律（符号规律奇加偶减）奇加偶

19、减）2.若若,则有则有1.若若,则有则有概率性质重点强调以下几点：概率性质重点强调以下几点：3.一般情况下应有一般情况下应有（遇差（遇差找找公共部分；遇和公共部分；遇和去去公共部分）公共部分）例例(1)若事件若事件A与与B互不相容互不相容,求求（2）若）若A B,求求（3）若）若P(AB)=1/8,求求设设P(A)=1/3,P(B)=1/2提示提示:本节主要内容及要求：本节主要内容及要求：1）熟练掌握事件的关系与运算法则：包含、交、）熟练掌握事件的关系与运算法则：包含、交、并、差、互不相容、对立等关系和德摩根定律并、差、互不相容、对立等关系和德摩根定律.会会用事件的关系表示随机事件用事件的关系

20、表示随机事件.2）掌握概率的定义及性质：）掌握概率的定义及性质：例如，了解发生意外人身事故的例如，了解发生意外人身事故的可能性大小可能性大小,确定保险金额确定保险金额.了解来商场购物的顾客人数的各种了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员可能性大小，合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度性大小，合理确定堤坝高度.随机现象随机现象即在相同的条件下，重复进行观测即在相同的条件下，重复进行观测或试验，它的结果未必是相同的。或试验，它的结果未必是相同的。在在一一定定的的条条件件下下，可可能能出出现现这这样样的的结结果果，也也

21、可可能能出出现现那那样样的的结结果果，而而试试验验或或观观察察前，不能预知确切的结果。前，不能预知确切的结果。随机现象随机现象的特点的特点：虽虽然然在在个个别别试试验验中中，其其结结果果呈呈现现出出不不确确定定性性，但但是是人人们们经经过过长长期期实实践践并并深深入入研研究究之之后后，发发现现在在大大量量重重复复试试验验或或观观察察下下，这类现象的结果呈现出某种规律性这类现象的结果呈现出某种规律性这种在大量重复试验或观察中，所呈这种在大量重复试验或观察中，所呈现出的固有规律性称之为现出的固有规律性称之为统计规律性统计规律性赌博遇到数学问题：1)1)如果同时掷两颗骰子，则点数之和为如果同时掷两颗

22、骰子，则点数之和为9 9与点数与点数之和为之和为1010，哪种情况出现的可能性较大？，哪种情况出现的可能性较大？3)3)分赌注问题分赌注问题：两个人决定赌若干局，先约：两个人决定赌若干局，先约定谁先赢得定谁先赢得6 6局便算赢家。如果在一人赢局便算赢家。如果在一人赢3 3局，另局，另一人赢一人赢4 4局时因故中止赌博，应如何分赌注？局时因故中止赌博，应如何分赌注？2)2)将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会较多，同时将两枚骰子连掷二十四次，至少出现会较多，同时将两枚骰子连掷二十四次，至少出现一次双六的机会却很少。这是为什么呢？一次双六的机会却很少。这是

23、为什么呢？数学家参与赌博：(1)(法)帕斯卡和费马：亲自做赌博实验并仔亲自做赌博实验并仔细分析计算出现的各种问题，完整地解决了细分析计算出现的各种问题，完整地解决了分分赌注问题赌注问题，建立了概率论的基本概念，建立了概率论的基本概念数学期数学期望望，这是描述随机变量平均取值的一个量。，这是描述随机变量平均取值的一个量。(2)(荷兰)惠更斯：经过多年潜心研究，解决了掷骰子中的一些问题，于1657年写成了专著论掷骰子游戏中的计算，这本书被认为是关于概率论的最早的论著。可以说，帕斯卡、费马、惠更斯是概率论的真正创立者。这一时期称为组合概率时期，可以计算各种古典概型。雅可布雅可布伯努利伯努利：3、(瑞

24、士瑞士)伯努利数学家族对概率论做出伯努利数学家族对概率论做出了重要贡献了重要贡献：(1)在前人研究的基础上，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法；(2)发现并证明了“大数定律”：在实验条件不在实验条件不变的情况下，重复试验多次，随机事件出现的变的情况下，重复试验多次，随机事件出现的频率近似于它的概率。他做了大量的实验，猜频率近似于它的概率。他做了大量的实验，猜想到这一事实后花费了想到这一事实后花费了2020年的时间，在取得许年的时间，在取得许多新成果后，终于证明了这个定理。多新成果后，终于证明了这个定理。尼古拉尼古拉伯努利伯努利：提出并解决了“圣彼得堡问题”：甲掷一枚硬币到掷出正面为一局。若甲甲掷

25、一枚硬币到掷出正面为一局。若甲第一次掷得正面，则乙付给甲第一次掷得正面，则乙付给甲1 1元；若甲第一次元；若甲第一次掷得反面，第二次掷得正面，则乙付给甲掷得反面，第二次掷得正面，则乙付给甲3 3元；元；若甲前若甲前n-1n-1次均掷得反面，第次均掷得反面，第n n次掷得正面，则次掷得正面，则乙付给甲乙付给甲2n-12n-1元。问题是：为了不使乙赔钱元。问题是：为了不使乙赔钱,在在赌博开始前甲应付给乙多少元？赌博开始前甲应付给乙多少元？许多数学家研究了这个问题，并给出了一些不同的解法，其结果是很奇特的：所付的款数竟为无限大。即不管甲事先拿出多少钱给乙，只要赌博不断地进行，乙肯定是要赔钱的。4、随

26、着1819世纪科学的发展，从机会游戏起源的概率论被应用到生物、物理、社会现象等领域中，大大推动了概率论的发展。法国数学家拉普拉斯明确给出了古典概率论的定义，并在概率论中引进了数学分析的工具，将其推向了近代概率论的新阶段。概率论概率论是根据大量同类随机现象的统计规律，是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。间的联系

27、，从而形成一整套数学理论和方法。概率论基本概念与古典概率一维随机变量二维随机变量随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理数理统计数理统计是应用概率的理论来研究大量随机是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的验所得到的统计方法给出严格的理论证明理论证明；并判；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度可靠程度和局限性。使我们能从一组和局限性。使我们能从一组样本样本来判定来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以并可以控制发生错误的概率控制发生错误的概率。数理统计数理统计基本概念参数估计假设检验方差分析回归分析非参数检验（遇和（遇和去去公共部分）公共部分）（遇差（遇差找找公共部分）公共部分）