2019版高中数学 第一章 1.3.3 函数的最大(小)值与导数（二）学案 新人教A版选修2-2.doc

《2019版高中数学 第一章 1.3.3 函数的最大(小)值与导数（二）学案 新人教A版选修2-2.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高中数学 第一章 1.3.3 函数的最大(小)值与导数（二）学案 新人教A版选修2-2.doc（15页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、11 13.33.3 函数的最大函数的最大( (小小) )值与导数值与导数( (二二) )学习目标 1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题知识点 用导数求函数f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f(x)；(2)求极值嫌疑点：即f(x)不存在的点和f(x)0 的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f(x)与f(x)随x变化的一览表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)

2、在其定义域内的最大值和最小值.类型一 由极值与最值关系求参数范围例 1 若函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )A(1，) B(1,4)11C(1,2 D(1,2)考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 最值存在性问题答案 C解析 由f(x)33x20，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)22由此得a2120，即6b0，0f(2)2c，解得c2.故实数c的取值范围为(，1)(2，)引申探究 若本例中条件不变， “把(2)中对x1,2，不等式f(x)c ，1 23 2所以f(1)c

3、 为最小值3 2因为存在x1,2，不等式f(x)f(1)c ，即 2c22c30，3 2解得cR R.故实数c的取值范围为 R R.反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练 2 (1)已知函数f(x)2xln x，g(x)x2ax3 对一切x(0，)，f(x)g(x)恒成立，则a的取值范围是_考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围答案 (，4解析 由 2xln xx2ax3，4得a2ln xx .3 x设h(x)2ln x x(x0)3 x则h(x)，x3x1x2当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增h(x)minh(1)4.a4.(2

4、)设L为曲线C：y在点(1,0)处的切线ln x x求L的方程；证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 恒成立中的证明问题解 设f(x)，ln x x则f(x)，1ln x x2所以f(1)1，所以L的方程为yx1.证明 设g(x)x1f(x)，除切点外，曲线C在直线L的下方等价于x0 且x1，g(x)0.g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).x21ln x x2当 01 时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)在(1，)上单调递增；所以，x0 且x1，g(x)g(1)0.所以除切点外，曲线C在直线L的下方.51函数f(x)

5、xex，x0,4的最大值是( )A0 B. C. D.1 e4 e42 e2考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 B解析 f(x)exxexex(1x)，当 0x1 时，f(x)0，f(x)单调递增，当 1x4 时，f(x)0，f(x)单调递减，当x1 时，f(x)maxf(1) .故选 B.1 e2函数f(x)xln x的最小值为( )Ae2 BeCe1 D10 3考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 C解析 f(x)xln x，定义域是(0，)，f(x)1ln x，令f(x)0，解得x ，1 e令f(x)0 恒成立，则实数a的取值范围

6、是( )A(1，) B(，1)C1，) D(，1考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围答案 A解析 f(x)ex1，令f(x)0，解得x0，6令f(x)0 恒成立，则 1a0，解得a1，故选 A.4已知函数f(x)x33x22，x1，x2是区间1,1上任意两个值，M|f(x1)f(x2)|恒成立，则M的最小值是_考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围答案 4解析 f(x)3x26x3x(x2)，当1x0，f(x)单调递增，当 00)在x1 处取得极值3c，其中a，b，c为常数(1)试确定a，b的值；(2)讨论函数f(x)的

7、单调区间；(3)若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求实数c的取值范围考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围解 (1)由f(x)在x1 处取得极值3c知f(1)bc3c，得b3.又f(x)4ax3ln xax4 4bx31 xx3(4aln xa4b)，由f(1)0，得a4b0，a4b12.(2)由(1)知f(x)48x3ln x(x0)令f(x)0，得x1.当 01 时，f(x)0，f(x)为增函数因此，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(3)由(2)知f(1)3c既是极小值，也是(0，)内的最小值，要使f(x)2c2(x0)

8、恒成立，只需3c2c2，即 2c2c30.从而(2c3)(c1)0，解得c 或c1.3 2故实数c的取值范围为(，1.3 2，)1若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内2已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值.一、选择题1已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)在1,1上的最大值、最小值分别为( )A0，4 B.，44 27C.，0 D2,04 27考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 B解析 由题意得Error!

9、即Error!得Error!则f(x)x32x2x，f(x)3x24x1，令f(x)0 得x1 或x ，1 3由f ，f(1)4，f(1)0，(1 3)4 27f(x)max，f(x)min4.4 272已知a，b为正实数，函数f(x)ax3bx2 在0,1上的最大值为 4，则f(x)在1,0上的最小值为( )8A0 B.3 2C2 D2考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求含参数函数的最值答案 A解析 因为a，b为正实数，所以f(x)ax3bx2 是增函数，函数f(x)ax3bx2 在0,1上的最大值f(1)ab24，ab2.在1,0上的最小值为f(1)(ab)20.3若关于x的不等式x

10、33x3a0 恒成立，其中2x3，则实数a的最大值为( )A1 B1C5 D21考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 D解析 若关于x的不等式x33x3a0 恒成立，则ax33x3 在2,3上恒成立，令f(x)x33x3，x2,3，则f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，解得11 或x0 恒成立，则实数m的取值范围是( )A. B.(，e1 2)(e1 2，)C(，e1) D(e1，)考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 A解析 当x(0,3)时，关于x的不等式 exx2mx0 恒成立，即为

11、 2m10，f(x)单调递增可得f(x)在x1 处取得最小值 e，即有 2m10 时，f(x)f(3)1，又f(x)x33x21 在a，)上的最大值为 1，a的取值范围为3,06关于函数f(x)(2xx2)ex的命题：f(x)0 的解集是x|00，所以f(x)0，即需 2xx20 解得x|01 时，f(x)0；当10，对一切实数x恒成立，令h(x)exxa，则h(x)min0，h(x)ex1，令h(x)0 得x0，当x0 时，h(x)0，则h(x)在(0，)上单调递增，当x0 时，h(x)取得极小值，即最小值为h(0)1a，1a0，即a1.10已知函数f(x)ax33x1，且对任意x(0,1，

12、f(x)0 恒成立，则实数a的取值范围是_考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 4，)解析 当x(0,1时，不等式ax33x10 可化为a.3x1 x3设g(x)，x(0,1，3x1 x3则g(x).3x33x13x2x66(x12) x4令g(x)0，得x .1 2当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0，1 2)1 2(1 2，1g(x)012g(x)极大值因此g(x)的最大值等于极大值g4，则实数a的取值范围是4，)(1 2)11已知函数f(x)axln x，g(x)exax，其中a为正实数，若f(x)在(1，)上无最小值，且g

13、(x)在(1，)上是单调递增函数，则实数a的取值范围为_考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 最值存在性问题答案 1，e解析 f(x)axln x(x0)，f(x)a ，1 xax1 x若f(x)在(1，)上无最小值，则f(x)在(1，)上单调，f(x)0 在(1，)上恒成立，或f(x)0 在(1，)上恒成立，a 或a ，而函数y 在(1，)上单调递减，1 x1 x1 x当x1 时，函数y取得最大值 1，a1 或a0，而a为正实数，故a1，又g(x)exax，g(x)exa，函数g(x)exax在区间(1，)上单调递增，g(x)exa0 在区间(1，)上恒成立，a(ex)min在区间(1，

14、)上恒成立而 exe，ae.综合，a1，e三、解答题12已知函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cR R)(1)若函数f(x)在x1 和x3 处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x2,6时，f(x)54；当c0，函数f(x)单调递增；在(1,2)上，有f(x)0，函数f(x)单调递增；在(1,2)上，有f(x)1，则 01，11ea 1.综上所述，a的取值范围是a.1 e2四、探究与拓展14设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )A1 B. C. D.1 25222考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不

15、含参数函数的最值答案 D解析 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|yt2ln t(t0)y2t .1 t2t21 t2(t22)(t22) t当 0时，y0，可知y在上单调递增22(22，)故当t时，|MN|有极小值也是最小值2215已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求a的取值范围15考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 已知最值求参数解 (1)f(x)的定义域为(0，)，f(x) a.1 x若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；(0，1 a)当x时，f(x)0 时，f(x)在上单调递增，(0，1 a)在上单调递减(1 a，)(2)由(1)知，当a0 时，f(x)在(0，)上无最大值；当a0 时，f(x)在x 处取得极大值且为最大值，最大值为f lnaln 1 a(1 a)(1 a)(11 a)aa1.因此f 2a2 等价于 ln aa11 时，g(a)0.因此，a 的取值范围是(0,1)