2019版高中数学 第一章导数的计算 第3课时 简单复合函数的导数学案 新人教A版选修2-2.doc

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1、1第第 3 3 课时课时 简单复合函数的导数简单复合函数的导数学习目标 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(axb)的导数)知识点 复合函数的概念及求导法则已知函数yln(2x5)，ysin(x2)思考 这两个函数有什么共同特征？答案 函数yln(2x5)，ysin(x2)都是由两个基本函数复合而成的梳理复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x).复合函数的求导法

2、则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1函数yex的导数为yex.( )2函数f(x)sin(x)的导数为f(x)cos x( )3函数ycos(3x1)由函数ycos u，u3x1 复合而成( )类型一 求复合函数的导数命题角度1 单纯的复合函数求导例 1 求下列函数的导数(1)y；112x2(2)ylog2(2x1)；2(3)yecos x1；(4)ysin2.(2x 3)考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数解 (1)y1 22(12)x，设y1 2u，u12x2，则y(1 2

3、u)(12x2)(4x)(1 2)3 22(12)x(4x)2x3 22(12)x.1 2(2)设ylog2u，u2x1，则yxyuux.2 uln 222x1ln 2(3)设yeu，ucos x1，则yxyuuxeu(sin x)ecos x1sin x.(4)y1cos(4x23)2对于tcos，(4x2 3)设u4x，2 3则tcos u，tuux4sin u4sin.(4x2 3)y2sin.(4x2 3)反思与感悟 (1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪3个变量求导；计算结果尽量简洁跟踪训练 1 求下列函数的导数(1

4、)y(x24)2；(2)yln(6x4)；(3)y103x2；(4)y；2x1(5)ysin；(6)ycos2x.(3x 4)考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数解 (1)y2(x24)(x24)2(x24)2x4x316x.(2)y(6x4).1 6x43 3x2(3)y(103x2ln 10)(3x2)3103x2ln 10.(4)y(2x1) .12 2x112x1(5)ycos3cos.(3x 4) (3x 4)(3x 4)(6)y2cos x(cos x)2cos xsin xsin 2x.命题角度2 复合函数与导数运算法则结合求导例 2 求下列函数的导数(1)y；ln

5、3x ex(2)yx；1x2(3)yxcossin.(2x 2)(2x 2)考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数解 (1)(ln 3x)(3x) ，1 3x1 xyln 3xexln 3xexex2.1 xln 3x ex1xln 3x xex(2)y(x)1x2xx()1x21x241x2x21x2.12x2 1x21x2(3)yxcossin(2x 2)(2x 2)x(sin 2x)cos 2xxsin 4x，1 2y(1 2xsin 4x) sin 4x cos 4x41 2x 2 sin 4x2xcos 4x.1 2反思与感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结

6、构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导跟踪训练 2 求下列函数的导数(1)ysin3xsin x3；(2)yxln(12x)考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数解 (1)y(sin3xsin x3)(sin3x)(sin x3)3sin2xcos xcos x33x23sin2xcos x3x2cos x3.(2)yxln(12x)xln(12x)ln(12x).2x 12x类型二 复合函数导数的

7、应用例 3 设f(x)ln(x1)axb(a，bR R，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线x1yx在(0,0)点相切，求a，b的值3 2考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 由曲线yf(x)过(0,0)点，5可得 ln 11b0，故b1.由f(x)ln(x1)axb，x1得f(x)a，1 x112x1则f(0)1 a a，1 23 2即为曲线yf(x)在点(0,0)处的切线的斜率由题意，得 a ，故a0.3 23 2反思与感悟 复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻

8、求切点是解决问题的关键跟踪训练 3 曲线yesin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线2l的方程考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 由yesin x，得y(esin x)cos xesin x，即=0|xy1，则切线方程为y1x0，即xy10.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为xyc0.两平行线间的距离d，得c3 或c1.|c1|22故直线l的方程为xy30 或xy10.1函数y (exex)的导数是( )1 2A. (exex) B. (exex)1 21 2Cexex Dexex考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数答案 A

9、6解析 y (exex)1 2exex1 22函数yx2cos的导数为( )(2x 3)Ay2xcosx2sin(2x 3)(2x 3)By2xcos2x2sin(2x 3)(2x 3)Cyx2cos2xsin(2x 3)(2x 3)Dy2xcos2x2sin(2x 3)(2x 3)考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数答案 B解析 y(x2)cosx2(2x 3)cos(2x 3)2xcosx2(2x 3)sin(2x 3)(2x 3)2xcos2x2sin.(2x 3)(2x 3)3已知函数f(x)ln(3x1)，则f(1)_.考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数答案

10、 3 2解析 f(x)(3x1)，f(1) .1 3x13 3x13 24函数y2cos2x在x处的切线斜率为_ 12考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 1解析 由函数y2cos2x1cos 2x，得y(1cos 2x)2sin 2x，所以函数在x处的切线斜率为2sin1. 12(2 12)5曲线y2ex 在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_7考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 e2解析 y2ex ，1 2切线的斜率k e2，1 2则切线方程为ye2(x4)，e2 2令x0，得ye2，令y0，得x2，切线与坐标轴围成的面积

11、为 2|e2|e2.1 2求简单复合函数f(axb)的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数yf(u)，uaxb的形式，然后再对yf(u)与uaxb分别求导，并把所得结果相乘灵活应用整体思想把函数化为yf(u)，uaxb的形式是关键.一、选择题1下列函数不是复合函数的是( )Ayx3 1 Bycos1 x(x 4)Cy Dy(2x3)41 ln x考点 简单复合函数的导数题点 复合函数的判断答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数ux，ycos u的复合函 4数，C 中的函数可看作函数uln x，y 的复合函数，D 中的函数可看作函数1 uu2x3，y

12、u4的复合函数，故选 A.2函数y(x1)2(x1)在x1 处的导数等于( )8A1 B2C3 D4考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数答案 D解析 y(x1)2(x1)(x1)2(x1)2(x1)(x1)(x1)23x22x1，所以y|x14.3设函数f(x)(12x3)10，则f(1)等于( )A0 B60C1 D60考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数答案 B解析 f(x)10(12x3)9(6x2)所以f(1)10(12)9(6)60.4函数yxln(2x5)的导数为( )Aln(2x5) Bln(2x5)x 2x52x 2x5C2xln(2x5) D.x 2x

13、5考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数答案 B解析 yxln(2x5)xln(2x5)xln(2x5)ln(2x5)x(2x5)1 2x5ln(2x5).2x 2x55设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a等于( )A0 B1C2 D3考点 简单复合函数的导数9题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 D解析 ya，由题意得=0|xy2，即a12，1 x1所以a3.6曲线ye2x1 在点(0,2)处的切线与直线y0 和yx围成的三角形的面积为( )A. B.1 31 2C. D12 3考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 A解析 =

14、0|xy2e202，曲线在点(0,2)处的切线方程为y2x2.由Error!得xy ，2 3A，(2 3，2 3)则围成的三角形的面积为 1 .1 22 31 37已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )4 ex1A. B.0， 4) 4，2)C. D.( 2，343 4，)考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 D解析 y4exex124exex22ex110.4ex1 ex2ex2，1 ex(当且仅当ex1 ex1时等号成立)ex24，1 exy1,0)，即 tan 1,0)，.3 4，)二、填空题8函数ysin 2xcos 3x的导数

15、是_考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数答案 2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x解析 ysin 2xcos 3x，y(sin 2x)cos 3xsin 2x(cos 3x)2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x.9曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率为_考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 2解析 yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(11)e112.10若yf(x)(2xa)2，且f(2)20，则a_.考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数答案 1解析 令u2xa，则yxyuux

16、(u2)(2xa)4(2xa)，则f(2)4(22a)20，a1.11若曲线yex上点P处的切线平行于直线 2xy10，则点P的坐标是_考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 (ln 2,2)11解析 设P(x0，0ex)，0=|x xy0ex2，得x0ln 2，P(ln 2,2)12已知直线yx1 与曲线yln(xa)相切，则a的值为_考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 2解析 设切点坐标是(x0，x01)，依题意有Error!由此得x01，a2.三、解答题13曲线ye2xcos 3x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直

17、线l的5方程考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 由y(e2xcos 3x)(e2x)cos 3xe2x(cos 3x)2e2xcos 3xe2x(3sin 3x)e2x(2cos 3x3sin 3x)，得=0|xy2.则切线方程为y12(x0)，即 2xy10.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2xyc0，两平行线间的距离d，得c6 或c4.|c1|55故直线l的方程为 2xy60 或 2xy40.四、探究与拓展14已知f(x)为偶函数，当x0 时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综

18、合应用答案 2xy0解析 设x0，则x0，f(x)ex1x.12因为f(x)为偶函数，所以f(x)ex1x，f(x)ex11，f(1)2，即所求的切线方程为y22(x1)，即 2xy0.15求曲线yln(2x1)上的点到直线l：2xy30 的最短距离考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 作出直线l：2xy30 和曲线yln(2x1)的图象(图略)可知它们无公共点，所以平移直线l，当l与曲线相切时，切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离，y(2x1).1 2x12 2x1设切点为P(x0，y0)，所以2，所以x01，2 2x01所以y0ln(211)0，P(1,0)所以曲线yln(2x1)上的点到直线l：2xy30 的最短距离为P(1,0)到直线l：2xy30 的距离，最短距离 d.|2 103|2212555