2019版高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用学案 新人教A版选修2-2.doc

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1、11.71.7 定积分的简单应用定积分的简单应用学习目标 1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值知识点一 定积分在几何中的应用思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答案 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可梳理 (1)当xa，b时，若f(x)0，由直线xa，xb(ab)，y0 和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积Sf(x)dx.b a(2)当xa，b时，若f(x)g(x)0，由直线xa，xb (ab)和曲线yf(x)

2、，yg(x)所围成的平面图形的面积S f(x)g(x)b adx.(如图)知识点二 变速直线运动的路程思考 变速直线运动的路程和位移相同吗？答案 不同路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念梳理 (1)当v(t)0 时，求某一时间段内的路程和位移均用21( )tttvdt求解(2)当v(t)0，则运动物体的路程为sv(t)dt；若v(t)0，阴影部分的面积Sf(x)dxf(x)dx.c bb a2一物体以速度v(3t22t)m/s 做直线运动，则它在t0 s 到t3 s 时间段内的位移是( )A31 m B36 mC38 m D40 m考点 利用定积分求路程问题题点 利用定积分求路程

3、问题答案 B解析 S (3t22t)dt(t3t2)| 333236(m)，故选 B.3 03 03一物体在力F(x)4x1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x1 运动到x3 处(单位：m)，则力F(x)所做的功为( )A8 J B10 J C12 J D14 J考点 利用定积分求变力做功问题题点 定积分在弹力做功中的应用答案 D9解析 由变力做功公式有W (4x1)dx(2x2x)| 14(J)，故选 D.3 13 1104由直线x0，x，y0 与曲线y2sin x所围成的图形的面积等于( )2 3A3 B. C1 D.3 21 2考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分

4、割的图形的面积求解答案 A解析 直线x0，x，y0 与曲线y2sin x所围成的图形如图所示，2 3其面积为S2 302sin dx x2cos x2 3 0|2cos (2cos 0)123，故选 A.2 35由yx2，yx2及x1 围成的图形的面积S等于( )1 4A. B.1 21 3C. D11 4考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 C解析 yx2，yx2，x1 所围成的图形如图所示，1 4Sx2dxx2dx1 01 01 4x2dx1 03 4Error! .1 01 46由直线yx，曲线yx3围成的封闭图形的面积为( )11A. B.1 43 4

5、C. D.1 24 3考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解答案 C解析 由直线yx，曲线yx3围成的封闭图形如图，所以由直线yx，曲线yx3围成的封闭图形的面积为 2 (xx3)dx ，故选 C.1 01 27由曲线y与直线y2x1 及x轴所围成的封闭图形的面积为( )xA. B.1 211 12C. D.1 65 12考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解答案 D解析 联立曲线y与直线y2x1，构成方程组xError!解得Error!联立直线y2x1，y0 构成方程组，解得Error!曲线y与直线y2x1 及x轴所围成的封闭图形的面x积为

6、Sdx11 2(21)dxx1 0x3 1212 01 22|()|3xxx .2 31 41 25 1212二、填空题8一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t25 1t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是_考点 利用定积分求路程问题题点 利用定积分求路程问题答案 425ln 5解析 由v(t)73t0，可得t4，因此汽车从刹车到停止一共行25 1t(t8 3舍去)驶了 4 s，此期间行驶的距离为 v(t)dtdtError!425ln 5.4 04 0(73t25 1t)4 09由曲线yex，yex及x1 所围成

7、的图形的面积为_考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 e 21 e解析 如图，所围成的图形的面积为 (exex)dx1 0(exex)|1 0ee12e 2.1 e10.如图，已知点A，点P(x0，y0)(x00)在曲线yx2上，若阴影部分的面积与OAP(0，1 4)的面积相等，则x0_.考点 导数与积分几何意义的应用题点 导数与积分几何定义的应用答案 64解析 由题意知 x0 020d ,xxx1 21 413即x0x，1 81 3 3 0解得x0或x0或x00.6464x00，x0.6411若两曲线yx2与ycx3(c0)围成图形的面积是 ，则c_.2 3

8、考点 利用定积分求曲线所围成图形的面积题点 已知曲线所围成图形的面积求参数答案 1 2解析 由Error!得x0 或x .1 c当 0cx3，1 cS1 230(-)dcxcxxError!10c .1 3c31 4c31 12c32 3c3 ，c .1 81 2三、解答题12求由抛物线y28x(y0)与直线xy60 及y0 所围成图形的面积考点 利用定积分求曲线所围成图形的面积题点 需分割的图形的面积求解解 如图所示，由Error!得Error!所以抛物线y28x(y0)与直线xy60 的交点坐标为(2,4)方法一 (选y为积分变量)Sdy4 0(6y1 8y2)Error!4 024864

9、.1 2440 3方法二 (选x为积分变量)14S ()dx (6x)dx2 08x6 2Error!Error!2 06 216 3(6 61 2 62)(6 212 22).40 313.已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR R)的图象如图所示，它与直线y0 在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值27 4考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 已知曲线所围成图形的面积求参数解 由题图知方程f(x)0 有两个实根，其中有一个实根为 0，于是b0，所以f(x)x2(xa)有0(x3ax2)dxError!，27 4a0a0a4 12所以a3.又a0，即a0，S 单调递增，所以当 t1 时， Smin2.