全国各地2014年中考数学真题分类解析汇编 48与圆有关的压轴题.doc

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1、与圆有关的压轴题与圆有关的压轴题2014 年与圆有关的压轴题，考点涉及：垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；勾股定理；特殊四边形性质；等.数学思想涉及：数形结合；分类讨论；化归；方程.现选取部分省市的 2014 年中考题展示，以飨读者.【题 1】 （2014 年江苏南京,26 题）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=4cm，BC=3cm，O为ABC的内切圆（1）求O的半径；（2）点P从点B沿边BA向点A以 1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动的时间为t s，若P与O相切，求t的值【

2、分析】：（1）求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径（2）考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切所以我们要分别讨论，当外切时，圆心距等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差分别作垂线构造直角三角形，类似（1）通过表示边长之间的关系列方程，易得t的值【解】：（1）如图 1，设O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，则AD=AF，BD=BE，CE=CFO为ABC的内切圆，OFAC，OEBC，即OFC=OEC=90C=90，四边形CEOF是矩形，OE=OF，

3、四边形CEOF是正方形设O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm，在RtABC中，ACB=90，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cmAD=AF=ACFC=4r，BD=BE=BCEC=3r，4r+3r=5，解得 r=1，即O的半径为 1cm（2）如图 2，过点P作PGBC，垂直为GPGB=C=90，PGACPBGABC，BP=t，PG=，BG=若P与O相切，则可分为两种情况，P与O外切，P与O内切当P与O外切时，如图 3，连接OP，则OP=1+t，过点P作PHOE，垂足为HPHE=HEG=PGE=90，四边形PHEG是矩形，HE=PG，PH=CE，OH=OEHE=1，PH=GE=BCEC

4、BG=31=2在RtOPH中，由勾股定理，解得 t= 当P与O内切时，如图 4，连接OP，则OP=t1，过点O作OMPG，垂足为MMGE=OEG=OMG=90，四边形OEGM是矩形，MG=OE，OM=EG，PM=PGMG=，OM=EG=BCECBG=31=2，在RtOPM中，由勾股定理，解得 t=2综上所述，P与O相切时，t=s或t=2s【点评】：本题考查了圆的性质、两圆相切及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，总体题目难度不高，是一道非常值得练习的题目【题 2】 （2014泸州 24 题）如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=

5、CECA（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AFCD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长【考点】：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理【分析】：（1）求出CDECAD，CDB=DBC得出结论（2）连接OC，先证ADOC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC=，再由割线定理PCPD=PBPA求得半径为 4，根据勾股定理求得AC=，再证明AFDACB，得，则可设FD=x，AF=，在RtAFP中，求得DF=【解答】：（1）证明：DC2=CECA，=，CDECAD，CDB=DBC，四边形ABCD内接于O，BC=CD；（2）解：如图，连接OC，BC

6、=CD，DAC=CAB，又AO=CO，CAB=ACO，DAC=ACO，ADOC，=，PB=OB，CD=，=PC=4又PCPD=PBPAPA=4 也就是半径OB=4，在RTACB中，AC=2，AB是直径，ADB=ACB=90FDA+BDC=90CBA+CAB=90BDC=CABFDA=CBA又AFD=ACB=90AFDACB在RtAFP中，设FD=x，则AF=，在RTAPF中有，求得DF=【点评】：本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解【题 3】（2014济宁 21 题）阅读材料：已知，如图（1） ，在面积为S的ABC中，BC=a

7、，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，ABC被划分为三个小三角形S=SOBC+SOAC+SOAB=BCr+ACr+ABr= （a+b+c）rr=（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆） ，如图（2） ，各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；（2）理解应用：如图（3） ，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=21，CD=11，AD=13，O1与O2分别为ABD与BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值【考点】 ：圆的综合题【分析】 ：（1）已知已给出示例，我们仿照例子，连接OA，OB，OC，

8、OD，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似仿照证明过程，r易得（2） （1）中已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点D作AB垂线，进一步易得BD的长，则r1、r2、易得【解答】 ：（1）如图 2，连接OA、OB、OC、ODS=SAOB+SBOC+SCOD+SAOD=+=，r=（2）如图 3，过点D作DEAB于E，梯形ABCD为等腰梯形，AE=5，EB=ABAE=215=16在RtAED中，AD=13，AE=5，DE=12，DB=20SABD=126，SCDB=66

9、，=【点评】 ：本题考查了学生的学习、理解、创新新知识的能力，同时考查了解直角三角形及等腰梯形等相关知识这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，是一道值得练习的基础题，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养【题 4】（2014.福州 20 题）如图，在ABC中，B=45，ACB=60，AB3 2，点D为BA延长线上的一点，且D=ACB，O为ABC的外接圆.（1）求BC的长；（2）求O的半径.【解析】BC33.（2）由（1）得，在RtACE中，EAC=30，EC=3，AC=2 3.D=ACB，B=B，BACBCD. ABAC CBCD，即3 22 3 CD33.DM=4.O的半径为

10、2.【考点】：1. 锐角三角函数定义；2.特殊角的三角函数值；3.相似三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5.圆内接四边形的性质；6.含 30 度角直角三角形的性质；7.勾股定理.【题 5】（2014.广州 25 题）如图 7，梯形中，,，点为线段上一动点（不与点 重合），关于的轴对称图形为，连接，设，的面积为，的面积为（1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；（2）试用表示，并写出的取值范围；（3）当的外接圆与相切时，求的值【答案】解：（1）如图 1，为梯形的中位线，则，过点作于点，则有：在中，有 在中， 又 解得：（2）如图 2，交于点，与关于对称，则有：，又 又与关于对称，（3）如图 3，

11、当的外接圆与相切时，则为切点.的圆心落在的中点，设为则有，过点作，连接，得 则又解得：（舍去） 【题 6】（2014湖州 24 题）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1 个单位长度的速度运动，连接PF，过点PEPF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t0）（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示） ，求证：PE=PF；（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F，经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE在点F运动过程中，是

12、否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由【分析】：（1）连接PM，PN，运用PMFPNE证明，（2）分两种情况当t1 时，点E在y轴的负半轴上，0t1 时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，（3）分两种情况，当 1t2 时，当t2 时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t【解答】：证明：（1）如图，连接PM，PN，P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，PMMF，PNON且PM=PN，PMF=PNE=90且NPM=90，PEPF，NPE=MPF=90MPE，在PMF和PNE中，PMFP

13、NE（ASA） ，PE=PF，（2）解：当t1 时，点E在y轴的负半轴上，如图，由（1）得PMFPNE，NE=MF=t，PM=PN=1，b=OF=OM+MF=1+t，a=NEON=t1，ba=1+t（t1）=2，b=2+a，0t1 时，如图 2，点E在y轴的正半轴或原点上，同理可证PMFPNE，b=OF=OM+MF=1+t，a=ONNE=1t，b+a=1+t+1t=2，b=2a，（3）如图 3， （）当 1t2 时，F（1+t，0） ，F和F关于点M对称，F（1t，0）经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，Q（1t，0）OQ=1t，由（1）得PMFPNE NE=MF=t，OE=t1当

14、OEQMPF=，解得，t=，当OEQMFP时，=，=，解得，t=，（）如图 4，当t2 时，F（1+t，0） ，F和F关于点M对称，F（1t，0）经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，Q（1t，0）OQ=t1，由（1）得PMFPNE NE=MF=t，OE=t1当OEQMPF=，无解，当OEQMFP时，=，=，解得，t=2，所以当t=，t=，t=2时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系【题 7】（2014宁波 26）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2 的矩

15、形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0x1），圆的半径为y求y关于x的函数解析式；当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大【考点】：圆的综合题【分析

16、】：（1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最大为 1（2）方案二、方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目一般都先设出所求边长，而后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用O1O2E为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用AOMOFN后对应边成比例整理方程，进而可求r的值（3）类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案四中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度则选择最小跨度，取其 ，即为半径由EC为x，则新拼图

17、形水平方向跨度为 3x，竖直方向跨度为 2+x，则需要先判断大小，而后分别讨论结论已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案四中的最大半径另与前三方案比较，即得最终结论【解答】：解：（1）方案一中的最大半径为 1分析如下：因为长方形的长宽分别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最大为 1（2）如图 1，方案二中连接O1，O2，过O1作O1EAB于E，方案三中，过点O分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为O与AB，BF的切点方案二：设半径为r，在RtO1O2E中，O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=ABAO1CO2=32r，（2r）2=22+（32r）2，解得 r=

18、方案三：设半径为r，在AOM和OFN中，AOMOFN，解得 r= 比较知，方案三半径较大（3）方案四：EC=x，新拼图形水平方向跨度为 3x，竖直方向跨度为 2+x类似（1），所截出圆的直径最大为 3x或 2+x较小的1当 3x2+x时，即当x 时，r= （3x）；2当 3x=2+x时，即当x= 时，r= （3 ）= ；3当 3x2+x时，即当x 时，r= （2+x）当x 时，r= （3x） （3 ）= ；当x= 时，r= （3 ）= ；当x 时，r= （2+x） （2+ ）= ，方案四，当x= 时，r最大为 1 ，方案四时可取的圆桌面积最大【点评】：本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角

19、形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，题目虽看似新颖不易找到思路，但仔细观察每一小问都是常规的基础考点，所以总体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习【题 8】（2014苏州 28）如图，已知l1l2，O与l1，l2都相切，O的半径为 2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，O的移动速度为 3cm，矩形ABCD的移动速度为 4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图，连接OA、AC，则OAC的度数为 105 ；（2）如图，两个图形移动一段时间后，O到达O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的

20、位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长） ；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm） ，当d2 时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图） 【考点】：圆的综合题【分析】：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出OAD=45，DAC=60，进而得出答案；（2）首先得出，C1A1D1=60，再利用A1E=AA1OO12=t2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可；（3）当直线AC与O第一次相切时，设移动时间为t1，当直线AC与O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可【解答】：

21、解：（1）l1l2，O与l1，l2都相切，OAD=45，AB=4cm，AD=4cm，CD=4cm，AD=4cm，tanDAC=，DAC=60，OAC的度数为：OAD+DAC=105，故答案为：105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1El1，在RtA1D1C1中，A1D1=4，C1D1=4，tanC1A1D1=，C1A1D1=60，在RtA1O1E中，O1A1E=C1A1D1=60，A1E=，A1E=AA1OO12=t2，t2=，t=+2，OO1=3t=2+6；（3）当直线AC与O第一次相切时，设移动时间为t1，如图

22、，此时O移动到O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，O2Fl1，O2GA2G2，由（2）得，C2A2D2=60，GA2F=120，O2A2F=60，在RtA2O2F中，O2F=2，A2F=，OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，4t1+3t1=2，t1=2，当直线AC与O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，+2（2）=t2（+2） ，解得：t2=2+2，综上所

23、述，当d2 时，t的取值范围是：2t2+2【点评】：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键【题 9】（2014泰州 25 题）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b（b为常数，b0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为 4 的O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方（1）若直线AB与有两个交点F、G求CFE的度数；用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；（2）设b5，在线段AB上是否存在点P，使CPE=45？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由【考点】：圆的综合题【分析】：（1）连接

24、CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行CFE=45，（2）作OMAB点M，连接OF，利用两条直线垂直相交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根据式子写出b的范围，（3）当b=5 时，直线与圆相切，存在点P，使CPE=45，再利用两条直线垂直相交求出交点P的坐标，【解答】：解：（1）连接CD，EA，DE是直径，DCE=90，CODE，且DO=EO，ODC=OEC=45，CFE=ODC=45，（2）如图，作OMAB点M，连接OF，OMAB，直线的函数式为：y=x+b，OM所在的直线函数式为：y=x，交点M（b，b）OM2=（b）2+（b）2，OF=4，FM2=OF2OM

25、2=42（b）2（b）2，FM=FG，FG2=4FM2=442（b）2（b）2=64b2=64（1b2） ，直线AB与有两个交点F、G4b5，（3）如图，当b=5 时，直线与圆相切，DE是直径，DCE=90，CODE，且DO=EO，ODC=OEC=45，CFE=ODC=45，存在点P，使CPE=45，连接OP，P是切点，OPAB，OP所在的直线为：y=x，又AB所在的直线为：y=x+5，P（，） 【点评】：本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时K的关系【题 10】(2014 年江苏徐州 28) 如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出

26、发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EGEF，EG与圆O相交于点G，连接CG（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；求点G移动路线的长【考点】：圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【分析】：（1）只要证到三个内角等于 90即可（2）易证点D在O上，根据圆周角定理可得FCE=FDE，从而证到CFEDAB，根据相似三

27、角形的性质可得到S矩形ABCD=2SCFE=然后只需求出CF的范围就可求出S矩形ABCD的范围根据圆周角定理和矩形的性质可证到GDC=FDE=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可【解答】：解：（1）证明：如图 1，CE为O的直径，CFE=CGE=90EGEF，FEG=90CFE=CGE=FEG=90四边形EFCG是矩形（2）存在连接OD，如图 2，四边形ABCD是矩形，A=ADC=90点O是CE的中点，OD=OC点D在O上FCE=FDE，A=CFE=90，CFEDAB=（）2AD=4，AB=3，BD=5，SCFE=（）2SDAB= 34=S矩形A

28、BCD=2SCFE=四边形EFCG是矩形，FCEGFCE=CEGGDC=CEG，FCE=FDE，GDC=FDEFDE+CDB=90，GDC+CDB=90GDB=90当点E在点A（E）处时，点F在点B（F）处，点G在点D（G处，如图 2所示此时，CF=CB=4当点F在点D（F）处时，直径FGBD，如图 2所示，此时O与射线BD相切，CF=CD=3当CFBD时，CF最小，此时点F到达F，如图 2所示SBCD=BCCD=BDCF43=5CFCF=CF4S矩形ABCD=， （）2S矩形ABCD 42S矩形ABCD12矩形EFCG的面积最大值为 12，最小值为GDC=FDE=定值，点G的起点为D，终点为

29、G，点G的移动路线是线段DGGDC=FDE，DCG=A=90，DCGDAB= =DG=点G移动路线的长为【点评】：本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综合性较强而发现CDG=ADB及FCE=ADB是解决本题的关键【题 11】（2014.连云港 25 题）为了考察冰川融化的状况，一支科考队在某冰川上设一定一个以大本营O为圆心，半径为 4km 圆形考察区域，线段P1、P2是冰川的部分边界线（不考虑其它边界），当冰川融化时，边界线沿着与其垂直的方向朝考察区域平行移动.若经过n年，冰川的边界线P1P2移动的距离为s(km),并且s与n（n为正整数）的关系是257 509 2032nns.以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，其中P1、P2的坐标分别是（4，9）、（13，3）.（1）求线段P1P2所在的直线对应的函数关系式；（2）求冰川的边界线移动到考察区域所需要的最短时间.【解答】yx( (第第2 25 5题题图图) )已已融融化化区区域域 P2P1O