全国各地2014年中考数学真题分类解析汇编 31圆的有关性质.doc

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1、圆的有关性质圆的有关性质一、选择题一、选择题1. （ 2014珠海，第 5 题 3 分）如图，线段AB是O的直径，弦CD丄AB，CAB=20，则AOD等于（ ）A160B150C140D120考点： 圆周角定理；垂径定理分析：利用垂径定理得出=，进而求出BOD=40，再利用邻补角的性质得出答案解答： 解：线段AB是O的直径，弦CD丄AB，=，CAB=20，BOD=40，AOD=140故选：C点评： 此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出BOD的度数是解题关键2. （ 2014广西贺州，第 11 题 3 分）如图，以AB为直径的O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1则弧BD

2、的长是（ ）ABCD考点： 垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算分析：连接OC，先根据勾股定理判断出ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故=，由锐角三角函数的定义求出A的度数，故可得出BOC的度数，求出OC的长，再根据弧长公式即可得出结论解答： 解：连接OC，ACE中，AC=2，AE=，CE=1，AE2+CE2=AC2，ACE是直角三角形，即AECD，sinA=，A=30，COE=60，=sinCOE，即=，解得OC=，AECD，=，=故选 B点评： 本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中3 （2014温州，第 8 题 4 分）如图，已知A，B

3、，C在O上，为优弧，下列选项中与AOB相等的是（ ）A2CB4BC4ADB+C考点： 圆周角定理分析： 根据圆周角定理，可得AOB=2C解答： 解：如图，由圆周角定理可得：AOB=2C故选 A点评： 此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用4.（2014毕节地区，第 5 题 3 分）下列叙述正确的是（ ）A方差越大，说明数据就越稳定B在不等式两边同乘或同除以一个不为 0 的数时，不等号的方向不变C不在同一直线上的三点确定一个圆D两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等考点：方差；不等式的性质；全等三角形的判定；确定圆的条件分析：利用方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判

4、定及确定圆的条件对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项解答：解：A、方差越大，越不稳定，故选项错误；B、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，故选项错误；C、正确；D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故选项错误故选 C点评：本题考查了方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件，属于基本定理的应用，较为简单5.（2014毕节地区，第 6 题 3 分）如图，已知O的半径为 13，弦AB长为 24，则点O到AB的距离是（ ）A6B5C4D3考点：垂径定理；勾股定理分析：过O作OCAB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可解答：解：过O作OCAB于C，

5、OC过O，AC=BC=AB=12，在RtAOC中，由勾股定理得：OC=5故选：B点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长6.（2014毕节地区，第 15 题 3 分）如图是以ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CDAB交AB于 D已知cosACD= ，BC=4，则AC的长为（ ）A1BC3D考点：圆周角定理；解直角三角形分析：由以ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CDAB交AB于 D易得ACD=B，又由cosACD= ，BC=4，即可求得答案解答：解：AB为直径，ACB=90，ACD+BCD=90，CDAB，BCD+B=90，B=ACD

6、，cosACD= ，cosB= ，tanB= ，BC=4，tanB= ，AC=故选 D点评：此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用7.（2014武汉，第 10 题 3 分）如图，PA，PB切O于A、B两点，CD切O于点E，交PA，PB于C，D若O的半径为r，PCD的周长等于 3r，则tanAPB的值是（ ）ABCD考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义分析：（1）连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F利用切线求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=利用RtBFPRTOAF得出AF=FB，在RTFBP中，利

7、用勾股定理求出BF，再求tanAPB的值即可解答：解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点FPA，PB切O于A、B两点，CD切O于点EOAP=OBP=90，CA=CE，DB=DE，PA=PB，PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，PA=PB=在RtBFP和RtOAF中，RtBFPRTOAF= ，AF=FB，在RtFBP中，PF2PB2=FB2（PA+AF）2PB2=FB2（r+BF）2（）2=BF2，解得BF=r，tanAPB=，故选：B点评：本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准

8、线段及角的关系8 （2014台湾，第 10 题 3 分）如图，有一圆通过ABC的三个顶点，且的中垂线与相交于D点若B74，C46，则的度数为何？( )A23B28C30D37分析：由有一圆通过ABC的三个顶点，且的中垂线与相交于D点若B74，C46，可求得与的度数，继而求得答案解：有一圆通过ABC的三个顶点，且的中垂线与相交于D点，2C24692，2B274148， (14892)281 2故选 B点评：此题考查了圆周角定理以及弧与圆心角的关系此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用9 （2014台湾，第 21 题 3 分）如图，G为ABC的重心若圆G分别与AC、BC相切，且与AB相交于两点，

9、则关于ABC三边长的大小关系，下列何者正确？( )ABCACBBCACCABACDABAC分析：G为ABC的重心，则ABG面积BCG面积ACG面积，根据三角形的面积公式即可判断解：G为ABC的重心，ABG面积BCG面积ACG面积，又GHaGHbGHc，BCACAB故选 D点评：本题考查了三角形的重心的性质以及三角形的面积公式，理解重心的性质是关键10 （2014浙江湖州，第 4 题 3 分）如图，已知AB是ABC外接圆的直径，A=35，则B的度数是（ ）A35B45C55D 65分析：由AB是ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得C=90，又由A=35，即可求得B的度数解：AB

10、是ABC外接圆的直径，C=90，A=35，B=90A=55故选 C点评：此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用11.（2014孝感，第 10 题 3 分）如图，在半径为 6cm的O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且D=30，下列四个结论：OABC；BC=6；sinAOB=；四边形ABOC是菱形其中正确结论的序号是（ ）ABCD考点： 垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形分析： 分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可解答：解：点A是劣弧的中点，OA过圆心，OABC，故正确；D=30，ABC=D=30，AOB=60，点A

11、是点A是劣弧的中点，BC=2CE，OA=OB，OB=OB=AB=6cm，BE=ABcos30=6=3cm，BC=2BE=6cm，故B正确；AOB=60，sinAOB=sin60=，故正确；AOB=60，AB=OB，点A是劣弧的中点，AC=OC，AB=BO=OC=CA，四边形ABOC是菱形，故正确故选 B点评： 本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一道好题12.（2014呼和浩特，第 6 题 3 分）已知O的面积为 2，则其内接正三角形的面积为（ ）A3B3CD考点： 垂径定理；等边三角形的性质分析： 先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求

12、其面积即可解答： 解：如图所示，连接OB、OC，过O作ODBC于D，O的面积为 2O的半径为ABC为正三角形，BOC=120，BOD= BOC=60，OB=，BD=OBsinBOD=，BC=2BD=，OD=OBcosBOD=cos60=，BOC的面积= BCOD= =，ABC的面积=3SBOC=3=故选 C点评： 本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键二二. .填空题填空题1 （2014舟山，第 16 题 4 分）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，CBA=30，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DFDE于点D，并交EC的延长线

13、于点F下列结论：CE=CF；线段EF的最小值为 2；当AD=2 时，EF与半圆相切；若点F恰好落在上，则AD=2；当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是16其中正确结论的序号是 考点：圆的综合题；垂线段最短；平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；切线的判定；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质专题：推理填空题分析：（1）由点E与点D关于AC对称可得CE=CD，再根据DFDE即可证到CE=CF（2）根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CDAB时CD最小，由于EF=2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值（3）连接OC，易证AOC是等边三角形，AD=O

14、D，根据等腰三角形的“三线合一”可求出ACD，进而可求出ECO=90，从而得到EF与半圆相切（4）利用相似三角形的判定与性质可证到DBF是等边三角形，只需求出BF就可求出DB，进而求出AD长（5）首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与ABC的关系，就可求出线段EF扫过的面积解答：解：连接CD，如图 1 所示点E与点D关于AC对称，CE=CDE=CDEDFDE，EDF=90E+F=90，CDE+CDF=90F=CDFCD=CFCE=CD=CF结论“CE=CF”正确当CDAB时，如图 2 所示AB是半圆的直径，ACB=90AB=8，CBA=30，CAB=60，AC=4，BC=4C

15、DAB，CBA=30，CD=BC=2根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点D在线段AB上运动时，CD的最小值为 2CE=CD=CF，EF=2CD线段EF的最小值为 4结论“线段EF的最小值为 2”错误（3）当AD=2 时，连接OC，如图 3 所示OA=OC，CAB=60，OAC是等边三角形CA=CO，ACO=60AO=4，AD=2，DO=2AD=DOACD=OCD=30点E与点D关于AC对称，ECA=DCAECA=30ECO=90OCEFEF经过半径OC的外端，且OCEF，EF与半圆相切结论“EF与半圆相切”正确当点F恰好落在上时，连接FB、AF，如图 4 所示点E与点D关于AC对称，EDA

16、CAGD=90AGD=ACBEDBCFHCFDE=FC=EF，FH=FDFH=DHDEBC，FHC=FDE=90BF=BDFBH=DBH=30FBD=60AB是半圆的直径，AFB=90FAB=30FB=AB=4DB=4AD=ABDB=4结论“AD=2”错误点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称EF扫过的图形就是图 5 中阴影部分S阴影=2SABC=2ACBC=ACBC=44=16EF扫过的面积为 16结论“EF扫过的面积为 16”正确故答案为：、点评：本题考查了等边三角形的判定与性质、

17、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含 30角的直角三角形、垂线段最短等知识，综合性强，有一定的难度2. （ 2014福建泉州，第 17 题 4 分）如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是 90的最大扇形ABC，则：（1）AB的长为 1 米；（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为 米考点： 圆锥的计算；圆周角定理专题： 计算题分析： （1）根据圆周角定理由BAC=90得BC为O的直径，即BC=，根据等腰直角三角形的性质得AB=1；（2）由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则2r=，然后解方程即可解答：

18、 解：（1）BAC=90，BC为O的直径，即BC=，AB=BC=1；（2）设所得圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得 2r=，解得r= 故答案为 1， 点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了圆周角定理3. （ 2014广东，第 14 题 4 分）如图，在O中，已知半径为 5，弦AB的长为 8，那么圆心O到AB的距离为 3 考点： 垂径定理；勾股定理分析：作OCAB于C，连结OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，然后在RtAOC中利用勾股定理计算OC即可解答： 解：作OCAB于C，连结OA，如图，OCAB，

19、AC=BC=AB= 8=4，在RtAOC中，OA=5，OC=3，即圆心O到AB的距离为 3故答案为：3点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理4 （2014四川自贡，第 14 题 4 分）一个边长为 4cm的等边三角形ABC与O等高，如图放置，O与BC相切于点C，O与AC相交于点E，则CE的长为 3 cm考点： 切线的性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理分析： 连接OC，并过点O作OFCE于F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边高的倍题目中一个边长为 4cm的等边三角形ABC与O等高，说明O的半径为，即OC=，又ACB=60，故有O

20、CF=30，在RtOFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长解答： 解：连接OC，并过点O作OFCE于F，且ABC为等边三角形，边长为 4，故高为 2，即OC=，又ACB=60，故有OCF=30，在RtOFC中，可得FC=，即CE=3故答案为：3点评： 本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识题目不是太难，属于基础性题目5. （2014株洲，第 11 题，3 分）如图，点A、B、C都在圆O上，如果AOB+ACB=84，那么ACB的大小是 28 （第 1 题图）考点： 圆周角定理分析： 根据圆周角定理即可推出AOB=2ACB，再代入AOB+ACB=84通过计

21、算即可得出结果解答： 解：AOB=2ACB，AOB+ACB=843ACB=84ACB=28故答案为：28点评： 此题主要考查圆周角定理，关键在于找出两个角之间的关系，利用代换的方法结论6. （2014 年江苏南京，第 13 题，2 分）如图，在O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，BCD=2230，则O的半径为 cm（第 2 题图）考点：垂径定理、圆周角定理分析：先根据圆周角定理得到BOD=2BCD=45，再根据垂径定理得到BE=AB=，且BOE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解解答：连结OB，如图，BCD=2230，BOD=2BCD=45，ABCD

22、，BE=AE=AB= 2=，BOE为等腰直角三角形，OB=BE=2（cm） 故答案为 2点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理7. （2014泰州，第 15 题，3 分）如图，A、B、C、D依次为一直线上 4 个点，BC=2，BCE为等边三角形，O过A、D、E3 点，且AOD=120设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为 y= （x0） （第 3 题图）考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理分析： 连接AE，DE，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得AED=120，然后求得ABEECD根

23、据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出x与y的关系，从而不难求解解答： 解：连接AE，DE，AOD=120，为 240，AED=120，BCE为等边三角形，BEC=60；AEB+CED=60；又EAB+AEB=60，EAB=CED，ABE=ECD=120；=，即 = ，y= （x0） 点评： 此题主要考查学生圆周角定理以及对相似三角形的判定与性质及反比例函数的实际运用能力8 （2014菏泽，第 10 题 3 分）如图，在ABC中A=25，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为 50 考点：圆心角、弧、弦的关系；直角三角形的性质分析：连接CD，求出B=65，再根据C

24、B=CD，求出BCD的度数即可解答：解：连接CD，A=25，B=65，CB=CD，B=CDB=65，BCD=50，的度数为 50故答案为：50点评：此题考查了圆心角、弧之间的关系，用到的知识点是三角形内角和定理、圆心角与弧的关系，关键是做出辅助线求出BCD的度数9 （2014 年山东泰安，第 23 题 4 分）如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，ODAC，垂足为E，交O于D，连接BE设BEC=，则sin的值为 分析：连结BC，根据圆周角定理由AB是半圆的直径得ACB=90，在RtABC中，根据勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理由ODAC得到AE=CE=AC=4，然后在

25、RtBCE中，根据勾股定理计算出BE=2，则可根据正弦的定义求解解：连结BC，如图，AB是半圆的直径，ACB=90，在RtABC中，AC=8，AB=10，BC=6，ODAC，AE=CE=AC=4，在RtBCE中，BE=2，sin=故答案为点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理和圆周角定理三三. .解答题解答题1. （ 2014福建泉州，第 26 题 14 分）如图，直线y=x+3 与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1） （1）求该反比例函数的关系式；（2）设PCy轴于点C，点A关于y轴的对称点为A；求ABC的周长和si

26、nBAC的值；对大于 1 的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sinBMC= 考点： 反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义专题： 压轴题；探究型分析：（1）设反比例函数的关系式y= ，然后把点P的坐标（2，1）代入即可（2）先求出直线y=x+3 与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出ABC的周长；过点C作CDAB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sinBAC的值由于BC=2，sinBMC= ，因此点M在以BC为弦，半径为m的E上，因而点M应是E与x轴的交点然后对E与x轴的位置关系进行讨论，

27、只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标解答：解：（1）设反比例函数的关系式y= 点P（2，1）在反比例函数y= 的图象上，k=21=2反比例函数的关系式y= （2）过点C作CDAB，垂足为D，如图 1 所示当x=0 时，y=0+3=3，则点B的坐标为（0，3） OB=3当y=0 时，0=x+3，解得x=3，则点A的坐标为（3，0） ，OA=3点A关于y轴的对称点为A，OA=OA=3PCy轴，点P（2，1） ，OC=1，PC=2BC=2AOB=90，OA=OB=3，OC=1，AB=3，AC=ABC的周长为 3+2SABC=BCAO=ABCD，BCAO=ABCD23=

28、3CDCD=CDAB，sinBAC=ABC的周长为 3+2，sinBAC的值为当 1m2 时，作经过点B、C且半径为m的E，连接CE并延长，交E于点P，连接BP，过点E作EGOB，垂足为G，过点E作EHx轴，垂足为H，如图 2所示CP是E的直径，PBC=90sinBPC= sinBMC= ，BMC=BPC点M在E上点M在x轴上点M是E与x轴的交点EGBC，BG=GC=1OG=2EHO=GOH=OGE=90，四边形OGEH是矩形EH=OG=2，EG=OH1m2，EHECE与x轴相离x轴上不存在点M，使得sinBMC= 当m=2 时，EH=ECE与x轴相切切点在x轴的正半轴上时，如图 2所示点M与

29、点H重合EGOG，GC=1，EC=m，EG=OM=OH=EG=点M的坐标为（，0） 切点在x轴的负半轴上时，同理可得：点M的坐标为（，0） 当m2 时，EHECE与x轴相交交点在x轴的正半轴上时，设交点为M、M，连接EM，如图 2所示EHM=90，EM=m，EH=2，MH=EHMM，MH=MHMHEGC=90，GC=1，EC=m，EG=OH=EG=OM=OHMH=，OM=OH+HM=+，M（，0） 、M（+，0） 交点在x轴的负半轴上时，同理可得：M（+，0） 、M（，0） 综上所述：当 1m2 时，满足要求的点M不存在；当m=2 时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（，0） ；当m2 时，满

30、足要求的点M的坐标为（，0） 、 （+，0） 、 （+，0） 、 （，0） 点评： 本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大由BC=2，sinBMC= 联想到点M在以BC为弦，半径为m的E上是解决本题的关键2 （ 2014安徽省,第 19 题 10 分）如图，在O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与O的交点若OE=4，OF=6，求O的半径和CD的长考点：垂径定理；勾股定理

31、；圆周角定理；相似三角形的判定与性质专题：计算题分析：由OEAB得到OEF=90，再根据圆周角定理由OC为小圆的直径得到OFC=90，则可证明RtOEFRtOFC，然后利用相似比可计算出O的半径OC=9；接着在RtOCF中，根据勾股定理可计算出C=3，由于OFCD，根据垂径定理得CF=DF，所以CD=2CF=6解答：解：OEAB，OEF=90，OC为小圆的直径，OFC=90，而EOF=FOC，RtOEFRtOFC，OE：OF=OF：OC，即 4：6=6：OC，O的半径OC=9；在RtOCF中，OF=6，OC=9，CF=3，OFCD，CF=DF，CD=2CF=6点评：本题考查了垂径定理：平分弦的

32、直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质3(2014 年天津市，第 21 题 10 分)已知O的直径为 10，点A，点B，点C在O上，CAB的平分线交O于点 D（）如图，若BC为O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（）如图，若CAB=60，求BD的长考点：圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理分析：（）利用圆周角定理可以判定CAB和DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5；（）如图，连接OB，OD由圆周角定理、角平分线的性质以及等边

33、三角形的判定推知OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5解答：解：（）如图，BC是O的直径，CAB=BDC=90在直角CAB中，BC=10，AB=6，由勾股定理得到：AC=8AD平分CAB，=，CD=BD在直角BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，易求BD=CD=5；（）如图，连接OB，ODAD平分CAB，且CAB=60，DAB= CAB=30，DOB=2DAB=60又OB=OD，OBD是等边三角形，BD=OB=ODO的直径为 10，则OB=5，BD=5点评：本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质此题利用了圆的定义、有一内角为 60 度的等腰三角形为等边三角形证

34、得OBD是等边三角形4 （2014新疆，第 21 题 10 分）如图，AB是O的直径，点F，C是O上两点，且=，连接AC，AF，过点C作CDAF交AF延长线于点D，垂足为 D（1）求证：CD是O的切线；（2）若CD=2，求O的半径考点： 切线的判定专题： 证明题分析：（1）连结OC，由=，根据圆周角定理得FAC=BAC，而OAC=OCA，则FAC=OCA，可判断OCAF，由于CDAF，所以OCCD，然后根据切线的判定定理得到CD是O的切线；（2）连结BC，由AB为直径得ACB=90，由=得BOC=60，则BAC=30，所以DAC=30，在RtADC中，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得A

35、C=2CD=4，在RtACB中，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得BC=AC=4，AB=2BC=4，所以O的半径为 4解答： （1）证明：连结OC，如图，=，FAC=BAC，OA=OC，OAC=OCA，FAC=OCA，OCAF，CDAF，OCCD，CD是O的切线；（2）解：连结BC，如图，AB为直径，ACB=90，=，BOC= 180=60，BAC=30，DAC=30，在RtADC中，CD=2，AC=2CD=4，在RtACB中，BC=AC=4=4，AB=2BC=4，O的半径为 4点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了圆周角定理和含 30

36、度的直角三角形三边的关系5 （2014 年云南省，第 23 题 9 分）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0） 、B（3，4） 、C（0，4） 点D在y轴上，且点D的坐标为（0，5） ，点P是直线AC上的一动点（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式） ；（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M问在x轴的正半轴上是否存在使DOM与ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R0）为半径长画圆得到的圆称为动圆P若设动圆P的半径长为，过点D作动

37、圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由考点：圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质专题：综合题；存在型；分类讨论分析：（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式（2）由于DOM与ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标（3）易证SPED=SPFD从而有S四边形DEPF=2SPED=DE由DEP=90得DE2=DP2PE2=DP2根据“点到直线之间，垂

38、线段最短”可得：当DPAC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小借助于三角形相似，即可求出DPAC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值解答：解：（1）过点P作PHOA，交OC于点H，如图 1 所示PHOA，CHPCOA=点P是AC中点，CP=CAHP=OA，CH=COA（3，0） 、C（0，4） ，OA=3，OC=4HP= ，CH=2OH=2PHOA，COA=90，CHP=COA=90点P的坐标为（ ，2） 设直线DP的解析式为y=kx+b，D（0，5） ，P（ ，2）在直线DP上，直线DP的解析式为y=x5（2）若DOMABC，图 2（1）所示，DOMABC，

39、=点B坐标为（3，4） ，点D的坐标为（05） ，BC=3，AB=4，OD=5 =OM=点M在x轴的正半轴上，点M的坐标为（，0）若DOMCBA，如图 2（2）所示，DOMCBA，=BC=3，AB=4，OD=5， =OM=点M在x轴的正半轴上，点M的坐标为（，0） 综上所述：若DOM与CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0） （3）OA=3，OC=4，AOC=90，AC=5PE=PF=AC= DE、DF都与P相切，DE=DF，DEP=DFP=90SPED=SPFDS四边形DEPF=2SPED=2PEDE=PEDE=DEDEP=90，DE2=DP2PE2=DP2根据“点到直线之间，垂线段最短

40、”可得：当DPAC时，DP最短，此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小DPAC，DPC=90AOC=DPCOCA=PCD，AOC=DPC，AOCDPC=AO=3，AC=5，DC=4（5）=9，= DP=DE2=DP2=（）2=DE=，S四边形DEPF=DE=四边形DEPF面积的最小值为点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第 3 小题的关键另外，要注意“DOM与ABC相似”与“DOMABC“之间的区别6.（2014 年广东汕尾，第 20 题 11 分）如图，

41、在RtABC中，ACB=90，以AC为直径的O与AB边交于点D，过点D作O的切线，交BC于E（1）求证：点E是边BC的中点；（2）求证：BC2=BDBA；（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：ABC是等腰直角三角形分析：（1）利用切线的性质及圆周角定理证明；（2）利用相似三角形证明；（3）利用正方形的性质证明证明：（1）如图，连接ODDE为切线，EDC+ODC=90；ACB=90，ECD+OCD=90又OD=OC，ODC=OCD，EDC=ECD，ED=EC；AC为直径，ADC=90，BDE+EDC=90，B+ECD=90，B=BDE，ED=DBEB=EC，即点E为边BC的中

42、点；（2）AC为直径，ADC=ACB=90，又B=BABCCDB，BC2=BDBA；（3）当四边形ODEC为正方形时，OCD=45；AC为直径，ADC=90，CAD=ADCOCD=9045=45RtABC为等腰直角三角形点评：本题是几何证明题，综合考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形、正方形、等腰直角三角形等知识点试题着重对基础知识的考查，难度不大7.（2014毕节地区，第 26 题 14 分）如图，在RtABC中，ACB=90，以AC为直径作O交AB于点D，连接CD（1）求证：A=BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与O相切？并说明理由考点：切线的判定分析：

43、（1）根据圆周角定理可得ADC=90，再根据直角三角形的性质可得A+DCA=90，再由DCB+ACD=90，可得DCB=A；（2）当MC=MD时，直线DM与O相切，连接DO，根据等等边对等角可得1=2，4=3，再根据ACB=90可得1+3=90，进而证得直线DM与O相切解答：（1）证明：AC为直径，ADC=90，A+DCA=90，ACB=90，DCB+ACD=90，DCB=A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与O相切；解：连接DO，DO=CO，1=2，DM=CM，4=3，2+4=90，1+3=90，直线DM与O相切点评：此题主要考查了切线的判定，以及圆周角定理，关键是掌握切

44、线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线8.（2014武汉 2014武汉，第 22 题 8 分）如图，AB是O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理分析：（1）根据圆周角的定理，APB=90，p是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OPAC，从而得出ACB0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA解答：解：（1）如