全国各地2014年中考数学真题分类解析汇编 25矩形菱形与正方形.doc

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1、矩形菱形与正方形矩形菱形与正方形一、选择题一、选择题1. （ 2014安徽省,第 10 题 4 分）如图，正方形ABCD的对角线BD长为 2，若直线l满足：点D到直线l的距离为；A、C两点到直线l的距离相等则符合题意的直线l的条数为（ ）A1B2C3D4考点：正方形的性质分析：连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD=，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答解答：解：如图，连接AC与BD相交于O，正方形ABCD的对角线BD长为 2，OD=，直线lAC并且到D的距离为，同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，故共有 2 条直线l故选 B点评：本题考查了正方形的性质，主要利用了正

2、方形的对角线互相垂直平分，点D到O的距离小于是本题的关键2. （ 2014福建泉州，第 5 题 3 分）正方形的对称轴的条数为（ ）A1B2C3D4考点： 轴对称的性质分析： 根据正方形的对称性解答解答： 解：正方形有 4 条对称轴故选 D点评： 本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键3. （2014珠海，第 2 题 3 分）边长为 3cm的菱形的周长是（ ）A6cmB9cmC12cmD15cm考点： 菱形的性质分析： 利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可解答： 解：菱形的各边长相等，边长为 3cm的菱形的周长是：34=12（cm） 故选：C点评： 此题主要考查了菱形的性质，

3、利用菱形各边长相等得出是解题关键4.（2014广西玉林市、防城港市，第 6 题 3 分）下列命题是假命题的是（ ）A 四个角相等的四边形是矩形B 对角线相等的平行四边形是矩形C 对角线垂直的四边形是菱形D 对角线垂直的平行四边形是菱形考点： 命题与定理分析： 根据矩形的判定对A、B进行判断；根据菱形的判定方法对C、D进行判断解答： 解：A、四个角相等的四边形是矩形，所以A选项为真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为真命题；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；D、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以D选项为真命题故选 C点评： 本题考查了命题与定理：判断事物的语句

4、叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理5.（2014毕节地区，第 8 题 3 分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为 28，则OH的长等于（ ）A3.5B4C7D14考点：菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理分析：根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=AB解答：解：菱形ABCD的周长为 28，AB=284=7，OB=OD，H为AD边中点，OH是ABD的中位线，OH

5、=AB= 7=3.5故选 A点评：本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键6.（2014襄阳，第 12 题 3 分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：EF=2BE；PF=2PE；FQ=4EQ；PBF是等边三角形其中正确的是（ ）ABCD考点： 翻折变换（折叠问题） ；矩形的性质分析： 求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出APE=30，然后

6、求出AEP=60，再根据翻折的性质求出BEF=60，根据直角三角形两锐角互余求出EFB=30，然后根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出正确；利用 30角的正切值求出PF=PE，判断出错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出错误；求出PBF=PFB=60，然后得到PBF是等边三角形，判断出正确解答：解：AE=AB，BE=2AE，由翻折的性质得，PE=BE，APE=30，AEP=9030=60，BEF= （180AEP）= （18060）=60，EFB=9060=30，EF=2BE，故正确；BE=PE，EF=2PE，EFPF，PF2PE，

7、故错误；由翻折可知EFPB，EBQ=EFB=30，BE=2EQ，EF=2BE，FQ=3EQ，故错误；由翻折的性质，EFB=BFP=30，BFP=30+30=60，PBF=90EBQ=9030=60，PBF=PFB=60，PBF是等边三角形，故正确；综上所述，结论正确的是故选 D点评： 本题考查了翻折变换的性质，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键7.（2014孝感，第 9 题 3 分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把CDB旋转 90，则旋

8、转后点D的对应点D的坐标是（ ）A （2，10）B（2，0）C（2，10）或（2，0）D （10，2）或（2，0）考点： 坐标与图形变化-旋转分析： 分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可解答： 解：点D（5，3）在边AB上，BC=5，BD=53=2，若顺时针旋转，则点D在x轴上，OD=2，所以，D（2，0） ，若逆时针旋转，则点D到x轴的距离为 10，到y轴的距离为 2，所以，D（2，10） ，综上所述，点D的坐标为（2，10）或（2，0） 故选 C点评： 本题考查了坐标与图形变化旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论8 （2014台湾，第 12 题 3 分）如图，D为ABC内部一点，

9、E、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点若CF6，BF9，AG8，则ADC的面积为何？( )A16B24C36D54分析：由于ADCAGCADG，根据矩形的性质和三角形的面积公式计算即可求解解：ADCAGCADG AGBC AGBF1 21 2 8(69) 896036241 21 2故选：B点评：考查了三角形的面积和矩形的性质，本题关键是活用三角形面积公式进行计算9 （2014台湾，第 27 题 3 分）如图，矩形ABCD中，AD3AB，O为AD中点，是半圆甲、乙两人想在上取一点P，使得PBC的面积等于矩形ABCD的面积其作法如下：(甲) 延长BO交于P点，

10、则P即为所求；(乙) 以A为圆心，AB长为半径画弧，交于P点，则P即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？( )A两人皆正确B两人皆错误 C甲正确，乙错误 D甲错误，乙正确分析：利用三角形的面积公式进而得出需P甲HP乙K2AB，即可得出答案解：要使得PBC的面积等于矩形ABCD的面积，需P甲HP乙K2AB故两人皆错误故选：B点评：此题主要考查了三角形面积求法以及矩形的性质，利用四边形与三角形面积关系得出是解题关键10 （2014浙江宁波，第 6 题 4 分）菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则此菱形的边长是（ ）A10B8C6D5考点：菱形的性质；勾股定理分析：根据菱形的性质及勾股

11、定理即可求得菱形的边长解答：解：四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，OB=OD=3，OA=OC=4，ACBD，在RtAOB中，由勾股定理得：AB=5，即菱形ABCD的边长AB=BC=CD=AD=5，故选 D点评：本题考查了菱形的性质和勾股定理，关键是求出OA、OB的长，注意：菱形的对角线互相平分且垂直11 （2014浙江宁波，第 11 题 4 分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）A2.5BCD2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理分析：连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，ACD=G

12、CF=45，再求出ACF=90，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可解答：解：如图，连接AC、CF，正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，AC=，CF=3，ACD=GCF=45，ACF=90，由勾股定理得，AF=2，H是AF的中点，CH=AF= 2=故选 B点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键11.（2014呼和浩特，第 9 题 3 分）已知矩形ABCD的周长为 20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边A

13、D，BC于E，F（不与顶点重合） ，则以下关于CDE与ABF判断完全正确的一项为（ ）A CDE与ABF的周长都等于 10cm，但面积不一定相等B CDE与ABF全等，且周长都为 10cmC CDE与ABF全等，且周长都为 5cmD CDE与ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质分析： 根据矩形的性质，AO=CO，由EFAC，得EA=EC，则CDE的周长是矩形周长的一半，再根据全等三角形的判定方法可求出CDE与ABF全等，进而得到问题答案解答： 解：AO=CO，EFAC，EF是AC的垂直平分线，EA=EC，CDE的周长=CD+D

14、E+CE=CD+AD= 矩形ABCD的周长=10cm，同理可求出ABF的周长为 10cm，根据全等三角形的判定方法可知：CDE与ABF全等，故选 B点评： 本题考查了矩形的对角线互相平分的性质，还考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定方法，题目的难度不大12. （2014湘潭，第 7 题，3 分）以下四个命题正确的是（ ）A 任意三点可以确定一个圆B 菱形对角线相等C 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D 平行四边形的四条边相等考点： 命题与定理分析： 利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个选项判断后即可确定答案解答： 解：A、不在同一直线上的三点

15、确定一个圆，故错误；B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误；C、正确；D、平行四边形的四条边不一定相等故选 C点评： 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质，难度一般13. （2014株洲，第 7 题，3 分）已知四边形ABCD是平行四边形，再从AB=BC，ABC=90，AC=BD，ACBD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）A 选B选C选D 选考点： 正方形的判定；平行四边形的性质分析： 要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形解答： 解：A、由得有一组邻边相

16、等的平行四边形是菱形，由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；C、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意故选 B点评： 本题考查了正方形的判定方法：先判定四边形是矩形，再判定这

17、个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角还可以先判定四边形是平行四边形，再用 1 或 2 进行判定14. （2014 年江苏南京，第 6 题，2 分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（2，1） ，点C的纵坐标是 4，则B、C两点的坐标分别是（ ）（第 3 题图）A （ ，3） 、 （ ，4）B（ ，3） 、 （ ，4）C （ ， ） 、 （ ，4）D （ ， ） 、 （ ，4）考点：矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。分析：首先过点A作ADx轴于点D，过点B作BEx轴于点E，过点C作CFy轴，过点A作AFx轴，交点为F，易得CAFBO

18、E，AODOBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案解答：过点A作ADx轴于点D，过点B作BEx轴于点E，过点C作CFy轴，过点A作AFx轴，交点为F，四边形AOBC是矩形，ACOB，AC=OB，CAF=BOE，在ACF和OBE中，CAFBOE（AAS） ，BE=CF=41=3，AOD+BOE=BOE+OBE=90，AOD=OBE，ADO=OEB=90，AODOBE，即，OE= ，即点B（ ，3） ，AF=OE= ，点C的横坐标为：（2 ）= ，点D（ ，4） 故选 B点评：此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握

19、数形结合思想的应用二二. .填空题填空题1. （ 2014福建泉州，第 14 题 4 分）如图，RtABC中，ACB=90，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则CD的长为 5 cm考点： 直角三角形斜边上的中线分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AB解答： 解：ACB=90，D为斜边AB的中点，CD=AB= 10=5cm故答案为：5点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键2(2014 年四川资阳，第 15 题 3 分)如图，在边长为 4 的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则BEQ周长的最

20、小值为 考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质分析：连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论解答：解：连接BD，DE，四边形ABCD是正方形，点B与点D关于直线AC对称，DE的长即为BQ+QE的最小值，DE=BQ+QE=5，BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6故答案为：6点评：本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键3.（2014孝感，第 16 题 3 分）如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，若ABE是等边三角形，则= 考点： 翻折变换（折叠问题）

21、分析： 过E作EMAB于M，交DC于N，根据矩形的性质得出DC=AB，DCAB，ABC=90，设AB=AE=BE=2a，则BC=a，即MN=a，求出EN，根据三角形面积公式求出两个三角形的面积，即可得出答案解答：解： 过E作EMAB于M，交DC于N，四边形ABCD是矩形，DC=AB，DCAB，ABC=90，MN=BC，ENDC，延AC折叠B和E重合，AEB是等边三角形，EAC=BAC=30，设AB=AE=BE=2a，则BC=a，即MN=a，ABE是等边三角形，EMAB，AM=a，由勾股定理得：EM=a，DCE的面积是 DCEN= 2a（aa）=a2，ABE的面积是ABEM= 2aa=a2，=

22、，故答案为： 点评： 本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是求出两个三角形的面积，题目比较典型，难度适中4 （2014浙江金华，第 15 题 4 分）如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是 【答案】7.【解析】考点：1.矩形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理；4.线段垂直平分线的性质；5.方程思想的应用.5. （2014泰州，第 16 题，3 分）如图，正方向ABCD的边长为 3cm，E为CD边上一点，DAE=30，M为A

23、E的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q若PQ=AE，则AP等于 1 或 2 cm（第 1 题图）考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析： 根据题意画出图形，过P作PNBC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，DAE=NPQ=30，再由PN与DC平行，得到PFA=DEA=60，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长

24、，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP的长即可解答： 解：根据题意画出图形，过P作PNBC，交BC于点N，四边形ABCD为正方形，AD=DC=PN，在RtADE中，DAE=30，AD=3cm，tan30=，即DE=cm，根据勾股定理得：AE=2cm，M为AE的中点，AM=AE=cm，在RtADE和RtPNQ中，RtADERtPNQ（HL） ，DE=NQ，DAE=NPQ=30，PNDC，PFA=DEA=60，PMF=90，即PMAF，在RtAMP中，MAP=30，cos30=，AP=2cm；由对称性得到AP=DP=ADAP=32=1cm，综上，AP等于 1cm或 2cm故答案

25、为：1 或 2点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键三三. .解答题解答题1. （ 2014福建泉州，第 20 题 9 分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF求证：AF=CE考点： 矩形的性质；平行四边形的判定与性质专题： 证明题分析： 根据矩形的性质得出DCAB，DC=AB，求出CF=AE，CFAE，根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，即可得出答案解答： 证明：四边形ABCD是矩形，DCAB，DC=AB，CFAE，DF=BE，CF=AE，四边形AFCE是平行四边形

26、，AF=CE点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，平行四边形的对边相等2. （ 2014福建泉州，第 25 题 12 分）如图，在锐角三角形纸片ABC中，ACBC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上（1）已知：DEAC，DFBC判断四边形DECF一定是什么形状？裁剪当AC=24cm，BC=20cm，ACB=45时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由考点： 四边形综合题分析： （1）根据有两组对边互相平行的四边形是平

27、行四边形即可求得，根据ADFABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出h与x之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于h的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值（2）第一步，沿ABC的对角线对折，使C与C1 重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1 对折，使DA1BB1解答： 解：（1）DEAC，DFBC，四边形DECF是平行四边形作AGBC，交BC于G，交DF于H，ACB=45，AC=24cmAG=12，设DF=EC=x，平行四边形的高为h，则AH=12h，DFBC，=，BC=20cm，即：=x=20，S=xh=x20=20hh2=6，AH=12

28、，AF=FC，在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大（2）第一步，沿ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1BB1理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形点评： 本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论3. （ 2014福建泉州，第 26 题 14 分）如图，直线y=x+3 与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1） （1）求该反比例函数的关系式；（2）设PCy轴于点C，点A关于y轴的对称点为A；求ABC的周长和sin

29、BAC的值；对大于 1 的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sinBMC= 考点： 反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义专题： 压轴题；探究型分析：（1）设反比例函数的关系式y= ，然后把点P的坐标（2，1）代入即可（2）先求出直线y=x+3 与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出ABC的周长；过点C作CDAB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sinBAC的值由于BC=2，sinBMC= ，因此点M在以BC为弦，半径为m的E上，因而点M应是E与x轴的交点然后对E与x轴的位置关系进行讨论，只

30、需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标解答：解：（1）设反比例函数的关系式y= 点P（2，1）在反比例函数y= 的图象上，k=21=2反比例函数的关系式y= （2）过点C作CDAB，垂足为D，如图 1 所示当x=0 时，y=0+3=3，则点B的坐标为（0，3） OB=3当y=0 时，0=x+3，解得x=3，则点A的坐标为（3，0） ，OA=3点A关于y轴的对称点为A，OA=OA=3PCy轴，点P（2，1） ，OC=1，PC=2BC=2AOB=90，OA=OB=3，OC=1，AB=3，AC=ABC的周长为 3+2SABC=BCAO=ABCD，BCAO=ABCD23=3

31、CDCD=CDAB，sinBAC=ABC的周长为 3+2，sinBAC的值为当 1m2 时，作经过点B、C且半径为m的E，连接CE并延长，交E于点P，连接BP，过点E作EGOB，垂足为G，过点E作EHx轴，垂足为H，如图 2所示CP是E的直径，PBC=90sinBPC= sinBMC= ，BMC=BPC点M在E上点M在x轴上点M是E与x轴的交点EGBC，BG=GC=1OG=2EHO=GOH=OGE=90，四边形OGEH是矩形EH=OG=2，EG=OH1m2，EHECE与x轴相离x轴上不存在点M，使得sinBMC= 当m=2 时，EH=ECE与x轴相切切点在x轴的正半轴上时，如图 2所示点M与点

32、H重合EGOG，GC=1，EC=m，EG=OM=OH=EG=点M的坐标为（，0） 切点在x轴的负半轴上时，同理可得：点M的坐标为（，0） 当m2 时，EHECE与x轴相交交点在x轴的正半轴上时，设交点为M、M，连接EM，如图 2所示EHM=90，EM=m，EH=2，MH=EHMM，MH=MHMHEGC=90，GC=1，EC=m，EG=OH=EG=OM=OHMH=，OM=OH+HM=+，M（，0） 、M（+，0） 交点在x轴的负半轴上时，同理可得：M（+，0） 、M（，0） 综上所述：当 1m2 时，满足要求的点M不存在；当m=2 时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（，0） ；当m2 时，满足

33、要求的点M的坐标为（，0） 、 （+，0） 、 （+，0） 、 （，0） 点评： 本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大由BC=2，sinBMC= 联想到点M在以BC为弦，半径为m的E上是解决本题的关键4. （ 2014广东，第 25 题 9 分）如图，在ABC中，AB=AC，ADAB于点D，BC=10cm，AD=8cm点P从点B出发，在线段BC上以每秒 3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发

34、，以每秒 2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t0） （1）当t=2 时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF的面积存在最大值，当PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由考点： 相似形综合题分析： （1）如答图 1 所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图 2 所示，首先求出PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图 3 所示，分三种情形，需要分类

35、讨论，分别求解解答： （1）证明：当t=2 时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图 1 所示又EFAD，EF为AD的垂直平分线，AE=DE，AF=DFAB=AC，ADAB于点D，ADBC，B=CEFBC，AEF=B，AFE=C，AEF=AFE，AE=AF，AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形（2）解：如答图 2 所示，由（1）知EFBC，AEFABC，即，解得：EF=10tSPEF=EFDH= （10t）2t=t2+10t= （t2）2+10当t=2 秒时，SPEF存在最大值，最大值为 10，此时BP=3t=6（3）解：存在理由如下：若点E为直角顶点，如答图 3所示，此时PEA

36、D，PE=DH=2t，BP=3tPEAD，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；若点F为直角顶点，如答图 3所示，此时PEAD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=103tPFAD，即，解得t=；若点P为直角顶点，如答图 3所示过点E作EMBC于点M，过点F作FNBC于点N，则EM=FN=DH=2t，EMFNADEMAD，即，解得BM=t，PM=BPBM=3tt=t在RtEMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2FNAD，即，解得CN=t，PN=BCBPCN=103tt=10t在RtFNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10t）2=t28

37、5t+100在RtPEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10t）2=（t2）+（t285t+100）化简得：t235t=0，解得：t=或t=0（舍去）t=综上所述，当t=秒或t=秒时，PEF为直角三角形点评： 本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想5. （ 2014珠海，第 21 题 9 分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连结EF与边CD相交于点G，连结BE与对角线AC相交

38、于点H，AE=CF，BE=EG（1）求证：EFAC；（2）求BEF大小；（3）求证：=考点： 四边形综合题分析： （1）根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定（2）先确定三角形GCF是等腰直角三角形，得出CG=AE，然后通过BAEBCG，得出BE=BG=EG，即可求得（3）因为三角形BEG是等边三角形，ABC=90，ABE=CBG，从而求得ABE=15，然后通过求得AHBFGB，即可求得解答： 解：（1）四边形ABCD是正方形，ADBF，AE=CF，四边形ACFE是平行四边形，EFAC，（2）连接BG，EFAC，F=ACB=45，GCF=90，CGF=F=45，CG=CF，AE=

39、CF，AE=CG，在BAE与BCG中，BAEBCG（SAS）BE=BG，BE=EG，BEG是等边三角形，BEF=60，（3）BAEBCG，ABE=CBG，BAC=F=45，AHBFGB，=，EBG=60ABE=CBG，ABC=90，ABE=15，=点评： 本题考查了平行四边形的判定及性质，求得三角形的判定及 性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质，连接BG是本题的关键6. （ 2014广西玉林市、防城港市，第 25 题 10 分）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转 90得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP（1）求证：四

40、边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若MCQAMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质分析： （1）根据正方形的性质可得AB=BC，ABC=B，然后利用“边角边”证明ABM和BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，BAM=CBP，再求出AMBP，从而得到MNBP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据同角的余角相等求出BAM=CMQ，然后求出ABM和MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，再求出AMQABM，根据相似三角形对应边成比例可得=，从

41、而得到=，即可得解解答： （1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，ABC=B，在ABM和BCP中，ABMBCP（SAS） ，AM=BP，BAM=CBP，BAM+AMB=90，CBP+AMB=90，AMBP，AM并将线段AM绕M顺时针旋转 90得到线段MN，AMMN，且AM=MN，MNBP，四边形BMNP是平行四边形；（2）解：BM=MC理由如下：BAM+AMB=90，AMB+CMQ=90，BAM=CMQ，又B=C=90，ABMMCQ，=，MCQAMQ，AMQABM，=，=，BM=MC点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定， （1）求

42、出两个三角形全等是解题的关键， （2）根据相似于同一个三角形的两个三角形相似求出AMQABM是解题的关键7 （2014舟山，第 20 题 8 分）已知：如图，在ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF（1）求证：DOEBOF（2）当DOE等于多少度时，四边形BFED为菱形？请说明理由考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定分析： （1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出DOEBOF（ASA） ；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出B

43、E=ED，即可得出答案解答： （1）证明：在ABCD中，O为对角线BD的中点，BO=DO，EDB=FBO，在EOD和FOB中，DOEBOF（ASA） ；（2）解：当DOE=90时，四边形BFED为菱形，理由：DOEBOF，BF=DE，又BFDE，四边形EBFD是平行四边形，BO=DO，EOD=90，EB=DE，四边形BFED为菱形点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和菱形的判定等知识，得出BE=DE是解题关键8 （2014新疆，第 20 题 10 分）如图，已知ABC，按如下步骤作图：分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；作直线PQ，分别交

44、AB，AC于点E，D，连接CE；过C作CFAB交PQ于点F，连接AF（1）求证：AEDCFD；（2）求证：四边形AECF是菱形考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；作图基本作图分析： （1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE，AD=CD，然后根据CFAB得到EAC=FCA，CFD=AED，利用ASA证得两三角形全等即可；（2）根据全等得到AE=CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形解答： 解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，AE=CE，AD=

45、CD，CFABEAC=FCA，CFD=AED，在AED与CFD中，AEDCFD；（2）AEDCFD，AE=CF，EF为线段AC的垂直平分线，EC=EA，FC=FA，EC=EA=FC=FA，四边形AECF为菱形点评： 本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，解题的关键是了解通过作图能得到直线的垂直平分线9.（2014邵阳，第 25 题 8 分）准备一张矩形纸片，按如图操作：将ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积考点：翻折变换（折叠问题）；平行四边形的判定；菱形的性质分析：（1）根据四边形ABCD是矩形和折叠的性质可得EBDF，DEBF，根据平行四边形判定推出即可（2）求出ABE=30，根据直角三角形性质求出AE、