2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：25 矩形菱形与正方形.doc

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1、1矩形菱形与正方形矩形菱形与正方形一、选择题一、选择题1. （ 2014安徽省,第 10 题 4 分）如图，正方形 ABCD 的对角线 BD 长为 2，若直线 l满足：点 D 到直线 l 的距离为；A、C 两点到直线 l 的距离相等则符合题意的直线 l 的条数为（ ）A1B2C3D4考点：正方形的性质分析：连接 AC 与 BD 相交于 O，根据正方形的性质求出 OD=，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答解答：解：如图，连接 AC 与 BD 相交于 O，正方形 ABCD 的对角线 BD 长为 2，OD=，直线 lAC 并且到 D 的距离为，同理，在点 D 的另一侧还有一条直线满足条件

2、，故共有 2 条直线 l故选 B点评：本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线互相垂直平分，点 D 到 O的距离小于是本题的关键22. （ 2014福建泉州，第 5 题 3 分）正方形的对称轴的条数为（ ）A1B2C3D4考点： 轴对称的性质分析： 根据正方形的对称性解答解答： 解：正方形有 4 条对称轴故选 D点评： 本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键3. （2014珠海，第 2 题 3 分）边长为 3cm 的菱形的周长是（ ）A6cmB9cmC12cmD15cm考点： 菱形的性质分析： 利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可解答： 解：菱形的各边长相等，边长为

3、3cm 的菱形的周长是：34=12（cm） 故选：C点评： 此题主要考查了菱形的性质，利用菱形各边长相等得出是解题关键4.（2014广西玉林市、防城港市，第 6 题 3 分）下列命题是假命题的是（ ）3A四个角相等的四边形是矩形B对角线相等的平行四边形是矩形C对角线垂直的四边形是菱形D对角线垂直的平行四边形是菱形考点： 命题与定理分析： 根据矩形的判定对 A、B 进行判断；根据菱形的判定方法对 C、D 进行判断解答： 解：A、四个角相等的四边形是矩形，所以 A 选项为真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 B 选项为真命题；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以 C 选项为假命题；D、

4、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以 D 选项为真命题故选 C点评： 本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理5.（2014毕节地区，第 8 题 3 分）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BC 相交于点 O，H为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 28，则 OH 的长等于（ ）A3.5B4C7D14考点：菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理分析：根据菱形的四条边都相等求出 AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出 OH 是ABD 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第

5、三边的一半可得 OH= AB4解答：解：菱形 ABCD 的周长为 28，AB=284=7，OB=OD，H 为 AD 边中点，OH 是ABD 的中位线，OH= AB= 7=3.5故选 A点评：本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键6.（2014襄阳，第 12 题 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，且AE= AB，将矩形沿直线 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处，连接 BP 交 EF 于点Q，对于下列结论：EF=2BE；PF=2PE；FQ=4EQ；PBF 是等边三角形

6、其中正确的是（ ）ABCD考点： 翻折变换（折叠问题） ；矩形的性质分析： 求出 BE=2AE，根据翻折的性质可得 PE=BE，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出APE=30，然后求出AEP=60，再根据翻折的性质求出BEF=60，根据直角三角形两锐角互余求出EFB=30，然后根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半可得 EF=2BE，判断出正确；利用 30角的正切值求出 PF=PE，判断出错误；求出 BE=2EQ，EF=2BE，然后求出 FQ=3EQ，判断出错误；求出PBF=PFB=60，然后得到PBF 是等边三角形，判断出正确5解答：解：AE= AB，BE=2A

7、E，由翻折的性质得，PE=BE，APE=30，AEP=9030=60，BEF= （180AEP）= （18060）=60，EFB=9060=30，EF=2BE，故正确；BE=PE，EF=2PE，EFPF，PF2PE，故错误；由翻折可知 EFPB，EBQ=EFB=30，BE=2EQ，EF=2BE，FQ=3EQ，故错误；由翻折的性质，EFB=BFP=30，BFP=30+30=60，PBF=90EBQ=9030=60，PBF=PFB=60，PBF 是等边三角形，故正确；综上所述，结论正确的是故选 D点评： 本题考查了翻折变换的性质，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角

8、互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键67.（2014孝感，第 9 题 3 分）如图，正方形 OABC 的两边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 D（5，3）在边 AB 上，以 C 为中心，把CDB 旋转 90，则旋转后点 D 的对应点 D的坐标是（ ）A（2，10）B（2，0）C（2，10）或（2，0）D（10，2）或（2，0）考点： 坐标与图形变化-旋转分析： 分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可解答： 解：点 D（5，3）在边 AB 上，BC=5，BD=53=2，若顺时针旋转，则点 D在 x 轴上，OD=2，所以，D（2，0） ，若逆时针旋转，则点

9、 D到 x 轴的距离为 10，到 y 轴的距离为 2，所以，D（2，10） ，综上所述，点 D的坐标为（2，10）或（2，0） 故选 C点评： 本题考查了坐标与图形变化旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论8 （2014台湾，第 12 题 3 分）如图，D 为ABC 内部一点，E、F 两点分别在 AB、BC 上，且四边形 DEBF 为矩形，直线 CD 交 AB 于 G 点若 CF6，BF9，AG8，则ADC的面积为何？( )7A16B24C36D54分析：由于ADCAGCADG，根据矩形的性质和三角形的面积公式计算即可求解解：ADCAGCADG AGBC AGBF1212 8(69) 8960

10、36241212故选：B点评：考查了三角形的面积和矩形的性质，本题关键是活用三角形面积公式进行计算9 （2014台湾，第 27 题 3 分）如图，矩形 ABCD 中，AD3AB，O 为 AD 中点，是半圆甲、乙两人想在上取一点 P，使得PBC 的面积等于矩形 ABCD 的面积其作法如下：(甲) 延长 BO 交于 P 点，则 P 即为所求；(乙) 以 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交于 P 点，则 P 即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？( )A两人皆正确B两人皆错误 C甲正确，乙错误 D甲错误，乙正确分析：利用三角形的面积公式进而得出需 P甲HP乙K2AB，即可得出答案解：要使得

11、PBC 的面积等于矩形 ABCD 的面积，需 P甲HP乙K2AB故两人皆错误故选：B8点评：此题主要考查了三角形面积求法以及矩形的性质，利用四边形与三角形面积关系得出是解题关键10 （2014浙江宁波，第 6 题 4 分）菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则此菱形的边长是（ ）A10B8C6D5考点：菱形的性质；勾股定理分析：根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长解答：解：四边形 ABCD 是菱形，AC=8，BD=6，OB=OD=3，OA=OC=4，ACBD，在 RtAOB 中，由勾股定理得：AB=5，即菱形 ABCD 的边长 AB=BC=CD=AD=5，故选 D点评：本题考查了菱形的

12、性质和勾股定理，关键是求出 OA、OB 的长，注意：菱形的对角线互相平分且垂直911 （2014浙江宁波，第 11 题 4 分）如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG上，BC=1，CE=3，H 是 AF 的中点，那么 CH 的长是（ ）A2.5BCD2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理分析：连接 AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，ACD=GCF=45，再求出ACF=90，然后利用勾股定理列式求出 AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可解答：解：如图，连接 AC、CF，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，BC=1，C

13、E=3，AC=，CF=3，ACD=GCF=45，ACF=90，由勾股定理得，AF=2，H 是 AF 的中点，CH= AF= 2=故选 B10点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键11.（2014呼和浩特，第 9 题 3 分）已知矩形 ABCD 的周长为 20cm，两条对角线 AC，BD相交于点 O，过点 O 作 AC 的垂线 EF，分别交两边 AD，BC 于 E，F（不与顶点重合） ，则以下关于CDE 与ABF 判断完全正确的一项为（ ）ACDE 与ABF 的周长都等于 10cm，但面积不一定相等BC

14、DE 与ABF 全等，且周长都为 10cmCCDE 与ABF 全等，且周长都为 5cmDCDE 与ABF 全等，但它们的周长和面积都不能确定考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质分析： 根据矩形的性质，AO=CO，由 EFAC，得 EA=EC，则CDE 的周长是矩形周长的一半，再根据全等三角形的判定方法可求出CDE 与ABF 全等，进而得到问题答案解答： 解：AO=CO，EFAC，EF 是 AC 的垂直平分线，EA=EC，CDE 的周长=CD+DE+CE=CD+AD= 矩形 ABCD 的周长=10cm，同理可求出ABF 的周长为 10cm，根据全等三角形的判定方法可知

15、：CDE 与ABF 全等，故选 B11点评： 本题考查了矩形的对角线互相平分的性质，还考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定方法，题目的难度不大12. （2014湘潭，第 7 题，3 分）以下四个命题正确的是（ ）A任意三点可以确定一个圆B菱形对角线相等C直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D平行四边形的四条边相等考点： 命题与定理分析： 利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个选项判断后即可确定答案解答： 解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误；C、正确；D、平行四边形的四条边不一定相等故选 C点评：

16、 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质，难度一般13. （2014株洲，第 7 题，3 分）已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从AB=BC，ABC=90，AC=BD，ACBD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）A选B选C选D选考点： 正方形的判定；平行四边形的性质分析： 要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形12解答： 解：A、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形 ABCD 是正方形，正确，故本选

17、项不符合题意；B、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形 ABCD 是正方形，错误，故本选项符合题意；C、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形 ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形 ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意故选 B点评： 本题考查了正方形的判定方法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角还可以先判定四边形是平

18、行四边形，再用 1 或 2 进行判定14. （2014 年江苏南京，第 6 题，2 分）如图，在矩形 AOBC 中，点 A 的坐标是（2，1） ，点 C 的纵坐标是 4，则 B、C 两点的坐标分别是（ ）（第 3 题图）A （ ，3） 、 （ ，4）B（ ，3） 、 （ ，4）C （ ， ） 、 （ ，4）D （ ， ） 、 （ ，4）考点：矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。分析：首先过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 C 作 CFy轴，过点 A 作 AFx 轴，交点为 F，易得CAFBOE，AODOBE，然后由相似三角形的对应

19、边成比例，求得答案13解答：过点 A 作 ADx 轴于点 D，过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 C 作 CFy 轴，过点 A 作 AFx 轴，交点为 F，四边形 AOBC 是矩形，ACOB，AC=OB，CAF=BOE，在ACF 和OBE 中，CAFBOE（AAS） ，BE=CF=41=3，AOD+BOE=BOE+OBE=90，AOD=OBE，ADO=OEB=90，AODOBE，即，OE= ，即点 B（ ，3） ，AF=OE= ，点 C 的横坐标为：（2 ）= ，点 D（ ，4） 故选 B点评：此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助

20、线的作法，注意掌握数形结合思想的应用二二.填空题填空题1. （ 2014福建泉州，第 14 题 4 分）如图，RtABC 中，ACB=90，D 为斜边 AB 的中点，AB=10cm，则 CD 的长为 5 cm考点： 直角三角形斜边上的中线分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 CD= AB解答： 解：ACB=90，D 为斜边 AB 的中点，CD= AB= 10=5cm故答案为：5点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关14键2(2014 年四川资阳，第 15 题 3 分)如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上的一点，且

21、 AE=3，点 Q 为对角线 AC 上的动点，则BEQ 周长的最小值为 考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质分析：连接 BD，DE，根据正方形的性质可知点 B 与点 D 关于直线 AC 对称，故 DE 的长即为 BQ+QE 的最小值，进而可得出结论解答：解：连接 BD，DE，四边形 ABCD 是正方形，点 B 与点 D 关于直线 AC 对称，DE 的长即为 BQ+QE 的最小值，DE=BQ+QE=5，BEQ 周长的最小值=DE+BE=5+1=6故答案为：6点评：本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键3.（2014孝感，第 16 题 3 分）如图，已知矩形 ABCD

22、，把矩形沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，连接 DE、BE，若ABE 是等边三角形，则= 15考点： 翻折变换（折叠问题） 分析： 过 E 作 EMAB 于 M，交 DC 于 N，根据矩形的性质得出DC=AB，DCAB，ABC=90，设 AB=AE=BE=2a，则 BC=a，即 MN=a，求出 EN，根据三角形面积公式求出两个三角形的面积，即可得出答案解答：解： 过 E 作 EMAB 于 M，交 DC 于 N，四边形 ABCD 是矩形，DC=AB，DCAB，ABC=90，MN=BC，ENDC，延 AC 折叠 B 和 E 重合，AEB 是等边三角形，EAC=BAC=30，设 AB=AE

23、=BE=2a，则 BC=a，即 MN=a，ABE 是等边三角形，EMAB，AM=a，由勾股定理得：EM=a，DCE 的面积是 DCEN= 2a（aa）=a2，ABE 的面积是 ABEM= 2aa=a2，16= ，故答案为： 点评： 本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是求出两个三角形的面积，题目比较典型，难度适中4 （2014浙江金华，第 15 题 4 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=8，点 E 是 AD 上的一点，有 AE=4，BE 的垂直平分线交 BC 的延长线于点 F，连结 EF 交 CD 于点 G，若 G 是 CD 的中点，则 BC 的长

24、是 【答案】7.【解析】考点：1.矩形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理；4.线段垂直平分线的性质；5.方程思想的应用.175. （2014泰州，第 16 题，3 分）如图，正方向 ABCD 的边长为 3cm，E 为 CD 边上一点，DAE=30，M 为 AE 的中点，过点 M 作直线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q若PQ=AE，则 AP 等于 1 或 2 cm（第 1 题图）考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析： 根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N，由 ABCD 为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形 ADE 中，利用

25、锐角三角函数定义求出 DE 的长，进而利用勾股定理求出 AE 的长，根据 M 为 AE 中点求出 AM 的长，利用 HL 得到三角形ADE 与三角形 PQN 全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，DAE=NPQ=30，再由 PN 与 DC 平行，得到PFA=DEA=60，进而得到 PM 垂直于 AE，在直角三角形 APM 中，根据 AM 的长，利用锐角三角函数定义求出 AP 的长，再利用对称性确定出 AP的长即可解答： 解：根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N，四边形 ABCD 为正方形，AD=DC=PN，在 RtADE 中，DAE=30，AD=3cm，t

26、an30=，即 DE=cm，根据勾股定理得：AE=2cm，M 为 AE 的中点，AM= AE=cm，在 RtADE 和 RtPNQ 中，RtADERtPNQ（HL） ，18DE=NQ，DAE=NPQ=30，PNDC，PFA=DEA=60，PMF=90，即 PMAF，在 RtAMP 中，MAP=30，cos30=，AP=2cm；由对称性得到 AP=DP=ADAP=32=1cm，综上，AP 等于 1cm 或 2cm故答案为：1 或 2点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键三三.解答题解答题1. （ 2014福建泉州，第 20 题 9 分

27、）已知：如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在AB，CD 边上，BE=DF，连接 CE，AF求证：AF=CE考点： 矩形的性质；平行四边形的判定与性质专题： 证明题19分析： 根据矩形的性质得出 DCAB，DC=AB，求出 CF=AE，CFAE，根据平行四边形的判定得出四边形 AFCE 是平行四边形，即可得出答案解答： 证明：四边形 ABCD 是矩形，DCAB，DC=AB，CFAE，DF=BE，CF=AE，四边形 AFCE 是平行四边形，AF=CE点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，平行四边形的对边相等2. （ 2014福建泉州，第

28、25 题 12 分）如图，在锐角三角形纸片 ABC 中，ACBC，点D，E，F 分别在边 AB，BC，CA 上（1）已知：DEAC，DFBC判断四边形 DECF 一定是什么形状？裁剪当 AC=24cm，BC=20cm，ACB=45时，请你探索：如何剪四边形 DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点 D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由考点： 四边形综合题20分析： （1）根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，根据ADFABC 推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出 h 与 x 之间的函数关系式，根据平行四边形的面

29、积公式，很容易得出面积 S 关于 h 的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积 s 最大时 h 的值（2）第一步，沿ABC 的对角线对折，使 C 与 C1 重合，得到三角形 ABB1，第二步，沿 B1 对折，使 DA1BB1解答： 解：（1）DEAC，DFBC，四边形 DECF 是平行四边形作 AGBC，交 BC 于 G，交 DF 于 H，ACB=45，AC=24cmAG=12，设 DF=EC=x，平行四边形的高为 h，则 AH=12h，DFBC，=，BC=20cm，即：=x=20，S=xh=x20=20hh2=6，AH=12，AF=FC，在 AC 中点处剪四边形 DECF，能使它的面积最

30、大21（2）第一步，沿ABC 的对角线对折，使 C 与 C1重合，得到三角形 ABB1，第二步，沿 B1对折，使 DA1BB1理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形点评： 本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论3. （ 2014福建泉州，第 26 题 14 分）如图，直线 y=x+3 与 x，y 轴分别交于点 A，B，与反比例函数的图象交于点 P（2，1） （1）求该反比例函数的关系式；（2）设 PCy 轴于点 C，点 A 关于 y 轴的对称点为 A；求ABC 的周长和 sinBAC 的

31、值；对大于 1 的常数 m，求 x 轴上的点 M 的坐标，使得 sinBMC= 考点： 反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义专题： 压轴题；探究型分析：（1）设反比例函数的关系式 y= ，然后把点 P 的坐标（2，1）代入即可（2）先求出直线 y=x+3 与 x、y 轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出22ABC 的周长；过点 C 作 CDAB，垂足为 D，运用面积法可以求出 CD 长，从而求出 sinBAC 的值由于 BC=2，sinBMC= ，因此点 M 在以 BC 为弦，半径为 m 的E 上，因而点M

32、 应是E 与 x 轴的交点然后对E 与 x 轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点 M 的坐标解答：解：（1）设反比例函数的关系式 y= 点 P（2，1）在反比例函数 y= 的图象上，k=21=2反比例函数的关系式 y= （2）过点 C 作 CDAB，垂足为 D，如图 1 所示当 x=0 时，y=0+3=3，则点 B 的坐标为（0，3） OB=3当 y=0 时，0=x+3，解得 x=3，则点 A 的坐标为（3，0） ，OA=3点 A 关于 y 轴的对称点为 A，OA=OA=3PCy 轴，点 P（2，1） ，OC=1，PC=2BC=2AOB=90，OA

33、=OB=3，OC=1，AB=3，AC=ABC 的周长为 3+2SABC= BCAO= ABCD，BCAO=ABCD23=3CDCD=CDAB，25sinBAC=ABC 的周长为 3+2，sinBAC 的值为当 1m2 时，作经过点 B、C 且半径为 m 的E，连接 CE 并延长，交E 于点 P，连接 BP，过点 E 作 EGOB，垂足为 G，过点 E 作 EHx 轴，垂足为 H，如图 2所示CP 是E 的直径，PBC=90sinBPC= sinBMC= ，BMC=BPC点 M 在E 上点 M 在 x 轴上点 M 是E 与 x 轴的交点EGBC，BG=GC=1OG=2EHO=GOH=OGE=90

34、，四边形 OGEH 是矩形EH=OG=2，EG=OH1m2，EHECE 与 x 轴相离x 轴上不存在点 M，使得 sinBMC= 当 m=2 时，EH=ECE 与 x 轴相切切点在 x 轴的正半轴上时，如图 2所示26点 M 与点 H 重合EGOG，GC=1，EC=m，EG=OM=OH=EG=点 M 的坐标为（，0） 切点在 x 轴的负半轴上时，同理可得：点 M 的坐标为（，0） 当 m2 时，EHECE 与 x 轴相交交点在 x 轴的正半轴上时，设交点为 M、M，连接 EM，如图 2所示EHM=90，EM=m，EH=2，MH=EHMM，MH=MHMHEGC=90，GC=1，EC=m，EG=O

35、H=EG=OM=OHMH=，OM=OH+HM=+，M（，0） 、M（+，0） 交点在 x 轴的负半轴上时，同理可得：M（+，0） 、M（，0） 综上所述：当 1m2 时，满足要求的点 M 不存在；当 m=2 时，满足要求的点 M 的坐标为（，0）和（，0） ；27当 m2 时，满足要求的点 M 的坐标为（，0） 、 （+，0） 、 （+，0） 、 （，0） 点评： 本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大由BC=2，sinBM

36、C= 联想到点 M 在以 BC 为弦，半径为 m 的E 上是解决本题的关键4. （ 2014广东，第 25 题 9 分）如图，在ABC 中，AB=AC，ADAB 于点D，BC=10cm，AD=8cm点 P 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 3cm 的速度向点 C 匀速运动，与此同时，垂直于 AD 的直线 m 从底边 BC 出发，以每秒 2cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，分别交 AB、AC、AD 于 E、F、H，当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线 m 同时停止运动，设运动时间为 t 秒（t0） 28（1）当 t=2 时，连接 DE、DF，求证：四边形 AEDF 为菱形；（2）在整

37、个运动过程中，所形成的PEF 的面积存在最大值，当PEF 的面积最大时，求线段 BP 的长；（3）是否存在某一时刻 t，使PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻 t 的值；若不存在，请说明理由考点： 相似形综合题分析： （1）如答图 1 所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图 2 所示，首先求出PEF 的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图 3 所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解解答： （1）证明：当 t=2 时，DH=AH=2，则 H 为 AD 的中点，如答图 1 所示又EFAD，EF 为 AD 的垂直平分线，AE=DE，AF=DFAB=AC，ADAB 于点 D，

38、ADBC，B=CEFBC，AEF=B，AFE=C，AEF=AFE，AE=AF，AE=AF=DE=DF，即四边形 AEDF 为菱形（2）解：如答图 2 所示，由（1）知 EFBC，AEFABC，29，即，解得：EF=10 tSPEF= EFDH= （10 t）2t= t2+10t= （t2）2+10当 t=2 秒时，SPEF存在最大值，最大值为 10，此时 BP=3t=6（3）解：存在理由如下：若点 E 为直角顶点，如答图 3所示，此时 PEAD，PE=DH=2t，BP=3tPEAD，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；若点 F 为直角顶点，如答图 3所示，此时 PEAD，PF=DH=2t，B

39、P=3t，CP=103tPFAD，即，解得 t=；若点 P 为直角顶点，如答图 3所示过点 E 作 EMBC 于点 M，过点 F 作 FNBC 于点 N，则EM=FN=DH=2t，EMFNADEMAD，即，解得 BM= t，PM=BPBM=3t t= t在 RtEMP 中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（ t）2=t2FNAD，即，解得 CN= t，PN=BCBPCN=103t t=10t在 RtFNP 中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10t）2=t285t+10030在 RtPEF 中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10 t）2=（t

40、2）+（t285t+100）化简得：t235t=0，解得：t=或 t=0（舍去）t=综上所述，当 t=秒或 t=秒时，PEF 为直角三角形点评： 本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想5. （ 2014珠海，第 21 题 9 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边BC 的延长线上，连结 EF 与边 CD 相交于点 G，连结 BE 与对角线 AC 相交于点H，AE=CF，BE=EG（1）求证：E

41、FAC；（2）求BEF 大小；（3）求证：=考点： 四边形综合题分析： （1）根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定（2）先确定三角形 GCF 是等腰直角三角形，得出 CG=AE，然后通过BAEBCG，得出 BE=BG=EG，即可求得（3）因为三角形 BEG 是等边三角形，ABC=90，ABE=CBG，从而求得ABE=15，然后通过求得AHBFGB，即可求得解答： 解：（1）四边形 ABCD 是正方形，31ADBF，AE=CF，四边形 ACFE 是平行四边形，EFAC，（2）连接 BG，EFAC，F=ACB=45，GCF=90，CGF=F=45，CG=CF，AE=CF，AE=CG

42、，在BAE 与BCG 中，BAEBCG（SAS）BE=BG，BE=EG，BEG 是等边三角形，BEF=60，（3）BAEBCG，ABE=CBG，BAC=F=45，AHBFGB，=，EBG=60ABE=CBG，ABC=90，ABE=15，=32点评： 本题考查了平行四边形的判定及性质，求得三角形的判定及 性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质，连接 BG 是本题的关键6. （ 2014广西玉林市、防城港市，第 25 题 10 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是BC 边上的任一点，连接 AM 并将线段 AM 绕 M 顺时针旋转 90得到线段 MN，在 CD 边上取点 P 使 CP=B

43、M，连接 NP，BP（1）求证：四边形 BMNP 是平行四边形；（2）线段 MN 与 CD 交于点 Q，连接 AQ，若MCQAMQ，则 BM 与 MC 存在怎样的数量关系？请说明理由考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质分析： （1）根据正方形的性质可得 AB=BC，ABC=B，然后利用“边角边”证明ABM和BCP 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AM=BP，BAM=CBP，再求出AMBP，从而得到 MNBP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据同角的余角相等求出BAM=CMQ，然后求出ABM 和MCQ 相似，根据相似三角形对应边

44、成比例可得=，再求出AMQABM，根据相似三角形对应边成比例可得=，从而得到=，即可得解解答： （1）证明：在正方形 ABCD 中，AB=BC，ABC=B，在ABM 和BCP 中，33，ABMBCP（SAS） ，AM=BP，BAM=CBP，BAM+AMB=90，CBP+AMB=90，AMBP，AM 并将线段 AM 绕 M 顺时针旋转 90得到线段 MN，AMMN，且 AM=MN，MNBP，四边形 BMNP 是平行四边形；（2）解：BM=MC理由如下：BAM+AMB=90，AMB+CMQ=90，BAM=CMQ，又B=C=90，ABMMCQ，=，MCQAMQ，AMQABM，=，=，BM=MC点评：

45、 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定， （1）求出两个三角形全等是解题的关键， （2）根据相似于同一34个三角形的两个三角形相似求出AMQABM 是解题的关键7 （2014舟山，第 20 题 8 分）已知：如图，在ABCD 中，O 为对角线 BD 的中点，过点O 的直线 EF 分别交 AD，BC 于 E，F 两点，连结 BE，DF（1）求证：DOEBOF（2）当DOE 等于多少度时，四边形 BFED 为菱形？请说明理由考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定分析： （1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出DOEBOF（ASA） ；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形 EBFD 是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出 BE=ED，即可得出答案解答： （1）证明：在ABCD 中，O 为对角线 BD 的中点，BO=DO，EDB=FBO，在EOD 和FOB 中，DOEBOF（ASA） ；（2）解：当DOE=90时，四边形 BFED 为菱形，