高中数学必修五数列知识点+练习含答案解析（非常详细）.doc

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1、 - 1 -第一部分必修五数列知识点整理第一部分必修五数列知识点整理第二章第二章 数列数列 1 1、数列的定义及数列的通项公式：、数列的定义及数列的通项公式：. ，数列是定义域为 N 的函数，当 n 依次取 1，2，时的一列( )naf n( )f n函数值. 的求法：nai.归纳法ii. 若，则不分段；若，则分段11,1,2n nnS naSSn00S na00S naiii. 若，则可设解得 m,得等比数列1nnapaq1()nnamp amnamiv. 若，先求，再构造方程组构造方程组：得到关于和的递()nnSf a1a11()()nnnnSf aSf a 1nana推关系式例如：例如：

2、先求，再构造方程组：（下减上）21nnSa1a112121nnnnSaSa 1122nnnaaa2.2.等差数列：等差数列： 定义：=（常数）,证明数列是等差数列的重要工具。1nnaad 通项: ,时，为关于 n 的一次函数；1(1)naand0d na0 时，为单调递增数列；0 时，为单调递减数列。dnadna 前 n 项和： ，1() 2n nn aaS1(1) 2n nnad时，是关于 n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。0d nS 性质：i. （m+n=p+q）mnpqaaaa- 2 -ii. 若为等差数列，则，仍为等差数列。 namam ka2mkaiii. 若为等差数列，则

3、，仍为等差数列。 nanS2nnSS32nnSSiv 若 A 为 a,b 的等差中项，则有。2abA3.3.等比数列：等比数列： 定义： （常数） ，是证明数列是等比数列的重要工具。1nnaqa 通项: (q=1 时为常数列)。1 1n naa q.前 n 项和, ,需特别注意,公比为字母时要讨111,11,111n nnna qSaqaa qqqq 论.性质：i. 。qpnmaaaaqpnmii.，公比为。 仍为等比数列则为等比数列,2kmkmmnaaaakqiii. ，公比为。 232,nnnnnnaSSSSK为等比数列则S仍为等比数列nqiv.G 为 a,b 的等比中项,abG4.4.数

4、列求和的常用方法数列求和的常用方法: :.公式法:如13, 32n nnana.分组求和法:如，可分别求出，和的和，52231nann n 3n 12n25n然后把三部分加起来即可。.错位相减法错位相减法:如，nnna 2123- 3 -23111111579(31)3222222nnnSnn1 2nS 234111579222111313222nn nn两式相减得：，以下略。 231111111522232222222nnnSn.裂项相消法裂项相消法:如，nnnnannnnann111;111 11等。1111 21212 2121nannnn.倒序相加法.例：在 1 与 2 之间插入 n

5、个数，使这 n+2 个数成等差12,3,na a aa数列，求：， （答案：）12nnSaaa3 2nSn第第 2 2 部分部分 必修五练习题含答案解析必修五练习题含答案解析第第 2 2 章章 数列数列一、选择题一、选择题( (本大题共本大题共 1010 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符号题目要求的。一项是符号题目要求的。) )1已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足1，则数列an的公差是( )S33S22A. B1 C2 D312答案 C解析 设an的公差为 d，则 Snna1

6、d，nn12是首项为 a1，公差为 的等差数列，1， 1，d2.Snnd2S33S22d2 2设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 8a2a50，则下列式子中数值不能确定的是( )- 4 -A. B. C. D.a5a3S5S3an1anSn1Sn 答案 D解析 等比数列an满足 8a2a50，即 a2(8q3)0，q2，q24，q2，都是确定的数值，a5a3an1anS5S3a11q51qa11q31q1q51q3113但的值随 n 的变化而变化，故选 D.Sn1Sn1qn11qn 3设数列an满足 a10，anan12，则 a2011的值为( ) A2 B1 C0 D2 答案 C解析

7、a10，anan12，a22，a30，a42，a50，即 a2k10，a2k2，a20110.4已知数列an满足 log3an1log3an1(nN*)且 a2a4a69，则 log (a5a7a9)的值是( )13A5 B C5 D.1515 答案 A分析 根据数列满足 log3an1log3an1(nN*)由对数的运算法则，得出 an1与 an的关系，判断数列的类型，再结合 a2a4a69 得出 a5a7a9的值 解析 由 log3an1log3an1(nN*)得，an13an，数列an是公比等于 3 的等比数 列，a5a7a9(a2a4a6)3335，log (a5a7a9)log335

8、5.135已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An和 Bn，且，则使得为正偶AnBn7n45n3anbn 数时，n 的值可以是( ) A1 B2 C5 D3 或 11 答案 D解析 an与bn为等差数列，将选项代入检验知选 D.anbn2an2bna1a2n1b1b2n1A2n1B2n114n382n27n19n16各项都是正数的等比数列an的公比 q1，且 a2， a3，a1成等差数列，则的值为( )12a3a4a4a5A. B. C. D.或1 52512512512512答案 C解析 a2， a3，a1成等差数列，a3a2a1，12an是公比为 q 的等比数列，a1q2a1q

9、a1，q2q10，q0，q.512 ，故选 C.a3a4a4a51q5127已知数列an为等差数列，若0 的最a11a10 大值 n 为( )- 5 -A11 B19 C20 D21答案 B解析 Sn有最大值，a10，d0，a10a110，故选 B.19a1a1928等比数列an中，a1512，公比 q ，用 n表示它的前 n 项之积：na1a2an，12 则 n中最大的是( ) A11 B10 C9 D8解析：na1a2ana q12n129n(1)2，当n 1(12)n1n2nn12n219n2 n9 时，n最大故选 C 9已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，S3a5，am

10、2011，则 m( ) A1004 B1005 C1006 D1007 答案 C解析 由条件知Error!Error!，Error!Error!， ama1(m1)d12(m1)2m12011，m1006，故选 C. 10已知数列an的通项公式为 an6n4，数列bn的通项公式为 bn2n，则在数列an的前 100 项中与数列bn中相同的项有( ) A50 项 B34 项 C6 项 D5 项 答案 D解析 a12b1，a28b3，a314，a420，a526，a632b5，又 b102101024a100，b9512，令 6n4512，则 n86，a86b9，b8256，令 6n4256，nZ

11、，无解，b7128，令 6n4128，则 n22，a22b7，b6646n4 无解，综上知，数列an的前 100 项中与bn相同的项有 5 项二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 5 5 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分，把正确答案填在题中横线上分，把正确答案填在题中横线上) )11已知数列an满足：an11，a12，记数列an的前 n 项之积为 Pn，则1an P2011_. 答案 2解析 a12，a21 ，a3121，a41(1)2，an的周期为 3，且1212 a1a2a31，P2011(a1a2a3)670a2011(1)670a12. 12秋末冬

12、初，流感盛行，荆门市某医院近 30 天每天入院治疗流感的人数依次构成数列an， 已知 a11，a22，且 an2an1(1)n (nN*)，则该医院 30 天入院治疗流感的人 数共有_人 答案 255 解析 an2an1(1)n (nN*)，n 为奇数时，an2an，n 为偶数时， an2an2，即数列an的奇数项为常数列，偶数项构成以 2 为首项，2 为公差的等差数列故这 30 天入院治疗流感人数共有 15(1522)255 人15 142- 6 -13已知等比数列an中，各项都是正数，且 a1， a3,2a2成等差数列，则_.12a3a10a1a8 答案 322解析 a1， a3,2a2成

13、等差数列，a3a12a2，设数列an公比为 q，则12 a1q2a12a1q，a10，q22q10，q1，an0，q1，22q232.a3a10a1a82 14在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列， 且从上到下所有公比相等，则 abc 的值为_ a c b6 12答案 22 解析 由横行成等差数列知，6 下边为 3，从纵列成等比数列及所有公比相等知，公比q2，b224 由横行等差知 c 下边为5，故 c5210，由纵列公比为 2 知462 a1238，abc22.15数列an中，a11，an、an1是方程 x2(2n1)x0 的两个根，则数列bn的前1b

14、n n 项和 Sn_答案 解析由题意得 anan12n1，又annan1(n1)，a11nn1ann，又 anan1，bn.Snb1b2bn1.1bn1nn11n1 三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 个小题，共个小题，共 7575 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) ) 16(本小题满分 12 分)(2011甘肃天水期末)已知等差数列an的前 n 项和为 Snpn22nq(p，qR)，nN*. (1)求 q 的值； (2)若 a38，数列bn满足 an4log2bn，求数列bn的前 n 项和 解析 (1)当 n1 时，a1S

15、1p2q， 当 n2 时，anSnSn1pn22nqp(n1)22(n1)q2pnp2 an是等差数列，p2q2pq2，q0. (2)a38，a36pp2，6pp28，p2， an4n4， 又 an4log2bn，得 bn2n1，故bn是以 1 为首项，2 为公比的等比数列所以数列bn的前 n 项和 Tn2n1.12n12 17(本小题满分 12 分)等差数列an的各项均为正数，a13，前 n 项和为 Sn，bn为等比数 列， b11，且 b2S264，b3S3960. (1)求 an与 bn；(2)求的值1S11S21Sn- 7 -解：(1)设an的公差为 d，bn的公比为 q，则 d 为正

16、数，an3(n1)d，bnqn1， 依题意有Error!Error!， 解得Error!Error! 或Error!Error!(舍去)， 故 an32(n1)2n1，bn8n1. (2)由(1)知 Sn35(2n1)n(n2)，所以1S11S21Sn11 312 413 51nn212(113121413151n1n2) .12(1121n11n2)342n32n1n218(本小题满分 12 分)已知数列bn前 n 项和为 Sn，且 b11，bn1 Sn.13 (1)求 b2，b3，b4的值； (2)求bn的通项公式； (3)求 b2b4b6b2n的值解析 (1)b2 S1 b1 ，b3 S

17、2 (b1b2) ，b4 S3 (b1b2b3).13131313134913131627(2)Error!Error!解 bn1bn bn，bn1 bn，1343b2 ，bn n2 (n2)1313(43)bnError!Error!.(3)b2，b4，b6b2n是首项为 ，公比2的等比数列，13(43)b2b4b6b2n131432n1(43)2 ( )2n13743 19(本小题满分 12 分)已知 f(x)mx(m 为常数，m0 且 m1)设 f(a1)，f(a2)， ，f(an)(nN)是首项为 m2，公比为 m 的等比数列 (1)求证：数列an是等差数列； (2)若 bnanf(a

18、n)，且数列bn的前 n 项和为 Sn，当 m2 时，求 Sn； (3)若 cnf(an)lgf(an)，问是否存在 m，使得数列cn中每一项恒小于它后面的项？若存在， 求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 解析 (1)由题意 f(an)m2mn1，即 manmn1. ann1，an1an1， 数列an是以 2 为首项，1 为公差的等差数列 (2)由题意 bnanf(an)(n1)mn1， 当 m2 时，bn(n1)2n1， Sn222323424(n1)2n1- 8 -式两端同乘以 2 得， 2Sn223324425n2n1(n1)2n2 并整理得， Sn2222324252n1(n1

19、)2n2 22(2223242n1)(n1)2n222(n1)2n22212n12 2222(12n)(n1)2n22n2n. (3)由题意 cnf(an)lgf(an)mn1lgmn1(n1)mn1lgm， 要使 cn1 时，lgm0，所以 n1m 对一切 nN*成立，n1n2因为1的最小值为 ，所以 01 时，数列cn中每一项恒小于它后面的项2320(本小题满分 13 分)将函数 f(x)sin xsin (x2)sin (x3)在区间(0，)内的全部极141412 值点按从小到大的顺序排成数列an(nN*) (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn2nan，数列bn的前 n 项和为

20、Tn，求 Tn的表达式解析 (1)化简 f(x)sin xsin (x2)sin (x3)141412sin cos sinxx4x4(cosx2)14其极值点为 xk (kZ)，2它在(0，)内的全部极值点构成以 为首项， 为公差的等差数列，2an (n1)(nN*)22n12(2)bn2nan (2n1)2n2Tn 12322(2n3)2n1(2n1)2n22Tn 122323(2n3)2n(2n1)2n12相减得，Tn 1222222322n(2n1)2n12Tn(2n3)2n3 21(本小题满分 14 分)数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snn(n1)(nN*)- 9 -(1)求数

21、列an的通项公式；(2)若数列bn满足：an，求数列bn的通项公式；b131b2321b3331bn3n1(3)令 cn(nN*)，求数列cn的前 n 项和 Tn.anbn4 解析 (1)当 n1 时，a1S12， 当 n2 时，anSnSn1n(n1)(n1)n2n，知 a12 满足该式 数列an的通项公式为 an2n.(2)an(n1)b131b2321b3331bn3n1an1b131b2321b3331bn3n1bn13n11得，an1an2，bn12(3n11)，bn13n11 故 bn2(3n1)(nN*)(3)cnn(3n1)n3nn，anbn4Tnc1c2c3cn(13232333n3n)(12n) 令 Hn13232333n3n， 则 3Hn132233334n3n1得，2Hn332333nn3n1n3n1313n13Hn，2n1 3n134 数列cn的前 n 项和Tn.2n1 3n134nn12