矩阵的运算与逆矩阵.ppt

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1、线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算教学目的掌握矩阵的加减、数乘、乘法和幂等基本运算。理解掌握矩阵的加减、数乘、乘法和幂等基本运算。理解并熟悉矩阵的转置、对称、共扼等概念，理解伴随矩并熟悉矩阵的转置、对称、共扼等概念，理解伴随矩阵理解方阵运算，会用方阵运算方法进行相关运算。阵理解方阵运算，会用方阵运算方法进行相关运算。掌握逆矩阵的概念性质及伴随矩阵求法掌握逆矩阵的概念性质及伴随矩阵求法作业要求重点矩阵的基本运算矩阵的基本运算练习册练习册P9-13,习题习题1-10;其中其中交：交：P9-10,习题：习题：14难点矩阵的乘法、幂及方阵的运算性质矩阵的乘法、幂及方阵的运算性质讲

2、授方法讲练结合讲练结合讲授内容主线概念同型加减数乘全乘法行列算、一般不交换概念同型加减数乘全乘法行列算、一般不交换方阵可算幂行列式宜单算转置行列换引来对方阵可算幂行列式宜单算转置行列换引来对称与伴随，伴随有转置。逆矩阵的概念与性质称与伴随，伴随有转置。逆矩阵的概念与性质内容概括乘法是行列式对应元素乘积和，交换化零与消去均不乘法是行列式对应元素乘积和，交换化零与消去均不可，方阵可算幂与行列式，行列式注意数乘与积的乘可，方阵可算幂与行列式，行列式注意数乘与积的乘法，变换导出的逆阵具有唯一、非奇异与单侧性及数法，变换导出的逆阵具有唯一、非奇异与单侧性及数乘转置的运算律。乘转置的运算律。班级：时间：年

3、 月 日；星期 第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵1线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵本次课讲：本次课讲：1.1.教材第二章第二节：矩阵的基本运算和关系运算教材第二章第二节：矩阵的基本运算和关系运算 2.2.教材第二章第三节：逆矩阵的概念与性质教材第二章第三节：逆矩阵的概念与性质 3.3.下次上课时交作业：下次上课时交作业：P9P9P12P12下次课讲：下次课讲：1.1.教材第二章第三节（续）：逆矩阵的运算与证明教材第二章第三节（续）：逆矩阵的运算与证明 2.2.教材第二章第四节：矩阵的分块法教材第二章第四

4、节：矩阵的分块法 3.3.教材第三章第一节：初等变换的基本概念教材第三章第一节：初等变换的基本概念2线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵学完本次课达到如下要求学完本次课达到如下要求 1.1.会用符号语言表述加减数乘幂、转置对称伴会用符号语言表述加减数乘幂、转置对称伴随等运算。随等运算。2.2.加减数乘幂运算掌握运算律，即了解什么是加减数乘幂运算掌握运算律，即了解什么是不可以的，如乘法不交换不消去不化零。不可以的，如乘法不交换不消去不化零。3.3.转置、对称、行列式和伴随运算要熟记关系转置、对称、行列式和伴随运算要熟记关系运算

5、公式，请记住伴随行列式没有加法公式，伴运算公式，请记住伴随行列式没有加法公式，伴随运算也没有乘法运算。随运算也没有乘法运算。3线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 3.矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘（重点是乘的过程与表达式）（重点是乘的过程与表达式）设有两个线性变换:求出从 到 的线性变换.一、矩阵的四则运算一、矩阵的四则运算（1）乘法的历史）乘法的历史第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵4线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算222332（2）乘法的定义与运算规律）乘法的定义与运算规律定义定义4 4 其中其中并把此乘积记作：并把此乘积记作：设

6、设 是一个是一个 ms 矩阵矩阵,是一个是一个sn 矩阵矩阵,那么规定那么规定矩阵矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 的乘积是一个的乘积是一个mn 矩阵矩阵 矩阵形式如下：矩阵形式如下：第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵5线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵6线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算如:是一个数.注意：只有当注意：只有当左矩阵的列数左矩阵的列数等于等于右右 矩阵的行数矩阵的行数时，时，两个矩阵才可以相乘两个矩阵才可以相乘(与顺序有关与顺序有关).（3）矩阵运算的性质（与实数运算的对比）

7、矩阵运算的性质（与实数运算的对比）通过以上对矩阵运算的了解，尤其是对矩阵乘法运算的通过以上对矩阵运算的了解，尤其是对矩阵乘法运算的分析，我们可以对比一下矩阵的代数运算与我们所熟悉分析，我们可以对比一下矩阵的代数运算与我们所熟悉的实数的代数运算，并找出它们之间的本质区别：的实数的代数运算，并找出它们之间的本质区别：第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵7线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算例例1 求矩阵求矩阵与与的乘积的乘积AB.1）乘法一般不满足交换律）乘法一般不满足交换律:解解但但无法相乘.23再如：若再如：若 A 是是mn矩阵，而矩阵，而 B 是是nm矩阵，

8、矩阵，则则AB与与BA都有意都有意义义但但ABBA.若阶方阵若阶方阵A,B 满足满足 AB=BA 称称A与与B 可交换可交换第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵8线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算2）实数运算存在化）实数运算存在化0因子，即若因子，即若ab=0,则则a,b至少有一个数是至少有一个数是0。但矩但矩阵运算不存在化阵运算不存在化0因子，即若因子，即若AB=0,A与与B可能都不为可能都不为0，如下例，如下例3）实数满足消去律，但矩阵乘法消去律不再成立。就是说，若矩阵）实数满足消去律，但矩阵乘法消去律不再成立。就是说，若矩阵A、B、C满足满足AB=AC

9、，并且，并且A不为不为0，则不能推出，则不能推出BC，例如，例如例例2 求矩阵求矩阵与与的乘积的乘积AB 与与 BA.解解4)可相乘的单位矩阵与任意矩阵可交换可相乘的单位矩阵与任意矩阵可交换或简写成或简写成 EA=AE=A.第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵9线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算6 6）用矩阵的乘法表示线性变换和线性方程组）用矩阵的乘法表示线性变换和线性方程组系数矩阵系数矩阵由矩阵乘法知：由矩阵乘法知：设给定一个线性变换设给定一个线性变换 5)矩阵的乘法虽然一般不能满足交换律，但结合律却总是成立的，矩阵的乘法虽然一般不能满足交换律，但结合律却

10、总是成立的，因此，涉及多矩阵连乘时，在不改变左右顺序及相邻矩阵可相乘的前因此，涉及多矩阵连乘时，在不改变左右顺序及相邻矩阵可相乘的前提下可任意添加或删去括号。提下可任意添加或删去括号。(i)(ii)(iii)（其中为数）；第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵10线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算（方）矩阵的幂（方）矩阵的幂设 A 是 n 阶方阵，定义注注：1.只有方阵，它的幂才有意义。2.3.对于两个 n 阶矩阵，一般如4.第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵11线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算例例3：第四讲第四讲 矩阵

11、的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵二、矩阵的关系运算二、矩阵的关系运算12线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算定义定义5 51.矩阵的转置矩阵的转置叫做矩阵叫做矩阵A的的转置矩阵转置矩阵，记作记作 .把矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，的行换成同序数的列得到一个新矩阵，若若则则矩阵的转置也是一种运算，它满足下述运算规律矩阵的转置也是一种运算，它满足下述运算规律(i)(ii)(iii)(iv)（A为方阵）第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵13线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算证明证明(iv)设所以第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵

12、矩阵的运算与逆矩阵14线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算例例4：已知：已知求求解解注：行矩阵的转置矩阵是列矩阵，列矩阵的转置矩阵是注：行矩阵的转置矩阵是列矩阵，列矩阵的转置矩阵是行矩阵。行矩阵。第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵15线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵例例5（2000.2）16线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算那么那么 A 称为称为对称矩阵对称矩阵.设设 A 为为 n 阶方阵，阶方阵，若满足若满足即即用转置定义对称矩阵例例6：设A为对称矩阵,为多项式

13、，试证 仍为对称矩阵。证明：设2.对称矩阵对称矩阵第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵17线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算3.方阵的行列式方阵的行列式定义定义6 6 由由n 阶方阵阶方阵A的元素所构成的行列式的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）（各元素的位置不变）,称为称为方阵方阵A 的行列式的行列式，记作记作注：注：n 阶方阵是一个数表，阶方阵是一个数表，n阶阶行列式是一个数行列式是一个数.或或由由 A 确定确定 的这个运算满足下述运算规律的这个运算满足下述运算规律（设设 A,B 为为 n 阶阶 方阵，方阵，为实数）：为实数）：(i)(ii)(iii

14、)第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵18线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算设矩阵设矩阵 A 为为A 的的伴随矩阵伴随矩阵.试证试证证证设记则注意注意A A*的排的排列顺序列顺序4.伴随矩阵伴随矩阵性质：性质：第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵19线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算故OO类似有例例8：设解：5.共轭矩阵（自己看书，知道定义就可以了。略）共轭矩阵（自己看书，知道定义就可以了。略）第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵20线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算三、逆矩阵三、逆矩阵

15、设给定一个线性变换设给定一个线性变换（1）它的系数矩阵是一个它的系数矩阵是一个 n 阶矩阵阶矩阵 A,若记若记则线性变换（则线性变换（1）可记作）可记作（2）是否存在从是否存在从Y到到X的现行变换，若存在这样的变换，即意味着存在矩的现行变换，若存在这样的变换，即意味着存在矩阵阵B，使得，使得(3)（3）表示一个从）表示一个从Y到到X的线性变换的线性变换,称为线性变换称为线性变换(2)的的逆变换逆变换.第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵21线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算显然，为恒等变换所对应的矩阵，所以所以于是定义定义7 7对于对于 n 阶矩阵阶矩阵 A

16、,若有一个若有一个 n 阶矩阵阶矩阵 B,使得使得 则说则说 矩阵矩阵 A 是可逆的是可逆的，并称并称矩阵矩阵B 是矩阵是矩阵A 的逆矩阵的逆矩阵.A 的逆矩阵记作的逆矩阵记作即若则由（2）、（3）两式得1.逆矩阵的定义逆矩阵的定义第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵22线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算2.逆矩阵的性质逆矩阵的性质设 B、C 都是 A 的逆矩阵，则有证：1）唯一性）唯一性：若矩阵若矩阵 A 是可逆的，那么是可逆的，那么 A 的逆矩阵一定是的逆矩阵一定是唯一的唯一的.2）非奇异性）非奇异性（1）奇异概念当 时，称为奇异矩阵奇异矩阵，否则称为非

17、奇异矩阵非奇异矩阵。是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的充分必要条件是 （2）定理：）定理：证：必要性：若A可逆即有使得所以即第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵23线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算充分性：充分性：若若 设设 为矩阵为矩阵 的伴随矩阵的伴随矩阵.又因为所以有按逆矩阵的定义有3）可交换性：）可交换性：若若 （或（或 ），则），则证证所以因而 存在，于是证毕说明：该性质不仅说明了可逆的非奇异性，还诠释了一种用伴随矩阵求逆矩阵的方法第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵24线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算方阵

18、的逆矩阵满足下述运算规律方阵的逆矩阵满足下述运算规律（i）若若 可逆，则可逆，则 也可逆，且也可逆，且（ii）若若 可逆，数可逆，数0，则则 可逆，且可逆，且本定义说明，若AB=E，则AB=BA=E，即在逆矩阵定义中，只要满足AB=E或BA=E的一个，即满足定义。即A、B可交换，且交换乘积结果一致。3.逆矩阵的运算规律：逆矩阵的运算规律：（iii）若若 为同阶矩阵且均可逆，则为同阶矩阵且均可逆，则 亦可逆，且亦可逆，且证证即结论成立即结论成立第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵25线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算（iv）若 可逆，则 亦可逆，且证证所以有注

19、（注（1）：方阵的幂的拓展）：方阵的幂的拓展当 时，还可定义其中 k 为正整数。这样，当 ，均为整数时，有存在，（2）若若第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵26线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算例例1 求方阵求方阵逆矩阵逆矩阵.解解则 存在.所以教材例11根据求逆矩阵的定理，由根据求逆矩阵的定理，由此可见，求逆矩阵的运算此可见，求逆矩阵的运算量是很大的。这在后面还量是很大的。这在后面还有更好的办法可以解决。有更好的办法可以解决。三、逆矩阵的计算举例三、逆矩阵的计算举例第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵27线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵28线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵29线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵30线性代数线性代数 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第四讲第四讲 矩阵的运算与逆矩阵矩阵的运算与逆矩阵31