人教A版高中数学必修一第一章1.3.2函数的奇偶性课件.ppt

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1、1.3.2 函数的奇偶性直角坐标平面内的五种对称性：直角坐标平面内的五种对称性：观察下图，思考并讨论以下问题：观察下图，思考并讨论以下问题：(1)(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x|我们看到我们看到,这两个函数的图象都关于这两个函数的图象都关于y轴对称轴对称.那么那么,如何利用函数解析式描述

2、函数图象的这个特征呢如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢?从函数值对应表可以看到从函数值对应表可以看到,当自变量当自变量x取取一对一对相反数相反数时时,相应的相应的两个函数值相同两个函数值相同.实际上，对于实际上，对于R内内任意任意的一的一个个x，都有，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，这时我们称函数这时我们称函数y=x2为为偶函数偶函数.1偶函数的概念偶函数的概念:一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x，都有，都有f(-x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做偶函数偶函数 例如，函数 都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(

3、2)所示.偶函数必须具备偶函数必须具备两个条件：两个条件：思考：思考：性质性质:1、定义域关于原点对称；、定义域关于原点对称；变式：变式：反之也成立反之也成立.3、偶函数在对称的两个区间上具有、偶函数在对称的两个区间上具有相反相反的单调性的单调性;观察函数观察函数f(x)=x和和f(x)=1/x的图象的图象(下图下图)，你能，你能发发现两个函数图象有什么共同特征吗？现两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)我们看到我们看到,这两个

4、函数的图象都关于这两个函数的图象都关于原点对称原点对称.那么那么,如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢?从函数值对应表可以看到，当自变量从函数值对应表可以看到，当自变量x取取一对一对相反数相反数时，相应的时，相应的两个函数值也是一对相反数两个函数值也是一对相反数.实际上，对于实际上，对于R内任意的内任意的一个一个x，都有，都有f(-x)=-x=-f(x)，这时我们称函数这时我们称函数y=x为为奇函奇函数数.2奇函数的概念奇函数的概念:一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x，都有都有f(-x)=-f(x)

5、，那么，那么f(x)就叫做就叫做奇奇函数函数 注意：注意：1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的函数的奇偶性是函数的整体性质整体性质；2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则，则x也一定是定义域内的一个自变量（即也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关定义域关于原点对称于原点对称）3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若若f(x)为奇函数，则为奇函数，则f(-x)=-

6、f(x)也成立也成立.若若f(x)为偶函数，则为偶函数，则f(-x)=f(x)也成立也成立.4、如果一个函数、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我是奇函数或偶函数，那么我们就说函数们就说函数f(x)具有具有奇偶性奇偶性.奇函数必须具备奇函数必须具备两个条件：两个条件：思考：思考：性质性质:1、定义域关于原点对称；、定义域关于原点对称；变式：变式：反之也成立反之也成立.3、奇函数在对称的两个区间上具有、奇函数在对称的两个区间上具有相同相同的单调性的单调性;xy yxoo11xoy几类特殊函数的图象几类特殊函数的图象:yxyyxxooo111几类特殊函数的图象几类特殊函数的图象:思考题：思

7、考题：函数函数f(x)0 ,xR是奇函数还是偶函数是奇函数还是偶函数？是偶函数也是奇函数是偶函数也是奇函数xyof(x)=0 f(-x)=0=f(x)，f(x)=0是奇函数也是偶函数是奇函数也是偶函数.且且f(-x)=0=-f(x)复合函数的奇偶性复合函数的奇偶性:(在定义域的公共部分内在定义域的公共部分内)奇函数奇函数奇函数奇函数=奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数=偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数=非奇非偶函数非奇非偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数=偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数=偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数=奇函数奇函数例例5、判断下列函数的奇偶性：、判断下列函数的奇偶

8、性：(1)解：定义域为解：定义域为R f(-x)=(-x)4=f(x)即即f(-x)=f(x)f(x)为偶函数为偶函数.(2)解：定义域为解：定义域为R f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)即即f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数为奇函数.(3)解：定义域为解：定义域为x|x0 f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)即即f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数为奇函数.(4)解：定义域为解：定义域为x|x0 f(-x)=1/(-x)2=f(x)即即f(-x)=f(x)f(x)为偶函数为偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤：用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)先求定义域，看是否关于原点

9、对称；先求定义域，看是否关于原点对称；(2)再判断再判断f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒成立是否恒成立.课堂练习：课堂练习：1、判断下列函数的奇偶性：、判断下列函数的奇偶性：奇奇偶偶偶偶奇、偶奇、偶非奇非偶非奇非偶非奇非偶非奇非偶2、练习：判断下列函数的奇偶性、练习：判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x3，x-1,3 (2)f(x)=5，xR(2)解解:f(-x)=5=f(x)f(x)=5是偶函数是偶函数.(1)解：解：当当x=3时，时，f(3)=27,但但f(-3)不存在，不存在，不符合不符合函数奇偶性函数奇偶性定义定义 f(x)既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也

10、不是偶函数.f(x)oxy5解解:函数函数f(x)的定义域是的定义域是 x R|x0,f(x)是奇函数是奇函数.练习：练习：3、判断函数、判断函数 的奇偶性的奇偶性函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用:函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用:函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用:分析分析1：该题考查已知部分解析式求值，可先通：该题考查已知部分解析式求值，可先通过奇函数将过奇函数将所求所求的的“定义域中的值定义域中的值”转化为转化为已知已知的的“定义域中的值定义域中的值”，从而求得函数值，从而求得函数值.函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用:分析分析2：根据奇函数的定义，已知部分函数解析式，：根据奇函数的定义，已

11、知部分函数解析式，可先求出可先求出剩余部分剩余部分的解析式，进而求得函数值的解析式，进而求得函数值.函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用:函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用:函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用:函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用:数形结合数形结合周期性周期性:(1)周期函数周期函数:(2)最小正周期最小正周期:例题分析例题分析:几种特殊的具有周期性的抽象函数几种特殊的具有周期性的抽象函数:几种特殊的具有周期性的抽象函数几种特殊的具有周期性的抽象函数:函数的对称性函数的对称性:函数的对称性函数的对称性:分析：分析：本题主要考查了函数的奇偶性、周期性、函本题主要考查了函数的奇偶性、周期性、函

12、数图象的平移以及函数值的求解数图象的平移以及函数值的求解.首先根据函数的奇首先根据函数的奇偶性以及函数图象的平移确定函数解析式的特征，偶性以及函数图象的平移确定函数解析式的特征，推得函数具有周期性，然后求值推得函数具有周期性，然后求值.函数的性质与函数函数的性质与函数求值问题相结合是高考命题的热点，尤其是与函数求值问题相结合是高考命题的热点，尤其是与函数周期性的结合周期性的结合.奇函数的图像特征奇函数的图像特征函数y=x3的图像O一个函数一个函数是奇函数，是奇函数，则它的图则它的图象象关于原关于原点对称；点对称；反之也成反之也成立。立。结论结论:、奇函数的图象关于、奇函数的图象关于原点原点对称

13、；偶函数的图象对称；偶函数的图象关于关于y轴轴对称对称.、如果一个函数的图象、如果一个函数的图象关于原点对称关于原点对称，那么，那么 这这个函数是个函数是奇函数；奇函数；如果一个函数的图象如果一个函数的图象关于关于y轴对称轴对称，那么这个函数是，那么这个函数是偶函数偶函数.3、奇函数在对称区间有、奇函数在对称区间有相同相同的单调性的单调性.4、偶函数在对称区间有、偶函数在对称区间有相反相反的单调性的单调性.5、若一个奇函数的定义域为、若一个奇函数的定义域为R，则则f(0)=0.6、f(x)=0既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数.7、奇函数和偶函数加、减、乘是奇函数还是偶、奇函数和偶函数加

14、、减、乘是奇函数还是偶函数，看复合函数的奇偶性函数，看复合函数的奇偶性.2 2、性质、性质:奇函数的图象关于原点对称。偶函数的图象关于y轴对称。如果如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函一个函数的图象关于原点对称，那么这个函 数是奇函数数是奇函数。如果如果一个函数的图象关于一个函数的图象关于y y轴对称，轴对称，那么这个函那么这个函 数是偶函数数是偶函数。1、定义：、定义：对于函数对于函数f(x),在它的定义域内，把任在它的定义域内，把任 意一个意一个x换成换成x，（，（x,x都在定义域内）。都在定义域内）。如果都有如果都有f(x)=-f(x)，则函数，则函数f(x)叫做叫做奇函数奇函数,

15、如果都有如果都有f(x)=f(x)，则函数，则函数f(x)叫做叫做偶函数偶函数。小结：小结：ABDEA1B1C1D1E1COHxy例 已知函数 y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图所示，画出函数 y=f(x)在y轴左边的图象。OxyABCDEA1B1C1D1E1 练习：已知函数练习：已知函数 y=f(x)是奇函数，它在是奇函数，它在y轴右轴右边的图象如下图所示，画出函数边的图象如下图所示，画出函数 y=f(x)在在y轴左边轴左边的图象。的图象。OxyABCDEA1B1C1D1E1 练习：已知函数练习：已知函数 y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴右轴右边的图象如下图所示，画出函数边的图象如下图所示，画出函数 y=f(x)在在y轴左边轴左边的图象。的图象。本课小结本课小结1、两个定义：对于、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x,如果都有如果都有f(x)=-f(x)f(x)为奇函数为奇函数 如果都有如果都有f(x)=f(x)f(x)为偶函数为偶函数2、两个性质：、两个性质：一个函数为奇函数一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数一个函数为偶函数 它的图象关于它的图象关于y轴对称轴对称