第三章 函数极限.doc

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1、第三章 函数极限P.49 习题1按定义证明下列极限： 证 ，要，只需，于是，取，有，所以 证 ，因为，不妨设，于是，从而. 所以，取，有所以 证 ，设，要，只需，于是，取，有，所以 证 因为，于是. 从而，取，有，所以 证 因为. 所以，取，有，所以2根据定义2叙述解 ，3设，证明证 因为，所以，有. 当时，必有，从而，所以4证明：若，则. 当且仅当为何值时反之也成立？证 因为，所以，有. 而，所以.当且仅当为零时反之也成立.5证明：证 ）因为，所以，有. 于是当，也有，从而. 同样，当，有，从而也有.）设，于是，当，有，当，也有，从而当时，有.6讨论下列函数在时的极限或左、右极限： 解 ，所

2、以不存在. 解 ，所以不存在. 解 ，所以.7设，证明.证 ）因为，所以，有. 现在取，当时，有，于是，所以.8证明：对Riemann函数有，证 若，即为无理数时，那末由于此时，所以有. 若，那末由于是正整数，所以对于任意的，使（即）的值只可能是有限个，设为个，同时因为，从而以小于的正整数为分母的有理点也只可能是有限个，设为. 于是在中除了这有限个点之外，都使，从而对于中的任一点，任给的，取，那么由上面的讨论可知，当时，就有.P.53 习题1求下列极限：（3）（4）（5）（6）（7）（8）分子、分母同除以：. 2利用迫敛性求极限：（1）解 因为，并且，所以（2）解 因为，并且所以，. 3设，.

3、 证明：（1）（2）（3），（当 B0时）证明 因为，所以，分别存在，使得当时，有；当时，有. （1）证明. 取，于是当时，有所以. 同理可证：（2）因为，由P.48局部有界性定理3.3，知存在，使在有界. 即存在，当时，. 现在取，于是当时，有所以（3）因为，于是由P.48局部保号性定理3.4知，存在，当时，. 现在取，于是当时，有所以. 4设，试求. 解 ，于是5设，. 证明：，其中为正整数. 证明 因为，所以. （1）当 A = 0 时，由，可得，当时，有，于是，所以（2）当 A 0 时，因为，所以，当时，有，于是因此. 6证明 证明 先证：. ，若，则，因为，于是. 从而取，当时，有，

4、所以. 同理可证：. 因此. 7设，. （1）若在某内有，问是否必有？为什么？（2）证明：若，则在某内有. 证明 （1）不一定. 例如，设，在的任何邻域内，都有，但. （2）由，取，于是存在，当时，有，从而；由可知也存在，当时，有，从而. 取，于是当时，同时有，即在邻域内，有. 8求下列极限： 解 由P.50 例1，知. 令，于是9 证明：若存在，则. 若存在，试问是否成立?证明 设，则，当时，有. 取，当时，有，于是有，所以 不一定. 如, , 但不存在.P.57 习题1叙述函数极限的归结原则，并应用它证明不存在. 证明 对任何有取，则显然有，但所以不存在. 2设为定义在上的增（减）函数.

5、证明：存在的充要条件是在上有上（下）界. 证明 不妨设为定义在上的增函数. 充分性 假设在上有上界，由确界原理，存在，设. 下面证明：. ，由上确界的定义，存在，使得. 取，则由的递增性，对任何，有，另一方面，由于 A 是上确界，有，更有. 从而当时，有，即，所以. 必要性 设，取，存在，使得当时，于是. 又因为是定义在上的增函数，所以对任何，也有，从而在上有上界. 3（1）叙述极限的柯西准则；（2）根据柯西准则叙述不存在的充要条件，并应用它证明不存在. 证明 （1）存在的充要条件是：，对任何，有. （2）不存在的充要条件是：，存在，使得. 下面证明不存在：取，取，这里符号表示不超过最大整数.

6、 于是有，所以不存在.4设在内有定义. 证明：若对任何数列且，极限都存在，则所有这些极限都相等.证明 设任意的两个数列，满足，. 构造数列：，于是，由题设有存在. 从而作为的两个子列，必有相同的极限.5设为上的递增函数. 证明：和都存在，且，证明 仅证明存在及.先证在的空心左邻域中有上界. 设是的空心右邻域上任一点，因为为上的递增函数，所以，有，即是在的空心左邻域中的一个上界. 由确界原理，存在，设，下面证明：.，由上确界的定义，存在，使得. 取，当时，必有，则由的递增性，有，另一方面，由于 A 是上确界，有，更有. 从而当时，有，即，所以. 类似地可证存在，且解法2 在内任取严格递增数列,

7、（）, 则递增, 且有上界, . 故由单调有界定理, 收敛. 于是由归结原则知存在. 记，下面证明：.显然，有, 从而有. 另一方面, 由上确界的定义, , 存在, 使. 因为为上的递增函数, 所以. 由的任意性, 得. 从而.6设为狄利克雷函数，. 证明：不存在. 证明 （用柯西准则证明）取，由有理数及实数的稠密性，在中既有有理数，也有无理数，从中取有理数，取无理数，于是，从而，所以不存在. 解法2 （用归结原则证明）取有理数列，则. 再取无理数列，则, 所以不存在.7证明：若为周期函数，且，则. 证明 只需对任何实数，证明. 因为，所以，有. 设的周期为，则存在整数 n ，使得，从而. 即

8、，都有，所以.解法2 设的周期为，假设存在, 使得. 由题设, 有. 但是. 矛盾.8证明：设函数在点的某空心右邻域有定义，的充要条件是：对任何以为极限的递减数列，有P.60 习题1求下列极限：（1）（2）（3）令，则. （4）（5）（6）令，于是，（7）（8）（9）（10）2求下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）3证明： 证明 因为，所以（由于，故，从而）于是，从而4利用归结原则计算下列极限：（1）解 由于，所以由归结原则有（2）解 因为，所以解法2 P.68 习题1证明下列各式：（1）证明 因为，所以（2）证明 因为，所以（3）证明 因为，所以（4）证明 因为，所以（5）证明 因

9、为，所以（6）证明 由高阶无穷小量的定义有，于是，所以（7）证明 因为，所以2应用定理3.12求下列极限：（1）（因为，见p.58习题1（6） ）（2） （因为， ）4求下列函数所表示曲线的渐近线：（1） （2） （3）解 （1）因为，所以直线为垂直渐近线. 因为，所以直线为水平渐近线. （2）因为，所以直线为水平渐近线. 因为，所以直线为水平渐近线. （3）因为，所以直线，为垂直渐近线. 由于，所以有斜渐近线5试确定的值，使下列函数与当时为同阶无穷小量：（1） （2）（3） （4）解 （1）因为，于是，所以. （2）因为，于是，所以（3）因为所以（4），所以. 6试确定的值，使下列函数与当时

10、为同阶无穷大量：（1） （2） （3）解 （1），所以（2），所以（3），所以总练习题1解 令，2分别求出满足下述条件的常数与： 解 因为，所以当时，是比高阶的无穷大，于是，所以，. 解 由，知. 因为所以，于是， 解 由，知.因为所以，于是， 3试分别举出符合下列要求的函数： 解 不存在解 4试给出函数的例子，使恒成立，而在某一点处有. 这同极限的局部保号性矛盾吗？解 不矛盾，因为局部保号性，是由极限的符号来保证函数在某去心邻域内的符号.5设, , 在何种条件下能由此推出?证明 设, 且在某内, , 则. 由, , , , .由, 对上述, , , . 即, 注意到条件, 得, 于是有所以.

11、注 限制条件: “在某内” 不能缺少. 例如，令，. 则, 而, . 若在点A连续, 则不必有此限制条件.6设，试作数列 使得（），（）.解 ，则（），（）. 使得（），（）.解 ，则（），（）. 使得（），（）.解 ，则（），（）.7证明：若数列满足下列条件之一，则是无穷大数列： 证 设，则存在，使得当时，于是，而是无穷大数列，所以是无穷大数列. 证 设，则存在，使得当时，于是有，上述不等式两端分别相乘，可得，. 而是无穷大数列，所以是无穷大数列，从而是无穷大数列.8利用上题的结论求极限： 解 ，所以 解 设，则，所以，所以9设，证明 证明 因为，不妨设（），于是有，. 从而当时，有再由，知

12、存在，使得当时，. 因此取，当时，有所以(2) 若，则证明 由，知. 由P.40，总练习题3题的结论，有所以.10利用上题结果求极限： 因为，所以 因为，所以11设为内的递增函数. 证明：若存在数列且（），使得，则有证 先证在内有上界. 因为数列收敛，所以数列有上界，即存在，使得（）. ，因为（）所以存在数列中的一项，使得. 又因为内的递增函数，于是有，所以在内有上界.设，下面证明在的左极限. 由上确界的定义，有；，使得. 取，由的递增性，有，从而，所以.下面证明：. 因为是在内的上界，所以（），于是. 由上确界的定义，使得. 又因（），所以存在，当时，有，从而有. 又因，存在，当时，有. 取，当时，有，于是，所以. 因此.12设函数在上满足方程，且，证明：，证明 , 对任何自然数 n, 有, 所以13设函数在上满足方程，且，证明：，证明：，存在，使得当时，；存在，当时，. 对任何, 若, 则存在正整数, 使得, 于是, 从而有. 若, 同理可证也有.14设函数定义在上, 在每一个有限区间内有界, 并满足. 证明证明 由, , , , , 可表为其中 k 为非负整数, . 于是 因为在内有界, 故只要取充分大, 就能使下面两个不等式同时成立: , 另一方面, 由 式, 有 结合 , , 式, 得