数学分析第三章函数极限ppt课件.ppt

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1、2022-8-11第三章第三章 函数极限函数极限由由上章讨论知，数列实质就是一种特殊的上章讨论知，数列实质就是一种特殊的函数函数整标函数整标函数)(limlimnfxnnn )(lim,xfZxx .),(Nxnfxn 。可可得得到到函函数数极极限限的的概概念念就就从从特特殊殊推推广广到到一一般般或或只只需需将将这这里里的的,Nxn 1 函数极限的概念2022-8-12xyoxy1 yxoxyarctan 2 y2 y?, yx引例2022-8-13 当当x无限增大时，函数无限增大时，函数f(x)=arctanx无无限接近于限接近于 . 2/ ;)()(, 0任意小任意小表示表示AxfAxf

2、). xxXx充充分分大大（表表示示问题问题: 如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划 “无限增大无限增大”、“无限接近无限接近”?时函数的极限时函数的极限一、一、x 直观上，当直观上，当 x 无限增时无限增时),( x. 01无无限限接接近近函函数数xy 2022-8-14axfnfxZxxnnn )(lim )(limlim,由由 对任给定的对任给定的 0，都存在自然数，都存在自然数 N=N ( ) ，使得，使得当当 nN 时，恒有时，恒有 |xn-a|=|f(x)-a| X 时，时，恒有恒有 | f(x)-A|0，使得当，使得当 x- X 时，时，恒有恒有 | f(x)-A|0，使得当，使

3、得当 |x|X 时，时，恒有恒有 | f(x)-A|0，使得当使得当0 |x-x0| 时，时，恒有恒有 | f(x)-A|0,使得当使得当 0 x-x0 ( 即即x0 x x0+ ) 时，恒有时，恒有 | f(x)-A|0,使得当使得当 - x-x00 ( 即即x0 - x x0) 时，恒有时，恒有 | f(x)-A|0， .41 42- lim22 xxx.证毕证毕,|2|4|2-|41 42-|2 xxxx则则不妨设不妨设1,|2-| x故故3,|2| x,12|2-|41 42-|2xxx ,12|2-|41 42-|2 xxx，只只要要欲欲使使,12|2| x即即, 12 , 1min

4、 故故取取.|4142-|,|2|02 xxx有有当当1 31 x2022-8-126例例6 6 证明证明 .coscoslim00 xxxx 2022-8-127AC)20(, xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆于于是是由由xoBD,tan21xSAOC 证：证：xSAOBsin21 xSAOB21 扇扇，得得xxxtansin 时，时，当当0 x|sin|xx 准备知识准备知识 1 证证明：明：xx- )(sin有有xx sin即即,sin 2xxx 也有也有显然显然 . |sin| ,xxRx 有有故故,sin 0 xxx 有有故故,AOC的的切切线线得得三三角角形形作作单单位位

5、圆圆过过A AA2022-8-128.sincoscossin)sin(. 1 准备知识准备知识 2 两角和公式两角和公式2. cos()coscossinsin.31tantan. tan()tantan cossin22sin. 41cos2sin21sincos2cos. 52222 22cos1sin. 62 22cos1cos. 72 2022-8-129).sin()sin(cossin2. 1 准备知识准备知识 2 2 积化和差、和差化积积化和差、和差化积).cos()cos(coscos2. 2 ).cos()cos(sinsin2. 3 .2cos2sin2sinsin. 4

6、 .2cos2cos2coscos. 5 .2sin2sin2coscos. 6 2022-8-130例例6 证明证明 .coscoslim00 xxxx 证证00222|sinsin|xxxx|2sin|20 xx |2|20 xx |0 xx .|coscos|0, 000 xxxx，有，有当当取取故故.coscoslim00 xxxx 即即|sin|xx 222coscossinsin. 0|coscos|xx2022-8-131.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例7证

7、证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 xAxfAxfAxfxxxxxx )(lim, )(lim )(lim000 2022-8-132是是否否存存在在。判判断断设设 )( lim 3. 1 - 23; 1 )( 3xfxxxxxfx 4 ) 1 ( lim )( lim 0)-(3 0303 xxffxx 5 ) 1 (2 lim )( lim 0)(3 0303 xxffxx0)(3 0)-(3 ff有有不不存存在在。 )( lim 3xfx例例8解：解：2022-8-133,limnxnx 1lim nxnx例例9 证明：当证明：当n是任意整数时，是任意整数时

8、， 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo y=x证证 仅证第一式。仅证第一式。不妨设不妨设 nx0,), 0(Ar , 0 rA 取取 AxfxUx)(),(, 000有有rrAA )(同理可证同理可证A0的情况。的情况。2022-8-139四、不等式性四、不等式性定理定理4 4).(lim)(lim),()(),()(lim)(lim000000 xgxfxgxfxUxxgxfxxxxxxxx 则则有有都存在，且都存在，且和和设设 证证,)(lim ,)(lim00BxgAxfxxxx 设设.)(,0, 0, 0101 AxfAxx恒有恒有时时使

9、当使当.)(,0, 0, 0202 BxgBxx恒有恒有时时使当使当恒有，恒有，时时则当则当取取,0,min021 xx.)()( BxgxfA.2 BA即即.BA 的任意性，得的任意性，得由由 2022-8-140五、迫敛性（夹逼准则）五、迫敛性（夹逼准则）定理定理6 6.)(lim),()()(),(,)(lim)(lim0000AxhxgxhxfxUAxgxfxxoxxxx 则则有有且在某且在某 2022-8-141六、四则运算法则六、四则运算法则).(lim)(lim)()(lim 1 000 xgxfxgxfxxxxxx00000(), ( ), lim( ).xxxUxg xg x

10、其其中中).(lim)(lim00 xfcxcfxxxx特例都都存存在在，则则和和设设)(lim)(lim00 xgxfxxxx定理定理7 7).(lim)(lim)()(lim2000 xgxfxgxfxxxxxx0003lim( )( ) lim. ( )lim( )xxxxxxf xf xg xg x2022-8-142),()( xgxf 则则,)()(. 10发发散散收收敛敛，时时，设设当当xgxfxx 说明说明：仅仅可可推推广广到到有有限限项项；. 2不不能能参参加加运运算算。 . 3同数列极限需注意.0发散时，当xx2022-8-143例例1 1 计算下列极限：计算下列极限：23

11、21lim )1(4x xx)81221(lim )2(32x xx902070 x)15()58()63(lim )3( xxx解解)321)(2)(2()321)(2)(321(lim 2321lim )1(4x4x xxxxxxxx)321)(4()2)(921(lim 4x xxxx321)2(2lim 4x xx.34 2022-8-144)42)(2(12)42(lim 222x xxxxx)42)(2(82lim 222x xxxxx)42)(2()4)(2(lim 22x xxxxx424lim 22x xxx.21 902070 x)15()58()63(lim )3( xx

12、x902070 x)/15()/58()/63(lim xxx .583902070 )81221(lim )2(32x xx2022-8-145例例2 2 计算下列极限：计算下列极限：1lim )1(0 xxxxxlim )2(x 解解xx x 1- )1(时，时，当当0 x. 11-1 xxx1.1lim0 xxx由迫敛性，得由迫敛性，得,1110 xxxx 时，时，当当1.1lim0 xxx由迫敛性，得由迫敛性，得1.1lim 0 xxx综上综上xxx111-1 2022-8-146xxxlim )2( tx 1令令1lim 0ttt 1. tt11lim0t 2022-8-1473 函

13、数极限存在的条件函数极限存在的条件 Axfxx)(lim0一、归结原则一、归结原则 (Heine定理定理)定理定理8 8内有定义，则内有定义，则在在设设);(0 xUfo.)(lim,lim),;(00AxfxxxUxnnnnon 有且 2022-8-1480limxxnn .|, 00 xxNnNn有有, 0 特别对上述Axfxx )(lim0.|)(|,|0),(0, 00 Axfxx有有证证:.|)(| Axfn从而有从而有.)(limAxfnn 即即.|,0 xxNnNn有2022-8-149:,lim0 xxnn 已知已知Axfnn )(limAxfxx )(lim0若若.|)(|,

14、|0:, 0, 0000 Axfxxx但但则则, 依次取依次取.|)(|,|0:01011 Axfxxx使使则则,2 .|)(|,2|0:02022 Axfxxx使使则则,3 .|)(|,3|0:03033 Axfxxx使使则则,n (用反证法)2022-8-150满满足足这这样样我我们们得得到到数数列列,nx.|)(|, 0|000 Axfnxxnn但但,lim0时时这与已知条件这与已知条件xxnn )(limAxfnn 有有矛盾！矛盾！.)(lim0Axfxx 故故 .|)(|,|0:00 Axfnxxxnnn使使则则2022-8-151例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx,

15、11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn注注1归结原则是把函数极限问题归结为相应的数归结原则是把函数极限问题归结为相应的数列极限问题。列极限问题。,1,1,12nnnnxn 2022-8-152注注2若可以找到一个以若可以找到一个以x0为极限的数列为极限的数列xn，使，使不存在；不存在；)(limnnxf 或可以找到两个以或可以找到两个以x0为极限的数列为极限的数列xn1xn2，使，使);(lim)(lim21nnnnxfxf 不存在。不存在。则可以断定则可以断定)(lim0 xfxx2022-8-153xy1sin 例例1.1sinlim0不不存

16、存在在证证明明xx证证 ,1 nxn取取, 0lim nnx ,221 nxn取, 0lim nnx nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 2022-8-154例例2 证明证明不存在。不存在。xxsinlim 证证 22 ,22 nxnxnn取取,limlim nnnnxx, 1sinlim , 1sinlim nxnxxx但但不存在。xxsinlim 2022-8-155注注3 归结原则对归结原则对xx0+, xx0-, x+, x- , x,也成立，但对也成立，但对x

17、x0+, xx0-, x+, x- 有更强的形式。有更强的形式。定理定理9.)(lim,lim);()(lim);(0000AxfxxxUxAxfxUfnnnnonxxo 有且递减，内有定义，则在设 2022-8-156 证证:,)(lim 0Axfxx .|)(| , 0)(, 0 00 Axfxxx有有时，时，使当使当故故由于由于),( lim00 xUxxxonnn .,00 xxxNnNn时，时，使当使当，对上述对上述.|)(| Axfn从而，从而，,)(lim Axfnn :则则若若 ,)(lim 0Axfxx .|)(|, 0)(, 00000 Axfxxxx有有，：2022-8-

18、157;|)(|,:,01101011 Axfxxxx有有则则取取;|)(|),(:,2min02120202012 Axfxxxxxxx有有则则取取x0 xnx2x110 x;|)(|),(:,min010001 Axfxxxxxxxnnnnnnnn有有则则一般地，取一般地，取为极限。为极限。不以不以，但，但且且即存在单调递减的数列即存在单调递减的数列AxfxxxUxnnnon)(lim),;(00 矛盾！矛盾！2022-8-158同样有同样有定理定理91.)(lim,lim );()(lim);(0000AxfxxxUxAxfxUfnnnnonxxo 有有且递增，且递增，内有定义，则内有定

19、义，则在在设设 定理定理92.)(lim,lim ()()(lim)(AxfxUxAxfUfnnnnnx 有有减），减），且递增且递增内有定义，则内有定义，则在在设设2022-8-159).(inf)(lim)( )4()(000 xfxfxUfxUxxxoo 单调递减、有界，则单调递减、有界，则在在).(sup)(lim)( )3()(000 xfxfxUfxUxxxoo 单调递增、有界，则单调递增、有界，则在在二、单调有界定理（仅对二、单调有界定理（仅对4种单侧极限成立）种单侧极限成立）定理定理).(inf)(lim)( ) 1 ()(000 xfxfxUfxUxxxoo单调递增、有下界，

20、则在对于对于x时的单调有界定理，请同学叙述并证明。时的单调有界定理，请同学叙述并证明。).(sup)(lim)( )2()(000 xfxfxUfxUxxxoo 单调递减、有界，则单调递减、有界，则在在 )(,)(nnxfxxf2022-8-160 证证).(sup)(lim)( )3()(000 xfxfxUfxUxxxoo 单调递增、有界，则单调递增、有界，则在在,)(sup)(0AxfxUxo 设设,)(),(, 00 AxfxUxo使使, 00 xx 取取有有的递增性，的递增性，由由),;(),(00 xUxxxfo .)()( Axfxf另一方面，上确界是上界，故另一方面，上确界是上

21、界，故,)( AAxf.)(),;(, 0, 00 AxfAxUxo有有).(sup)(lim)(00 xfAxfxUxxxo 即即2022-8-161三、三、Cauchy 收敛准则收敛准则内有定义，则内有定义，则在在设设);()(0 xUxfo Axfxx)(lim0定理定理10.| )()(| ),;(, 0)(, 00 xfxfxUxxo有有2022-8-162 证证:，设设Axfxx )(lim0.2|)(|),;(),(0, 00 AxfxUxo有有| )()(| )()(|xfAAxfxfxf |)(|)(|AxfAxf .2|)(| ,2|)(|),;(,0 AxfAxfxUxx

22、o有有.|)(|)(| )()(| AxfAxfxfxf故故2022-8-163:.lim ),;(00 xxxUxnnon 且且 用归结原则。用归结原则。.)(lim存在且相等存在且相等要证要证nnxf .| )()(|),;(,),(, 00 xfxfxUxxo有有，得，得由由0limxxnn .| ,|, ,00 xxxxNnmNnm有有，对上述对上述),;(,0 xUxxonm 即即.| )()(| nmxfxf从而有从而有极限存在，极限存在，收敛准则，有收敛准则，有由数列的由数列的)(nxfCauchy.)(limAxfnn 记记2022-8-164.lim ),;(00 xyxUy

23、nnon 且且设设 极限存在，极限存在，则如上所证，则如上所证，)(nyf.)(limByfnn 记记.BA 现证现证nnnyxyxyxz,:2211考虑数列考虑数列.lim ),;(00 xzxUznnon 且且显然显然 极限存在，极限存在，则如上所证，则如上所证，)(nzf的两个子列，的两个子列，是是而而)()(),(nnnzfyfxf),(lim)(limnnnnyfxf .BA 即即2022-8-165,lim ),;(00 xxxUxnnon 且且这样就证明了这样就证明了 .)(lim存在且相等存在且相等有有nnxf 由归结原则，由归结原则，.)(lim0Axfxx 得得2022-8

24、-166注注1.| )()(|),;(, 0, 0)(lim0000 xfxfxUxxxfoxx使使不存在不存在注注2准则。准则。同样有同样有对对Cauchyxxxxxx ,00.| )()(|),(, 0, 0)(lim xfxfMxxMxfx有有存在存在如如2022-8-167例例4 证明证明不存在。不存在。xxcoslim 证证,22 ,2 nxnx取取, 0)(, 1)( xfxf则则, 1| )()(| xfxf于是于是.| )()(|),(,2, 0, 100 xfxfMxxMnM但但有有只要只要即对即对不存在。不存在。即即xxcoslim2022-8-168作业：作业：P55. 2 3 4