数学分析第三章极限与函数的连续性ppt课件.ppt

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1、为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益第三章第三章 极限与函数的连续性极限与函数的连续性为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益一一 割圆术：割圆术：刘徽（公元 3 世纪，魏晋时代，九章算术）利用圆内接正多边形来计算圆的面积，把正n边形的面积记为 Sn当 n 越来越大时，Sn 越接近于圆的面积。即：求圆的面积就要看当 n无限增大时，Sn 的变化趋势这就是数列的极限。11 极限问题的提出极限问题的提出如图所示,可知为了规范事业单位聘用关系，建立

2、和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益二二 瞬时速度瞬时速度 以前（中学）一般讨论平均速度：需以前（中学）一般讨论平均速度：需讨论一个运动的物体在某一时刻讨论一个运动的物体在某一时刻 t 的速度的速度（设为瞬时速度）（设为瞬时速度）的变化趋势，的变化趋势，思想：时间段思想：时间段 t,t+h上的平均速度上的平均速度 ，让时间段越来越小，让时间段越来越小，就越来越接近于就越来越接近于 v让让 h 无限变小，研究无限变小，研究这就是函数的极限。这就是函数的极限。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保

3、障用人单位和职工的合法权益2 数列的极限数列的极限 定义域为正整数的函数称为数列，记为xn即有xn 是数列的第 n 项，也叫做数列的通项。数列也可表示为为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益写出来就是 写出来就是 1，4，9，16，写出来就是 0，2，0，2，关心的是：当无限增大时，的变化趋势。写出来就是 写出来就是 例如例如为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益1、极限的概念=容易看出，当无限增大时，无限接近于0，因而的极限为0。=当的极

4、限也是 0。无限增大时，它的值时而为正，时而为负，但总的趋势仍然是无限的接近于0这个数，因此例例1例例2无限增大时，越变越小，无限的接近于1，因此的极限是1。=即当例例3为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益=并不无限接近一个常数，因此说它没有极限。当无限增大时，也无限增大，一个常数，因此也没有极限。它在0和2两个数中不停的跳动，前三个数列的特点：当无限增大时，的值无限地接近某个数 .例4，例5中的数列没有极限。“当无限增大时，无限接近于”是什么意思?例例5 5例例4 4也不是无限地接近为了规范事业单位聘用关系，建立

5、和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益以数列以数列为例：当为例：当无限增大时，无限增大时，无限接近于无限接近于0与与0可以任意接近，要多近有多近可以任意接近，要多近有多近可以任意小，要多小有多小可以任意小，要多小有多小总能小于总能小于任给一个正数任给一个正数，无论多么小，无论多么小，只要只要n足够大足够大(充分大充分大)无限用任意性无限用任意性来反映来反映为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益分别对分别对(只要只要n 10),0.001(只要只要n 1000)尽管尽管“

6、很小很小”，但毕竟是确定的数。要描述，但毕竟是确定的数。要描述可以任意小，必须对任意的（无论多么小）的正数都能做到，可以任意小，必须对任意的（无论多么小）的正数都能做到，才行。这也能够做到。从才行。这也能够做到。从可知只要可知只要即可。也就是说即可。也就是说 取取，当，当时，时，即从第即从第项以后的所有项都满足项以后的所有项都满足例：例：都可以做到都可以做到.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益综上：“当无限增大时，无限接近于0”的实质是：对任意给定的（无论它多么小），总存在一个正整数（例取），时，.将上面的语言抽

7、象化，有下面定义：正数当是一数列，是一实数，若对于任意给定的正数 ,存在正整数，当时，都有 ,则称 为数列收敛，且收敛于 ,记为 或的极限。或数列为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益没有极限的数列称为发散数列。的极限为 ”的几何意义“数列为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益（不一定去找满足要求的最小的 ）几点说明：几点说明：1.使用邻域概念：开区间称为的邻域，记为对任意给定的，存在，当时，定义中 必须具有任意性：这样才能保证与但为表明渐

8、近过程的不同阶段，又具有相对固定性。即是通过无限多个相对固定性表现出来的。的无限接近，的任意性这就是任意与固定的辨证关系。的某个函数也可有同样作用。3.2.定义中，自然数 不是唯一的。若存在满足要求，任一自然数都能起到的作用，则比大的所以强调自然数的存在性4.为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益下面看几个例子：证明 证明：对任意给定的，要使，只要.取,则当的极限为0.时，有故例例6为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益，证明证法1：若，结

9、论显然成立。故不妨设对任意给定的，不妨设，要使，即只要 ，令，则当时，有.这就证明了设证法2：由知存在，使得，从而 对任给的，要使，只要放大后的.因此取，则当时，有这就证明了 .不妨设例例7为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益极限为0的数列称为无穷小量。下面给出非常重要的定义：的极限为 的充要条件是：是无穷小量。值得注意的是,无穷小量是一数列,而不是一个很小的常数.由极限的定义显然有,以a为极限等价于数列以0为极限.我们把它写成下面的命题为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员

10、聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益从前面的例子可见，的过程，出发，看满足条件的是否存在。我们只要找到一个就可以了，不管用的是什么方法。适当放大到于是我们很容易找到当然放大要适当，要保证把放大后仍然是无穷小量。整个证明过程实际上是找采用的是反推法，即从证明2用的是适当放大法，它将为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益证明证明：若结论显然成立。.记，则 因此对任意给定的，不妨设，取，则当时，有最后设。这时存在使，因此由于，故对任意给定，存在，当时，有这样我们证明了当时，总有设例例8为了规范事业单位聘用关系，建立和完善

11、适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益证明证明：当时，对任意给定的，取则当即时，有例例9为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益2、极限的四则运算与性质寻找求极限的方法则 定理实际上说的是：极限运算和四则运算可以交换次序。设为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益给出收敛数列的两个性质：称数列有界，若存在正数对一切的成立，等价于：若存在，使得，又称分别为的下、上界。，使得为了规范事业单位聘用关系，建立和

12、完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益（有界性）有极限存在的数列必有界。若无界，则发散。证明设数列有极限a.由定义，对 则存在N,当，时有因此令则这就证明了是有界的。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益证明：由知对，存在N,当 nN时，有，从而证毕。（保号性）若，则存在N，当时，有 设若则存在，当时，有若则存在，当时，有证明：由知对存在当 时，有即有 为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益定理

13、3.1的证明：对任意，有任给，由及由定理3.2，知存在，使又知存在，当时，有并存在，当时，令则当时，有这就证明了有根据极限定义，为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益由，根据推论3.2，存在，当时，有从而当时，有已知由极限定义，对任意给定的存在，当时，有存在，当时，有为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益若，是常数，则若是无穷小量，是有界数列，则是无穷小量。由定理3.1知，无穷小量的代数和、积仍是无穷小量。令则当时，有这就证明了为了规范事业

14、单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 求解 因为，是有界数列，例例1010而所以为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益求解 例例1111更一般的，若是正整数，则为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 （保序性）若，且则存在当时，有（用定理3.3的证明方法）对，由知存在当时，有则有 又由 知存在，当时，有则有，则当时，有令，则 由定理 3.3 知,存在当时，有即 ，这又证明了

15、定理3.5 证法2证法1,令（用定理3.3的结论）取或如何?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益定理3.6（极限不等式）若对任意的正整数 n，有且则证明 用反证法。如果不然,设，当，与假设条件矛盾，故必有则由定理3.5，存在时,有如果条件注意到数列的前有限项并不影响数列的极限，因此定理3.6的条件可以减弱为“存在 ，当 时,有改为并不能得到的结论。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例如，可见结论也只能得到定理3.6表明，在极限存在的前

16、提下，可以在不等式两边取极限，但千万不要忘记“带上等号”。但为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益定理3.7（唯一性）若数列极限存在，则极限是唯一的证明用反证法。如果不然，设有极限a和b，不放设对，存在，当有时同样存在，当时有故当时，有这是不可能的，这就证明了极限的唯一性。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益定理定理3.8.夹迫性夹迫性证证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有故 为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济

17、体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例12设其中求证证明由于而由定理3.8即得为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例13证明证法1当时，令其中这时因此故已知由定理3.8得为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益时，由平均值不等式得 而由定理3.8得当证法2为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益（单调有界原理单调有界数列存在极限）(要证有极限

18、，到目前只能用定义才可能可行，然后再证这个数就是的极限.)单调上升有上界的数列必有极限。单调下降有下界的数列必有极限证明：设数列单调上升有上界一个合适的数如何确定?想到实数基本定理。故要先确定需要构造实数得一个分划：A|B为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益令B B是全体上界组成的集合，即取A=RB,则A|B是实数R的一个分划：事实上,不空：有上界，知B不空，又单调上升，故不是的上界,所以任取（往证 ),因 a不是的上界，所以存在使，又b为的一个上界，故，所以由，即A也不空由A=RB 知A，B不漏不漏：不乱：为了规

19、范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益根据实数基本定理，存在，使得对任意，有 下证任给（要证：，当时，）由于，即不是的上界，故存在N，使，又单调上升,所以当又，即为的一个上界，故对任意 n，有所以当时，有，即这就证明了为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益单调有界原理只断言极限存在，而没有给出如何求出极限。但即使只给出极限的存在性，有时已能提供计算的方法。设求的极限。例14解 显然单调上升，下面用数学归纳法证明有上界.若则,故从而必有极限。设极限

20、为a，由令，即得解得或由于，故必有。舍去故单调上升有上界，显然为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益注:上述例14中的数列是一个递推数列（迭代数列），一般定义在求此数列的极限时，极限存在性的前提是非常重要的。，它的极限不存在，但是它满足，令两边取极限，使得即最后看单调有界原理的一个重要结果，例如考察数列，这显然是荒谬的结论证明数列的极限存在.记这一极限为e，即例15证明见45页为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益注:前面从几个方面（特别是

21、定义）叙述的极限是 如何用肯定的语气叙述“不是以为极限”对照极限的定义，根据任意与存在的对应规则，逐步分解来找：对任给，存在N，当时，不成立存在某个不存在N，使当时，存在存在，满足但总之：存在，对任意的N，存在使不成立”?对任意的N，或“为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益无穷大量3、在发散的数列中，有一种特殊的数列 ：当无限增大时，也无限增大。例如：我们称这种数列为无穷大量，仿语言，有定量化的定义。定义 3.4设是一数列，若对于任意给定的G0，时，有 则称是无穷大量,或存在正整数N，当记为为了规范事业单位聘用关系

22、，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益从几何上看，无穷大量是指任意给定区间必然从某项起，后面的所有项都落在区间之外。换句话说，数列至多有N项落在区间之中。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益证明对任意给定的G0,不妨设G2，要使即,只要令，则当时，有，即是无穷大量.和的定义，分别称为正穷大量和负无穷大量.例16：是无穷大量。证明类似给出为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例17 证明

23、证明 对任意给定的 ，不妨设 ，要使 ，只要,取，则当时，有故非无穷大量的肯定叙述：使由此证明：1，0，2，0，3，0，,n，0,不是无穷大量。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益无穷大量的运算法则和性质：1、无穷大量和无穷小量的关系：是无穷大量当且仅当是无穷小量。2、若是正（负）无穷大量，则是正（负）无穷大量。3、若是无穷大量，是有界量，则是无穷大量。4、若是无穷大量，满足：存在N，当时，有，则是无穷大量。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例18 若，则证明 由，则存在，当时，有由，则对任意给定的，存在，当时，有令 则当时，有，所以例19证明由于，利用无穷大量和无穷小量的关系即得证。证明为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益综合上例：设时有