高考数学集合&函数精讲班讲义.doc

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1、新东方在线 优能中学 网络课堂电子教材系列 高考数学高考数学高考数学主讲：孟祥飞孟祥飞欢迎使用新东方在线电子教材新东方在线 优能中学 网络课堂电子教材系列 高考数学目录目录高考数学集合部分.1 高考数学函数部分.3新东方在线 优能中学 网络课堂电子教材系列 高考数学1高考数学集合部分高考数学集合部分1.集合元素的性质：集合元素的性质： 确定性 无序性 互异性 问题（问题（1）集合元素的互异性）集合元素的互异性 例题 1：已知 A=a+2，(a+1)2，a2+3a+3，若，求实数 a 的值。1 解：当 a+2=1 时，a=-1 当(a+1)2=1 时，a=-2 或 0 当 a2+3a+3=

2、1 时，a=-2 或-1 检验互异性，只有 a=0 时满足互异性，所以 a=0。 2.集合的表示方法集合的表示方法 列举法 描述法：点集、数集合 问题（问题（2）数集之定义域和值域）数集之定义域和值域 例题 2：x l y=x2y l y=x2， 定义域，值域和图像集合 问题（问题（3）数集之剩余类数集）数集之剩余类数集例题 3：A=x l ，k，B=x l ，k，判断 A，B 集合的关系。 = 4+ 2 = 4+ 2 方法一： A 集合可以看作一个角度集合，表示如下左图所示 8 条终边（与 90 间隔 45 取一条）。 B 集合也可以看作一个角度集合，表示如下右图所示 4 条终边（与 45

3、间隔 90 取一条）。所以显然。 方法二：将 A、B 集合条件部分通分变形，： =（ + 2） 4： =（2 + 1） 4已知 k 为整数，显然 k+2 依然为整数，而 2k+1 为奇数，。 例题 4：A=x l ，m，B=x l ，n，C=x l ，p， = +1 6 = 21 3 = 2+1 6 判断 A、B、C 之间的关系。解题思路：通分得 A：，B：，C：，由剩余类可得 B=C。注意除 6 余 1，6 + 1 63 2 63 + 1 6一定除 3 余 1，所以。 = 问题（问题（4）点集之非等价变形（去分母变形和平方变形）点集之非等价变形（去分母变形和平方变形）新东方在线 优能中学

4、网络课堂电子教材系列 高考数学2例题 5：全集 U=(x,y) l ，M=(x,y) l ，N=(x,y) l ，求, 3 2= 1 + 1。()解题思路：注意去分母的非等价变形！ 答案（2，3）例题 6：集合 M=(x,y) l ，N=(x,y) l y=x+a，若，求 a 的取值范围。 =16 2 解题思路：注意平方的非等价变形！由于 M 集合中 y 等于算术方根，所以 y0，得到 M 集 =16 22+ 2= 16(y 0)合表示上半园，而 N 集合直线斜率一定，由题意可得，M 和 N 有交点，作图易知 。 4,4 2问题（问题（5）点集之不等式点集）点集之不等式点集【2012 北京市朝

5、阳区一模理】 8.已知点集 A=(x,y) l x2+y2-4x-8y+160，B=(x,y) l yl x-m l+4，m 是常数，点集 A 所 表示的平面区域与点集 B 所表示的平面区域的辩解的交点为 M、N，若点 D(m,4)在点集 A 所 表示的平面区域内（不再边界上），则DMN 的面积的最大值是（ ）A.1 B.2 C. D.42 2答案：B 3.集合的运算集合的运算 问题（问题（6）集合）集合“交交”“”“并并”“”“补补”运算和逻辑关联词运算和逻辑关联词“且且”“”“或或”“”“非非”的联系应用。的联系应用。 例题 1：已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，() = 2,4

6、= 1，求 A，B。()()=7解题思路：此类型一直运算结果求集合元素，方法是使用文恩图！由题意可知：3，5，6 只能放在阴影中，所以 A=1,3,5,6,B=1,2,4。 例题 2：如图，I 表示全集，则阴影部分表示的集合是( )A. B.( ) ()() C. D.()() ( ) 答案：A、C，注意“交”“并”“补”和逻辑关联词“且”“或”“非”的对应！ 例题 3：设 U 为全集，S1，S2，S3是 U 的三个非空子集，且，则下列关系式正1 2 3= 新东方在线 优能中学 网络课堂电子教材系列 高考数学3确的是（ ）A. B.1 (2 3) = 1 (23)C. D.123= 1 (2

7、 3)答案：C。不在，且，且，所以为空集。123问题（问题（7）一直不等式数集关系求字母取值范围（两个问题：等号取舍和空集讨论）一直不等式数集关系求字母取值范围（两个问题：等号取舍和空集讨论） 例题 1：已知 A=x l x-1 或 x2 ，b=x l axa+1 ，若，求 a 的取值范围。 = 求范围注意等号是否可取！ 答案： 2 2 例题 2：已知 A=x l k+1x2k ，B=x l 1x3，（1）若，求 k 的取值范围， = （2）若，求 k 的取值范围。 = 解题思路：要求讨论 A 集合是否为空！分类如下：（空集情况） ，解不等式得 k 。 + 1 2 + 1 23 2问题（问题（

8、8）子集公式（集合元素有）子集公式（集合元素有 n 个，则子集有个，则子集有 2n） （2012 西城期末文）有限集合 P 种元素的个数记作 card(P)。已知 card(M)=10， ，且 card(A)=2，card(B)=3。若集合 X 满足，且，则集合 = X 的个数是（ ） 解题思路：采用间接构成法，减去和 B，由于重复减一次的，所以， , 答案：210-28-27+25高考数学函数部分高考数学函数部分1.函数的概念函数的概念 1)定义域定义域 问题（问题（1）定义域之自然定义域（求满足解析式有意义的）定义域之自然定义域（求满足解析式有意义的 x 的取值范围）的取值范围）求定义域（

9、1）y=log12(1 )解： 1-x0 x1 x10x-111 2(1 ) 01 2(1 ) 1 21问题（问题（2）抽象函数的定义域（把握口诀：）抽象函数的定义域（把握口诀：a 括号当中地位相同；括号当中地位相同；b 定义域指定义域指 x 取值范围）取值范围）例题 1：已知 y=f(x)定义域为1,2，求 y=f(2x)的定义域。+1 4思路：符合函数定义域问题 口诀：（1）括号里面地位相同 （2）定义域指 x 取值范围解题思路：1 2 +1 4 238 7 8例题 2：已知 y=f(x)的定义域为0,2，求 y=f(x)的定义域。 解题思路：0 2 2 2 2问题（问题（3）实际定义域）

10、实际定义域0 1）解题思路： 方法一：转化为均值不等式裂项： =2 1=2 1 + 1 1=( 1)( + 1)+ 1 1= + 1 +1 1凑定值： = 1 +1 1+ 2 2 + 2 4方法二：“换元法” ，令 t=x-1。 变形： 如果没有等限定条件 1解题思路： 判别法(x-1)y=x2xy-y= x2x2-xy+y=0=y2-4y0例题 2：，求函数的值域。 =32+ 4， 0新东方在线 优能中学 网络课堂电子教材系列 高考数学5解题思路： =32+ 4= 32+ 4= 312+ 4 = 31 +4 +4 2 4 = 40 0，2+ 3 + 1 解题思路：max(2+ 3 + 1)

11、 问题（问题（7）求值域之换元思想）求值域之换元思想 例题 1：（2010 北京）已知 f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx，求函数值域。 解题思路：换元转化二次函数 f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3cos2x-4cosx-1=3(cosx)2，xR2 37 3因为 cosx-1,1所以，当 cosx=-1 时 f(x)取最大值 6；当 cosx= 时，f(x)取最小值。2 37 3例题 2：（06 全国）ABC，求角 A 为何值时，cosA+2cos取最大值？ + 2解题思路：cosA+2cos=cosA+2cos=cosA+2sin =1-2s

12、in2A+2sin + 2 2 2 2令 t=sin ，可求 t，再求 A。 2例题 3：（09 全国 I）若，则函数 y=tan2xtan3x 的最大值？ 40, 1)mx+ny+1=0 上，又 mn0，求的最小值。1 +2 例题 3：（2010 宣武一模）若 A，B，C 为ABC 的三个内角，则的最小值为 4 +1 + 。 解：因为 A+B+C= ，所以令 A=x，B+C=y所以4 +1 + =4 +1 =(4+1 )1 =(4+1 )( + )1 =(5 +4 + )1 91=9 所以，最小值为 。9 问题（问题（12）均值不等式之因式分解（二次提取公因式）均值不等式之因式分解（二次提取

13、公因式） 例题：已知 a+ab+a=3(a,bR+)，求 a+b 的最小值。解答：a+ab+a=3b(1+a)+a=3b(1+a)+a+1=3+1(b+1)(a+1)=4a + b = (a + 1) + (b + 1) - 2 2 ( + 1)( + 1) 2 = 2 练习：a,b,c,dR+，a2+ab+ac+bc=4，求 2a+b+c 的最小值。3)解析式解析式 问题（问题（13）联立方程组求解析式问题）联立方程组求解析式问题 例题：（2011 湖北理）一直定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a0 且 a1)，若 g(2)=a，则

14、 f(2)=（ ）A.2 B. C. D.a215 417 4解：因为 f(x)+g(x)=ax-a-x+2，又 f(x)为奇函数、g(x)为偶函数 所以 f(-x)+g(-x)= a-x - ax +2 所以-f(x) +g(x)= a-x - ax +2 联立方程：f(x)+g(x)=ax-a-x+2 -f(x) +g(x)= a-x - ax +2则 2g(x)=4，g(x)=22f(x)= 2ax-2a-x f(x)= ax-a-x又 g(2)=a，所以 a=2 所以 f(x)= 2x-2-x所以 f(2)=41 4=15 42.函数图像的性质函数图像的性质新东方在线 优能中学 网络

15、课堂电子教材系列 高考数学81)奇偶性奇偶性对称性对称性2)周期性周期性 3)单调性单调性 问题（问题（14）函数的对称性和周期性的识别（和为定值为对称，差为定值为周期）函数的对称性和周期性的识别（和为定值为对称，差为定值为周期） f(x)满足：f(a+x)=f(b-x)函数关于轴对称 = + 2f(a+x)=-f(b-x) 函数关于中心对称( + 2,0)f(a+x)=f(x+b)周期 =| |f(a+x)=-f(x+b)周期 = 2| |问题（问题（15）二次对称形成周期）二次对称形成周期 f(x)关于 x=a 和 x=b 对称 = 2| | f(x)关于(a,0)和(b,0)对称 = 2

16、| | f(x)关于(a,0)和 x=b 对称 = 4| | 例题 1：（09 年全国 1）函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数，则（ ） A.f(x)是偶函数 B. f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数 解题思路：两次对称形成周期 由 f(x+1) 与 f(x-1)都是奇函数得到，函数 f(x)关于(1,0)和(-1,0)对称，所以二次对称推出函数具 有周期性，且周期为 4，而 f(x+3)正好由 f(x-1)平移四个单位可得，所以函数图像一致，所以 f(x+3)是奇函数。 例题 2：（05 年广东）函数 y=f(x)的定

17、义域为 R，且满足 f(2+x)=f(2-x)，f(7+x)=f(7-x)且在闭区 间0，7上只有 f(1)=f(3)=0，判断其奇偶性，并求 f(x)=0 在-2005，2005上根的个数。 解题思路：两次对称性形成周期，关于 x=7 对称可得0,10）根为 2 个，一共 802 根。 问题（问题（16）已知函数的性质求参数值（等式恒成立之一）已知函数的性质求参数值（等式恒成立之一） 例题 1：函数关于 x=2 对称,求 a。() = log2| 1|解题思路：i. f(0)=f(4)，a=0 或1 2ii. f(x)=f(4-x)a=0 或| 1|=|(4 ) 1|1 2iii. f(x)

18、=（a=0 时已证明成立）log2|( 1 )|1 = 2例题 2：（2011 辽宁文）若函数为奇函数，则 a=（ ）()= (2 + 1)( )A. B. C. D.11 22334例题 3：（2010 江苏）设函数 f(x)=x(ex+ae-x),xR，是偶函数，则实数 a 的值为 _。 问题（问题（17）等式恒成立之定值问题（整理为）等式恒成立之定值问题（整理为 xxx 变量变量+xxx=0 的形式，让变量系数为的形式，让变量系数为 0）例题 1：是否存在 a1=2 的等差数列，使得为定值。3 2新东方在线 优能中学 网络课堂电子教材系列 高考数学9解题思路：恒等式成立 解：由 a1=

19、2所以= 2 +( 1) 2设 3 2= 所以2 +( 1) 26 +3(3 1) 2 4 2(2 1) 2= 所以4 + ( 1) 4 + 5 = 所以4 + nd - d = 4 + 5 所以( 5) + 4 4 + = 0 由于不论 n 为多少等式成立，所以 5 = 0所以4 4 + = 0由于，d=0 或， =1 5带入，得或 d=4 = 1所以 d=0 或 d=4 = 1 =1 5问题（问题（18）等式恒成立之定点问题）等式恒成立之定点问题 例题 1：已知圆 C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线 L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，求证：直线与圆交于 两点。 解答：

20、 L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 (2x+y-7)m+x+y-4=0令 2x+y-7=0，x+y-4=0 解得 x=3,y=1 又点(3,1)在(x-1)2+(y-2)2=25 圆内，所以直线与圆交于两点。 问题（问题（19）单调性的比大小问题（随便给个）单调性的比大小问题（随便给个 f 不要着急带入）不要着急带入） 例题 1：（2009 天津理）已知函数 若 f(2-a2)f(a)，则实数 a 的取值范围 是（ ） A. B.(-1,2)( , 1) (2, + )C.(-2,1) D. ( , 2) (1, + )答案：C 练习 1：（2011 丰台一模理 6）已知函数 若

21、 f(2-x2)f(x)，则实数 x 的取值 范围是（ ） A. B.( , 1) (2, + ) ( , 2) (1, + )C. (-1,2) D.(-2,1)答案：Df(x)= x2+4x,x0， 4x-x2,x0f(x)= x3,x0， ln(x+1),x0新东方在线 优能中学 网络课堂电子教材系列 高考数学10例题 2：， （1）f(0)=？， （2）fx(x-1) ,求 x 的取值范围。()=1 + 2+ 1 1 + 1 2问题（问题（20）分段函数的单调性问题（保持两段函数也要单调）分段函数的单调性问题（保持两段函数也要单调） 例题 1：（2006 北京理） 如果 f(x)在

22、R 上是减函数，求 a 的取值范围。解题思路：3a-10 a1 30a1 0a1 1 71 33a-1+4a alog11 7问题（问题（21）关于凹凸性图像和）关于凹凸性图像和的理解问题的理解问题(1+ 22),(1)+ (2)2例题 1：（2005 北京）对于函数 f(x)定义域中任意的 x1，x2（x1x2） ，有如下结论：f(x1+x2)=f(x1)f(x2) f(x1x2)=f(x1)+f(x2)0(1) (2)1 2(1+ 22)(1)+ (2)2当 f(x)=lgx 时，上述结论中正确结论的序号是 。练习：（2012 年东城二模）已知函数 f(x)=，给出下列命题：1 2若 x1

23、，则 f(x) 1 若 0x1x2，则 f(x2)-f(x1) x2-x1 若 0x1x2，则 x2 f(x1) x1 f(x2)若 0x1x2，则,(1)+ (2)2(1+ 22)其中，所有正确命题的序号是 。 答案：（1） （4） 3.初等函数初等函数问题（问题（22）高中几个重要函数的图像）高中几个重要函数的图像反比例函数： = ( 0)指数函数： = ( 1,0) 对数函数：y = log( 1,0)幂函数： = ( 1, 0)f(x)= (3a-1)x+4a,x1，,x1log新东方在线 优能中学 网络课堂电子教材系列 高考数学11对钩函数： = +1 4.函数图像的变形函数图像的

24、变形 问题（问题（23）关于对数图像的平移变形（善于利用公式变形）关于对数图像的平移变形（善于利用公式变形）例题 1：（2009 北京）为了得到函数的图像，只需把函数 y=lgx 的图像上所有的 = + 310点（ ） A. 向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B. 向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C. 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D. 向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 答案：C练习：为了得到函数的图像，可将函数的图像上所有的点（ ） = log2 1 = log2A. 纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再

25、向右平移 1 个单位长度1 2B. 纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向左平移 1 个单位长度1 2C. 横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 1 个单位长度 D. 横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向右平移 1 个单位长度 答案：A 问题（问题（24）关于正余弦图像的平移变形（和诱导公式结合考察）关于正余弦图像的平移变形（和诱导公式结合考察）例题 1：从平移至 = sin(2 + 3) = cos(2 3)解：有诱导公式 sin( + 2) = cos得 = cos(2 3) = sin(2 3+ 2) = sin(2 + 6)从到 = sin(2 + 3) = s

26、in(2 + 6)2x 共减 ，则 x 减少，故右移。 6 12 12问题（问题（25）图像的对称变形与函数的对称性（一个是一个函数的图像性质，一个是两个图像）图像的对称变形与函数的对称性（一个是一个函数的图像性质，一个是两个图像 的变形）的变形） f(1-x)=f(1+x)函数 f(x)关于 x=1 对称例题 1： y=f(1-x)和 y=f(1+x)，关于 对称？ 解：由 y=f(x)关于 y 轴对称变形，得 y=f(-x) 而 y=f(x)到 y=f(1+x)为向左移 1 个单位y=f(-x)到 y=f(1-x)为向右移 1 个单位 所以 y=f(1-x)和 y=f(1+x)依然关于 y

27、 轴对称。 问题（问题（26）绝对值变形）绝对值变形 作图 1： =| 给整体添加绝对值为“下翻上” ，给 x 添加绝对值为“右对左”变为一个偶函数新东方在线 优能中学 网络课堂电子教材系列 高考数学12例题 1：已知 0a1，则方程的实数根的个数为（ ）|=|log|A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.1 个或 2 个或 3 个 答案：B 问题（问题（27）指对数的底数和图像的关系（口诀：单调递增时，越大越靠近轴，单调递减时，）指对数的底数和图像的关系（口诀：单调递增时，越大越靠近轴，单调递减时， 越小越靠近轴）越小越靠近轴） 例题 1：设方程，的根分别是 a，b，c，则 。x + l

28、og2 = 2x + log3 = 2x + log2 = 1例题 2：恒成立，求 a 的取值范围。2log， (0,1 2)解：如图：首先若要大于，则需要单调递减，即 0a1， = log = 2当过（）时为临界，代入（） = log1 2,1 41 2,1 4则1 4= log1 21 4=1 2 =1 16利用口诀：单调递减越小越靠近 x 轴 如果要大于，则需远离 x 轴 = log = 2所以，又 0a1， 1 16所以 1 16,1)问题（问题（28）指对数的比较大小问题（利用整数隔开，放大，和对数的换底公式取倒数比较）指对数的比较大小问题（利用整数隔开，放大，和对数的换底公式取倒数

29、比较） 例题 1：已知，则 a，b，c 的大小关系是（ ） = log20.3 = 20.1 = 0.21.3A. abc B. cab C. acb D. bca 答案：C（整数隔开法） 解题思路：log20.3log21 = 020.120= 100.21.30.20= 1新东方在线 优能中学 网络课堂电子教材系列 高考数学13例题 2：（2011 重庆文(6)）设，则 a，b，c 的大小关系是 = log131 2 = log122 3 = log34 3（ ） A. abc B. cba C. bac D. bca 答案：B（最后需要放大） 解题思路： = log131 2= log

30、 3 12 1= log32 = log122 3= log 2 13 2 1= log23 2 = log34 3显然，排除 A，Clog32log34 3又 = log23 2= log23 log22 = log23 1 = log34 3= log34 log33 = log34 1而 2log23 = log293（放大法）2log34 = log3163所以 ，bclog23log34例题 3：（2010 年全国 I）设，b=ln2，则（ ）a = log32 = 51 2A. abc B. bca C. cab D. cba答案：C（利用取倒数比较）log =1 log解题思路：

31、， =1 log23 =1 log2 =15又因为 ，都小于 2，log23log2log23和log252所以 5log23log2所以 cab 问题（问题（29）两种不同的分段函数）两种不同的分段函数例题 1：解题思路：按谁大取值，可得粗线图像为 f(x)分段函数，不难发现值域为 22,1sinx，sinxcosx cosx，sinxcosxf(x)= ，求值域。 新东方在线 优能中学 网络课堂电子教材系列 高考数学145.函数图像的应用函数图像的应用 问题（问题（29）图像的应用之等式和零点）图像的应用之等式和零点例题 1：（2011 海淀二模）函数的零点所在区间（ ）f()= log

32、2 1 A. B. C.(1,2) D.(2,3)(0,12)(12,1)答案：C（一个图像端点异号） 例题 2：（2012 北京文理）函数的零点个数为（ ）()= 1 2 (12)A.0 B.1 C.2 D.3答案：B（两个函数交点） 例题 3：（2011 北京理）已知函数 ，若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同 的实根，则实数 k 的取值范围是 。 答案：（0,1） 例题 4：已知函数 f(x)的定义域是 R，满足 f(x+2)=f(x)，当时，f(x)=，求方程 f(x) 1,1)|x|=lgx 根的个数？，x22 (x-1)3，x2f(x)= ，x01 ( )x，x01 3f(

33、x)= 新东方在线 优能中学 网络课堂电子教材系列 高考数学15问题（问题（30）图像的应用之不等式）图像的应用之不等式例题 1：（2009 北京）若函数 ，则不等式的解集为 |()|1 3。 答案： -3x1（画图两根间大于 1/3） 练习：（2011 辽宁理）设函数 ，则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是 （ ）A.-1,2 B.0,2 C.1,+ D. 0,+答案：D 例题 3：（2010 朝阳一模）设 minp，q表示 p，q 两者中较小的一个，若函数 f(x)=，则满足 f(x)1 的 x 的取值范围（ ）3 1 2log2log2A.(0,2) B. (0,+) C.(0,2) (16, +) D.(,+)1 16 答案：C 问题（问题（32）图像的应用之最值）图像的应用之最值 例题 1：（2012 年北京市西城区高三一模 13）已知函数 ，其中 c0，那么 f(x)的零点是 ，若 f(x)的值域是，则 c 的取值范围是 1 4,2。 答案：0，-1；(0,4 例题 2：（2012 北京市石景山区一模理）设函数 的最小值为-1，则实数a 的取值范围是 。答案： 1 2, + )，x121 ，x11 - log2f(x)= ，0xc1 2x2+x，-2x0f(x)= -x+a，x1 2，xlog21 2f(x)=