全国2011年中考数学试题分类解析汇编-专题31直角三角形与勾股定理.doc

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1、t全国2011年中考数学试题分类解析汇编(181套）专题31：直角三角形与勾股定理一、选择题1.（浙江金华、丽水3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为A、600mB、500m C、400m D、300m【答案】 B。【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，由于BCAD，那么有DAE=ACB，由题意可知ABC=DEA=90，BA=ED，利用AAS可证ABCDEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC=，从而可求得CE=ACAE=200。根据图可知从B

2、到E的走法有两种：BAAE=700；BCCE=500。最近的路程是500m。故选B。2. （辽宁本溪3分）如图，在RtABC中，C90，AB10，BC8，DE是ABC的中位线，则DE的长度是 A、3 B、4 C、4.8 D、5【答案】A。【考点】勾股定理，三角形中位线定理。【分析】由在RtABC中，C90，AB10，BC8，根据勾股定理即可求得，又由DE是ABC的中位线，根据三角形中位线等于第三边一半的性质，求得。故选A。3（辽宁丹东3分）如图，在RtACB中，C=90，BE平ABC，ED垂直平分AB于D，若AC=9，则AE的值是A B C6 D4【答案】C。【考点】角平分线的定义，线段垂直平

3、分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】由角平分线的定义得到CBEABE，再根据线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得到EAEB，则AABE，可得CBE30，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE2EC，即AE2EC，由AE+ECAC9，即可求出AE6。故选C。4.（黑龙江龙东五市3分）在ABC中，BC:AC:AB=1:1:，则ABC是 A、等腰三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形 【答案】D。【考点】等腰直角三角形的判定，勾股定理逆定理。【分析】根据题意设三边分别为k、k、 k，则，根据勾股定理的逆定理可判定三

4、角形为直角三角形，又有BCAC，所以三角形为等腰直角三角形。故选D。5. （江苏常州、镇江2分）如图，在RtABC中，ACB90，CDAB，垂足为D。若AC=，BC=2，则SinACD的值为 A B C D【答案】A。【考点】直角三角形的性质, 锐角三角函数，勾股定理。【分析】在RtABC中，ACB90，AC=，BC=2，根据勾股定理，得AB。又由直角三角形两锐角互余的性质，得ACD90AB，SinACDSinB。故选A。6.（广东台山3分）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用X、Y表示直角三角形的两直角边（XY），请

5、观察图案，指出以下关系式中不正确的是A、X2Y249 B、XY2 C、2XY449 D、XY13【答案】D。【考点】勾股定理，代数式变形。【分析】A、由勾股定理可知，X2Y249成立，选项正确。 B、因为小正方形的面积为4，因此边长2。从图中可知直角三角形的两直角边之差等于小正方形的边长，即XY2，选项正确。 C、由B有X22XYY222，即492XY4，即2XY449，选项正确。 D、因为（XY）2X22XYY2X2Y22XY494594，所以XY，因此选项错误。故选D。7.（广东肇庆3分）已知正六边形的边心距为，则它的周长是 A6 B12 CD 【答案】B。【考点】正六边形的性质，勾股定理

6、。【分析】根据正六边形每一边所对的圆心角是600的性质，AOB=300，所以AB=1，它的边长是2，它的周长是12。故选B。8.（湖北黄石3分）将一个有45角的三角板的直角顶点放在一张宽为3c的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30角，如图，则三角板的最大边的长为 A. B. C. D. 【答案】D。【考点】含300角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理。【分析】过点C作CDAD，CD=3。在直角三角形ADC中，CAD=30，AC=2CD=23=6。 又三角板是有45角的三角板，AB=AC=6。BC2=AB2+AC2=62+62=7

7、2，BC=。故选D。9.（四川攀枝花3分）如图，在直角三角形ABC中，C=90，AB=10，AC=8，点E、F分别为AC和AB的中点，则EF= A、3 B、4 C、5 D、6【答案】【考点】三角形中位线定理，勾股定理。【分析】直角三角形ABC中，C=90，AB=10，AC=8，BC=。点E、F分别为AB、AC的中点，EF是ABC的中位线。EF=BC=6=3。故选A。10.（四川遂宁4分）如图：在ABC中，ACB=90,CDAB于点D，下列说法中正确的个数是ACBC=ABCD AC2=ADDB BC2=BDBA CD2=ADDBA1个 B2个 C3个 D4个【答案】C。【考点】直角三角形的性质，

8、相似三角形的判定和性质。【分析】由ADCABC，得AC：AB=DC：BC，即ACBC=ABCD，成立；由ADCABC，得AC：AB=AD：AC，即AC2=ADABADDB，不成立；由CBDABC，得BC：BA=BD：BC，即BC2=BDBA，成立；由ACDCBD，得CD：BD=AD：CD，即CD2=ADDB，成立。故选C。二、填空题1.（浙江温州5分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=1

9、0，则S2的值是【答案】。【考点】勾股定理的应用。【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系，从而利用勾股定理求出各边之间的关系，得出答案：图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，CG=NG，CF=DG=NF。S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CGDG=GF2+2CGDG，S2=GF2，S3=（NGNF）2=NG2+NF22NGNF。S1+S2+S3=10=GF2+2CGDG+GF2+NG2+NF22NGNF=3GF2。S2的值是：。2.（辽宁抚顺3分）如图所示，DE为ABC的中位线，点F在DE上，且AFB90，若AB5，BC8，则EF的长为 _【

10、答案】。【考点】三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线的性质。【分析】由于DE为ABC的中位线，BC8，从而根据三角形中位线平行于第三边并且等于第三边一半的性质，得DE4；又由于AFB90，点D为AB的中点，AB5，从而根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，得DF。因此EFDEDF4。3.（吉林长春3分）如图，在ABC中，B=30，ED垂直平分BC，ED=3则CE的长为 【答案】6。 【考点】线段垂直平分线的性质， 含30度角的直角三角形的性质。 【分析】由ED垂直平分BC，即可得BE=CE，EDB=90，又由直角三角形中30角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长：BE=2DE

11、=6，CE=6。4.（黑龙江哈尔滨3分）如图，在RtABC中，ACB=900，点D是斜边AB的中点，DEAC， 垂足为E，若DE=2，CD=，则BE的长为 【答案】4。【考点】三角形中位线定理，勾股定理， 【分析】由点D为AB的中点，DEAC，DE=2，由求得BC=4，在RtCDE中由勾股定理求得CE=4，在RtCEB中由勾股定理求得BE=4。5.（黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分）已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm，第三边上的高为10cm，则此三角形的面积为 【答案】 cm2。【考点】勾股定理。【分析】考虑两种情况，一种为锐角三角形，一种为钝角三角形，然后根据勾股定

12、理求得第三边，从而求得三角形面积。由题意作图，则设AB30cm，AC20cm， AD10cm。 当三角形为锐角三角形时，C在RtABD中应用勾股定理，得BD= cm，同理得CD=10 cm，则 cm2。当三角形为钝角三角形时，同样可得BD cm，CD=10 cm，则 cm2。6.(湖南湘西3分) 如图，在RtABC中，C=90，若BC=3，AC=4，则AB的长是 .【答案】5。【考点】勾股定理。【分析】在直角ABC中，C=90，AB为斜边，则AB2=BC2+AC2，BC=3，AC=4，AB= BC2+AC2=5。7. (江苏无锡2分 )如图，在RtABC中，ACB=90，D、E、F分别是AB、

13、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF= cm【答案】5。【考点】三角形中位线性质和直角三角形性质。【分析】根据三角形中位线等于第三边一半的性质和直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，直接得出结果：EF=。8.（广东佛山3分）在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB=OB=4，则AD= ；【答案】。【考点】矩形的性质，勾股定理。C【分析】如图，应用勾股定理得。9.（广东肇庆3分）在直角三角形ABC中，C=90，BC=12，AC=9，则AB=_【答案】15。【考点】勾股定理。【分析】根据勾股定理，直接得出结果：。10.（江西省B卷3分）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示

14、,1+2= 度.【答案】90。【考点】对顶角的性质，直角三角形两锐角的关系。【分析】如图，根据对顶角相等得到1=3，2=4，而三角形尺为直尺，由直角三角形两锐角互余的性质，即可得到1+2=90。11.（四川巴中3分）直角三角形的斜边长为l3，一直角边长为12，另一直角边长是方程的根，则的值为 【答案】。【考点】勾股定理，方程的根和解一元一次方程。【分析】由勾股定理可得直角三角形的另一直角边长5，代入得。12.(四川德阳3分)如图，在直角三角形ABC中，C=90，AC=12BC=16，点O为ABC的内心，点M为斜边AB的中点，则OM的长为 【答案】。【考点】三角形内心的性质，勾股定理，全等三角形

15、的判定和性质，正方形的判定和性质。【分析】如图，作三边的垂线并连接AO，设AD=。 C=90，AC=12BC=16，由勾股定理，得AB=20。 点O为ABC的内心，AE=AD，CE=CF，BD=BF。 则AE=AD=，CE=CF=12， BF=16（12）=4，又BD=20，4=20，=8。AD=8，OD=OE=OF=CE=128=4。又点M为斜边AB的中点，AM=10，DM=108=2。RtODM中，由勾股定理，得OM=。13. （江西省A卷3分）如图所示，两块完全相同的含30角的直角三角板叠放在一起，且DAB=30有以下四个结论：AF丄BC；ADGACF；O为BC的中点；AG：DE= ：4

16、，其中正确结论的序号是 【答案】。【考点】含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】两块完全相同的含30角的直角三角板叠放在一起，且DAB=30CAF=30，GAF=60，AFB=90，AF丄BC正确；AD=AC，DAG=CAF，D=C=60，ADGACF正确；ADGACF，AG=AF，AO=AO，AGO=AFO=90，AGOAFO，OAF=30，OAC=60，AO=CO=AC，BO=CO=AO，O为BC的中点正确；假设DG=x，DAG=30，AG=x，GE=3x，AG：DE=：4正确。故答案为：。14.（新疆自治区、兵团5分）如图，ABC是等边三角形，AB4cm

17、，则BC边上的高AD等于_ cm【答案】K。【考点】等边三角形的性质，勾股定理。【分析】ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，BAD=30。在RtABC中，AB=4，BD=2。AD=。15.（贵州遵义4分）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC，则ABC中BC边上的高是 【答案】。【考点】勾股定理，等腰三角形的性质。【分析】根据网格的特点和勾股定理，可得AB=AC=，BC=。过点A作ADBC，垂足为点D，则根据等腰三角形三线合一的性质，得BD=。在RtABD中应用勾股定理，得AD=。三、解答题1.（北京5分）如图，在ABC中，ACB=90，D是B

18、C的中点，DEBC，CEAD，若AC=2，CE=4，求四边形ACEB的周长【答案】解：ACB=90，DEBC，ACDE。 又CEAD，四边形ACED是平行四边形。 DE=AC=2。 在RtADE中，由勾股定理得。 D是BC的中点，BC=2CD=4。 在ABC中，ACB=90，由勾股定理得。 D是BC的中点，DEBC，EB=EC=4 四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2。【考点】平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质。【分析】先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长。2.(湖南湘西

19、6分)如图，在ABC中，ADBC，垂足为D，B=60，C=45.（1）求BAC的度数。（2）若AC=2，求AD的长。【答案】解: (1)BAC=1806045=75(2) ADBC。ADC是直角三角形,又C=45, AD=DC根据勾股定理，得2AD2=AC2，即2AD2=4，AD=。【考点】三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可推出BAC的度数。（2）由题意可知AD=DC，根据勾股定理，即可推出AD的长度。3.（山东济南4分）如图，在ABC中，C90，ABC30，ACm，延长CB至点D，使BDAB求D的度数；求tan75的值【答案】解：

20、BDAB，ABC30，DABC3015。 在ABC中，C90，ABC30，ACm， AB2m，CB。 由知DAC75。 在ADC中，C90，DAC75 ，ACm，CD， tan75tanDAC。【考点】三角形外角定理，等腰三角形的性质，30 角直角三角形的性质，勾股定理，正切函数的定义。【分析】应用三角形的外角等于和它不相邻的两内角之和的定理，等腰三角形底角相等的性质得出结果。 要求tan75，由知只要求tanDAC，根据正切函数的定义只要求出它的对边和邻边即可，它们可由已知和30 角直角三角形的性质，勾股定理求出。4.（四川广安10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长 【答案】解：如图，在RtABC中，AC=8m，BC=6m，AB=10m，（1）当AB=AD时，CD=6m，ABD的周长为32m。（2）当AB=BD时，CD=4m，AD=m，ABD的周长是（20+）m。（3）当DA=DB时，设AD=x，则CD=x6，则，。ABD的周长是m，答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或 20+ m或m。【考点】直角三角形和等腰三角形的性质，勾股定理。【分析】分AB=AD，AB=BD，DA=DB三种情况讨论即可。