结构力学结构力学结构力学 (47).pdf

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1、矩阵位移法矩阵位移法9-1 概述概述9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系）单元刚度矩阵（局部坐标系）9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）单元刚度矩阵（整体坐标系）9-4 连续梁的整体刚度矩阵连续梁的整体刚度矩阵9-5 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵9-6 等效节点荷载等效节点荷载9-7 矩阵位移法的计算步骤矩阵位移法的计算步骤09课程回顾9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系）1、一般单元指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量。1 12E，A，Ilxye单元编号杆端编号局部坐标系课程回顾杆端位移的正负号规定1 12 21u1v122u2v1 12 21xF1yF

2、1M2M2xF2yF杆端力的正负号规定课程回顾1(1)(2)1(3)1(4)2(5)2(6)2eexyexyFFFFFMFFFFFM=F1 12 21u1v122u2v1 12 21xF1yF1M2M2xF2yF单元杆端位移向量单元杆端位移向量单元杆端力向量单元杆端力向量(1)1(2)1(3)1(4)2(5)2(6)2eeeuvuv=数码加上括号，作为局部码的标志；符号加上横杠，作为基于局部坐标系的标志。课程回顾112()xEAFuul=单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时所建立的方程1u1v12u2v21xF1yF2xF2yF2M1M212()xEAFuul=112122426()E

3、IEIEIMvvlll=+212122246()EIEIEIMvvlll=+1121223612()()yEIEIFvvll=+2121223612()()yEIEIFvvll=+课程回顾113232122232322222000012612600646200000012612600626400exyxyFEAEAllFEIEIEIEIllllEIEIEIEIMllllEAEAFllEIEIEIEIllllFEIEIEIEIllllM=111222eeuvuveee=Fk 单元刚度方程单元刚度方程用来表示杆端力与杆端位移之间的物理关系F 局部坐标系的单元刚度矩阵局部坐标系的单元刚度矩阵课程回顾

4、1、单元坐标转换矩阵yx1M2Myx1Fy2Fy1Fx2Fx1111111122222222cossinsincoscossinsincosxxyyxyxxyyxyFFFFFFMMFFFFFFMM=+=+=+=+=9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）课程回顾得到单元杆端力（整体坐标系）与单元杆端力（局部坐标系）111111222222cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos0000001eexxyyxxyyFFFFMMFFFFMM=课程回顾T单元坐标转化矩阵ee=FTF1）T为正交矩阵1T=TTTT=TT TII为与T同阶的单位矩阵ee=FTFe

5、e=FT Fee=TTee=T 3）单元杆端位移在两种坐标系中的转化关系：2）单元杆端力在两种坐标系中的转化关系：课程回顾2、整体坐标系中的单元刚度矩阵1）单元杆端力与杆端位移在局部坐标系中的关系式eee=Fk 2）单元杆端力与杆端位移在整体坐标系中的关系式eee=Fk eee=TFk TTeee=FT k TTee=kT k Teee=Fk ee=FTFee=T课程回顾矩阵位移法矩阵位移法9-1 概述概述9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系）单元刚度矩阵（局部坐标系）9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）单元刚度矩阵（整体坐标系）9-4 连续梁的整体刚度矩阵连续梁的整体刚度矩阵9-5 刚架的整体刚度

6、矩阵刚架的整体刚度矩阵9-6 等效节点荷载等效节点荷载9-7 矩阵位移法的计算步骤矩阵位移法的计算步骤099-4 连续梁的整体刚度矩阵1、传统位移法单元集成法传统位移法刚度集成法直接刚度法整体刚度方程111EIil=222EIil=123F1F2F314i1102i112i12(4i1+4i2)22i222304i232i23111121122232234202442024FiiFiiiiFii=+整体刚度方程=FK111122224202442024iiiiiiii=+K整体刚度矩阵eee=Fk eeeFk=2、单元集成法(1)单元集成法的力学模型和基本概念F1F2 F3 20i=()T12

7、3FFF=F30F=11114224iiii=k111111224224iiFiiF=1111211233420240000FiiFiiF=FK1111420240000iiii=K单元(1)的贡献矩阵12BC231A2、单元集成法(1)单元集成法的力学模型和基本概念12BC23F1F2 F3 110i=10F=22224224iiii=k1122223223000042024FFiiFii=FK2222000042024iiii=K单元(2)的贡献矩阵ee=+=KKKK()=+=+FFFKK211231134224iiFiiF=(1)单元集成法的力学模型和基本概念Iee kKKII单元集成法

8、求整体刚度矩阵的步骤：第I步：由ke求Ke；第II步：由Ke求 K。2、单元集成法1111420240000iiii=K单元的贡献矩阵2222000042024iiii=K单元的贡献矩阵(2)按照单元定位向量由ke求Ke(A)注意结点位移（力）的两种编码(B)注意每个单元的结点位移分量两种编码的对应关系21213BCA1(1)(2)BA局部码总 码单元对应关系：局部码总码单元定位向量e（1）1（2）2（1）2（2）312=23=2(1)(2)C(c)注意单元刚度矩阵和单元贡献矩阵中元素的排列方式在单元刚度矩阵ke中元素按局部码排列；在单元贡献矩阵Ke中元素按总码排列。(2)按照单元定位向量由k

9、e求Ke11114224iiii=k1111420240000iiii=K单元1：1 2 31 23（1）（2）（1）（2）12=1)(2=12（1）（2）单元2：22224224iiii=k2222000042024iiii=K（1）（2）（1）（2）1 2 31 2323=1)(1=22（1）（2）(c)注意单元刚度矩阵和单元贡献矩阵中元素的排列方式在单元刚度矩阵ke中元素按局部码排列；在单元贡献矩阵Ke中元素按总码排列。在单元刚度矩阵ke中在单元贡献矩阵Ke中元素的原行码原列码换 码重排座()i()j原排在行列的元素()i()j换成新行码新列码ij改排在行列ij()()ijij()()i

10、jeeijkK(2)按照单元定位向量由ke求Ke21213BCA12(1)(2)(1)(2)BCA1111(1)(2)123(1)1 420(2)2 2403000iiii 2222(1)(2)1231 000(1)2 042(2)3 024iiii单元单元刚度矩阵ke单元定位向量e12 1111(1)(2)42(1)24(2)iiii2222(1)(2)42(1)24(2)iiii23 单元贡献矩阵Ke(2)按照单元定位向量由ke求Ke(3)单元集成法的实施方案“边定位”、“边累加”依次将每个单元刚度矩阵的元素在整体刚度矩阵中按照单元定位向量定位，并进行累加。ee=KK实施步骤：(a)将K

11、K 置零，即K K=0；(b)将k的元素在K K 中按定位并进行累加，这时；=KK(c)将的元素在中按定位并进行累加，这时。kK=+KKK整体刚度矩阵编码，确定各单位的定位向量(4)例题：试求图示连续梁的整体刚度矩阵凡给定为零值的结点位移分量，其总码均编为零。解：(a)结点位移分量的总码(b)各单元的定位向量23=30=12=1230i1i2i31231230i2i3i1123(c)单元集成过程1111(1)(2)123(1)1 420(2)2 2403000iiii 11112222(1)(2)1231 420(1)2 24(4)(2)(2)30(2)(4)iiiiiiii+单元单元刚度矩阵

12、单元定位向量ek12 11114224iiii22224224iiiie23 集成过程的阶段结果33334224iiii30 +43(5)整体刚度矩阵的性质(a)中的元素称为整体刚度系数，它表示当第j个结点位移分量（其他结点位移分量为零）时所产生的第i个结点力。KijK1j=iF(b)是对称矩阵，是稀疏带状矩阵。K(c)引入支承条件之前是奇异矩阵，引入支承条件之后是非奇异矩阵，存在逆矩阵。K1n23111122212311420024()20024()224()2024nnnnnniiiiiiiiiiiiiiii+00n跨连续梁（有n+1个结点）整体刚度矩阵：整体刚度矩阵形成过程：(3)编总码，确定各单元的定位向量；(4)将k的元素在K K 中按定位并进行累加，这时；=KK(5)将的元素在K中按定位并进行累加，这时。k=+KKK(1)建立各单元的局部坐标系，形成各单元的局部坐标系下的单元刚度矩阵；(2)建立整体坐标系，确定与T，得到各单元的整体坐标系下的单元刚度矩阵；