数字信号处理数字信号处理 (4).pdf

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1、数字信号处理 参考书籍 高新波,阔永红,田春娜.数字信号处理.高等教育出版社,2014.史林,赵树杰.数字信号处理.科学出版社.2007.Alan V.Oppenheim,Ronald W.Schafer.Discrete-Time Signal Processing.电子工业出版社,2011.高西全,丁玉美.数字信号处理及其习题解答.西电出版社,2008.Vinay K.Ingle,John G.Proakis.Digital Signal Processing Using MATLAB.Northeastern University,1996.3.1 离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）序

2、列的离散时间傅里叶变换 序列的离散时间傅里叶变换的性质 基本序列的离散时间傅里叶变换 3.2 离散时间信号的Z域分析 3.3 离散时间LTI系统的频域分析 3.4 离散时间LTI系统的Z域分析 第3章 离散时间信号和系统的频域分析 引言 信号和系统的分析方法有两种 时域分析法 频率分析法 模拟信号与系统的时域分析 以时间作为参照来观察动态世界的方法为时域分析，如股票的走势、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统则用微分方程描述 模拟信号与系统的频域分析 在自然界，频率是有明确的物理意义的，比如声音信号：男生声音低沉浑厚，因为男声中低频分量更多；女同胞多高亢清脆

3、，因为女声中高频分量更多 频域分析使我们可以从另一个角度来观察和分析信号 用傅立叶变换将时间域函数转换到频率域，用拉普拉斯变换作为傅立叶变换的推广，对信号进行复频域分析 引言 引言 离散时间信号和系统 信号用序列表示，而系统则用差分方程描述 频域分析是用Z变换或离散时间傅里叶变换(DTFT)离散时间傅里叶变换和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的 本章学习上述两个变换，以及LTI系统的频域和Z域分析 本章内容也是数字信号处理这一领域的基础 让 巴普蒂斯 约瑟夫 傅立叶(21 March 1768 16 May 1830)法国数学家和物理学家，因提出傅立叶级数及其在热

4、传播上的应用而闻名 傅立叶变换和傅立叶定律为他而命名 傅立叶也被普遍认为温室效应的发现者 8 傅立叶变换：数学棱镜 白光通过棱镜后的光谱 9 引言 傅里叶变换傅里叶变换好用，物理意义明确，但其存在的条件苛刻，要求时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。拉普拉斯变换推广了这一概念 在自然界，指数信号是衰减最快的信号之一，对信号乘上指数信号之后，很容易满足绝对可积的条件。因此将原始信号乘上指数信号之后一般都能满足傅里叶变换的条件，这种变换就是拉普拉斯变换拉普拉斯变换 Z变换变换可以说是针对离散信号和系统的拉普拉斯变换 3.1 离散时间信号的傅里叶变换 序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）序列的离

5、散时间傅里叶变换的性质 基本序列的离散时间傅里叶变换 3.2 离散时间信号的Z域分析 3.3 离散时间LTI系统的频域分析 3.4 离散时间LTI系统的Z域分析 第3章 离散时间信号和系统的频域分析 历史回顾 CTFT DTFT CFS 时域时域 频域频域 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换 连续连续 连续连续 非周期非周期 非周期非周期 傅立叶级数傅立叶级数 连续连续 离散离散 周期周期 非周期非周期 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换 离散离散 连续连续 非周期非周期 周期周期()x t()x t()x n3.1.1 序列的离散时间傅里叶变换 序列的离散时间傅里叶变换序列的离散时间傅里

6、叶变换(Discrete time Fourier transform,DTFT)的定义的定义 DTFT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和：()()jj nnX ex n e()nx n(3.1.1)为求DTFT的反变换的反变换，用ejm乘(3.1.1)式两边，并在-(的一个周期)内对进行积分，得 ()()()()jj mj nj mnjm nnX eedx n eedx ned(3.1.3)式中 ()cos()sin()2002()jm nedmnjmn dmnelsemn(3.1.4)3.1.1 序列的离散时间傅里叶变换 欧拉公式欧拉公式(3.1.5)1()()2jj nx nX

7、 eed22()()()()jj mnx nn mx mX eed将(3.1.4)带入(3.1.3)得：由(3.1.5)得如下逆变换的公式，记为IDTFT(3.1.6)3.1.1 序列的离散时间傅里叶变换 对比分析 DTFT:IDTFT:时域 频域 离散 连续 实值/复值 复值 加和 积分 n的取值范围:w的取值范围:()()()jwjwnnX eF x nx n e3.1.1 序列的离散时间傅里叶变换 11()()()2jwjwjwnx nFX eX eedw例例 3.1.1 求如下x(n)的离散时间傅立叶变换，如果存在，请画出其频域信号 ()(0.5)()nx nu n3.1.1 序列的离

8、散时间傅里叶变换 我们在 之间取 等间隔的501 个个点点，并画出其幅度并画出其幅度、相角相角、实部和虚部实部和虚部 有两种表示方法 实部、虚部 幅度谱、相位谱()jwX e0,()(0.5)()nx nu n()0.5jwjwjweX ee()jwX e3.1.1 序列的离散时间傅里叶变换 00.510.511.52frequency in pi unitsMagnitude PartMagnitude00.51-0.6-0.4-0.20frequency in pi unitsAngle PartRadians00.5111.52frequency in pi unitsReal Part

9、Real00.51-0.6-0.4-0.20frequency in pi unitsImaginary PartImaginary3.1.1 序列的离散时间傅里叶变换 例例 3.1.2 设x(n)=RN(n)，求x(n)的DTFT 10/2/2/2/2/2/2(1)/2()()1()1()sin(/2)sin/2NjjnjnNnnjNjNjNjNjjNjjj NX eRn eeeeeeeeeeNe解：设N=4，幅度与相位随变化曲线如下图所示 3.1.1 序列的离散时间傅里叶变换 (3.1.7)R4(n)DTFT的幅度与相位曲线 3.1.1 序列的离散时间傅里叶变换 3.1 离散时间信号的傅里

10、叶变换（DTFT）序列的离散时间傅里叶变换 序列的离散时间傅里叶变换的性质 基本序列的离散时间傅里叶变换 3.2 离散时间信号的Z域分析 3.3 离散时间LTI系统的频域分析 3.4 离散时间LTI系统的Z域分析 第3章 离散时间信号和系统的频域分析 1.DTFT的周期性的周期性 在如下定义式中，n取整数，因此下式成立，其中M为整数 序列的离散时间傅里叶变换的周期是2。因此一般只分析-之间的DTFT(2)()()jjM nnX ex n e()()jjnnX ex n e3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质 对于离散时间信号，信号的直流和低频分量集中在 和 整数倍附近，信号最高频率应该集

11、中在 附近 由于序列的傅里叶变换具有周期性，因此经常将 的傅里叶变换写成 ，而不是成 ，以显示其周期性 02 x njX eXj3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质 2.线性线性 11221212()()()()()()()()jjjjX eDTFT x nXeDTFT x nDTFT ax nbx naX ebXe那么 设 式中a,b为常数 3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质 3.时移时移(位移位移)与频移与频移 设X(e j)=DTFTx(n)，那么 0000()()()()()j njjnjDTFT x nneX eDTFT ex nX e 3.1.2 序列的离散时间傅里叶

12、变换的性质 4.序列乘以序列乘以n（频域微分）（频域微分）5.共轭序列共轭序列()()jdX eDTFT nx njd*()*()jDTFT xnXe*()*()jDTFT xnXe3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质 6.DTFT的对称性的对称性 1)共轭对称序列 序列xe(n)满足下式：xe(n)=x*e(-n)(3.1.8)将xe(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n)将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)根据(3.1.8)式，上面两式左边相等，得到 xer(n)=xer(-n)xei(n)=-xei(-n

13、)共轭对称序列的实部是偶函数共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数虚部是奇函数 3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质 2)共轭反对称序列 xo(n)=-x*o(-n)(3.1.9)将xo(n)表示成实部与虚部，如下式：xo(n)=xor(n)+jxoi(n)同样的道理可以得到 xor(n)=-xor(-n)xoi(n)=xoi(-n)共轭反对称序列的实部是奇函数共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数虚部是偶函数 3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质 例例 3.1.3 试分析x(n)=e jn的对称性 解：将x(n)的n用-n代替，x(-n)=e-jn，再取共轭得到：x*(-n

14、)=e jn 因此x(n)=x*(-n)，满足(3.1.8)式，x(n)是共轭对称序列 如展成实部与虚部，得到 x(n)=cosn+j sinn 上式表明，共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数 3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质 对于一般序列可用共轭对称序列与共轭反对称序列之和表示，即 x(n)=xe(n)+xo(n)(3.1.10)式中xe(n),xo(n)可以分别用原序列x(n)求出，将(3.1.10)式中的n用-n代替，再取共轭得到 x*(-n)=xe(n)-xo(n)利用以上两式，得到 o11()()()()()()22ex nx nxnx nx nxn3.1.2 序列的离

15、散时间傅里叶变换的性质 对于频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej)Xe(ej)与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分，它们满足 Xe(ej)=X*e(e-j)Xo(ej)=-X*o(e-j)同样有下面公式满足：o11()()()()()()22jjjjjjeX eX eXeX eX eXe3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质 *12exnx nxn*12jjjeXeX eXe*1()()()2jjjoXeX eXe共轭对称共轭对称 共轭反对称共轭反对称 性质：实部偶，虚部奇性质：实部偶，虚部奇 *12oxnx nxn性质：实部奇，

16、虚部偶性质：实部奇，虚部偶 总 结 分析DTFT的对称性(a)将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)对上式进行DTFT，得到 X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j)()()()()()()jj nerrnjj noiinXeDTFT x nx n eXeDTFT jx njx n e式中 3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质 上面两式中，xr(n)和xi(n)都是实数序列，容易证明：Xe(ej)具有共轭对称性 Xo(ej)具有共轭反对称性 最后得到结论最后得到结论 序列分成实部与虚部两部分，实部的DTFT具有共轭对称性，虚部乘j一起对应的

17、DTFT具有共轭反对称性 3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，x(n)=xe(n)+xo(n)由下式进行DTFT 得：DTFTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej)DTFTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej)1()()()21()()()2eox nx nxnx nx nxn()()()()jRejIoXeDTFT x njXeDTFT x n()()()()jerjoiXeDTFT x nXeDTFT jx n对比对比 3.1.2 序列的离散时间傅

18、里叶变换的性质 rix nxnjx n eox nxnxnjjjeoX eXeXe()()()jjjRiX eXejX e时域信号：时域信号：实部实部 虚虚部部 DTFT 共轭对称共轭对称 共轭反对称共轭反对称 频域信号：频域信号：时域信号：时域信号：频域信号：频域信号：DTFT 实部实部 虚虚部部 总结 设h(n)是实因果序列实因果序列，其DTFT只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。H(ej)=He(ej)H(ej)=H*(e-j)因此实序列的DTFT的实部是偶函数，虚部是奇函数 HR(ej)=HR(e-j)HI(ej)=-HI(e-j)共轭对称分量的实部是共轭对称分量的实部是

19、偶函数，虚部是奇函数偶函数，虚部是奇函数 模平方是模平方是w的偶函数相位是的偶函数相位是w的奇函数的奇函数 实部对应的是共轭对称分量实部对应的是共轭对称分量 arg()arctan()()jjjIRH eH eHe222|()|()()jjjRIH eHeHe3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质 7.时域卷积定理时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n),则 Y(e j)=X(e j)H(e j)(3.1.11)证明：()()()()()()()()()()()()()()mjj nnmjj kj mkmj kj mkmjjy nx m h nmY eDTFT y nx m h nm

20、 eY eh k ex m eh k ex m eH eX e 令k=n-m 3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质()j njk mj kj meeee因此求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式计算 也可以在频域按照(3.1.11)式，求出输出的DTFT，再作逆DTFT求出输出信号 h.x(n)y(n)=x(n)*h(n)H.X(.)Y(.)=X(.)H(.)时域时域:频域频域:3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质 8.频域卷积定理频域卷积定理 假设 则 该定理表明在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。此定理也称为调制定理 jX eDTFT x n jH eDTFT h n y

21、 nx n h n1212jjjjjY eX eH eH eX ed 3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质 9.帕斯瓦尔帕斯瓦尔(Parseval)定理定理 说明：信号时域的总能量等于频域的总能量：能量守恒 2*2*1()()()()()21 ()()211 ()()()22jj nnnnjj nnjjjx nx n xnxnX eedX exn edX eXedX ed221()2()jnX edx n证明：频域总能量 时域 总能量 能量守恒定理能量守恒定理 3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质 表3.1.1 序列的离散时间傅里叶变换的主要性质 3.1.2 序列的离散时间傅里叶变

22、换的性质 表3.1.1 序列的离散时间傅里叶变换的主要性质 3.1.2 序列的离散时间傅里叶变换的性质 3.1 离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）序列的离散时间傅里叶变换 序列的离散时间傅里叶变换的性质 基本序列的离散时间傅里叶变换 3.2 离散时间信号的Z域分析 3.3 离散时间LTI系统的频域分析 3.4 离散时间LTI系统的Z域分析 第3章 离散时间信号和系统的频域分析 单位脉冲序列的单位脉冲序列的DTFTDTFT 2()()1j nnDTFTnn e3.1.3 基本序列的离散时间傅里叶变换 10n()n10(ej)22单位脉冲序列单位脉冲序列 单位脉冲序列的频谱函数单位脉冲序列的频谱

23、函数 常数常数1 1的的DTFT 序列x(n)=1的序列 在模拟信号中有 因为在离散时间信号中，l 取整数，所以对比(3.1.12)和(3.1.13)得 23.1.3 基本序列的离散时间傅里叶变换()jj nnX ee2()jtedt(2)j njl nee()2(-2)jlX el(3.1.12)(3.1.13)(2)jl nne常数常数1 1的的DTFT 其频谱函数是在 处的单位冲激函数，强度为 23.1.3 基本序列的离散时间傅里叶变换()2(-2)jlX el2 l2x(n)1012-1-2n.X(ej)0.222 序列 离散时间傅里叶变换 1 周期单位脉冲序列 为有理数 为有理数 为

24、有理数 ()n()1x n 2(2)ll()u n1(2)1jlle()NRn(1)/2sin(/2)sin(/2)j NNe()na u n1a 11jae0jne02 02(2)ll 0cos()n02 00(2)(2)lll 0sin()n02 00(2)(2)ljll 3.1.3 基本序列的离散时间傅里叶变换 表3.1.2 基本序列的离散时间傅里叶变换 3.1 离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）序列的离散时间傅里叶变换 序列的离散时间傅里叶变换的性质 基本序列的离散时间傅里叶变换 3.2 离散时间信号的Z域分析 3.3 离散时间LTI系统的频域分析 3.4 离散时间LTI系统的Z域分

25、析 第3章 离散时间信号和系统的频域分析 3.2 离散时间信号的Z域分析 3.2.1 Z变换的定义 3.2.2 收敛域的特性 3.2.3 Z 变换的性质和定理 3.2.4 逆Z变换 3.2离散时间信号的Z域分析 DTFT方法用复指数序列来表示时域的离散信号 对于 LTI系统存在如下优点 在频域用频率响应函数 H 来表示系统 任意绝对可和序列x(n)的响应可以很容易的通过在频域将 X 乘以 H 得到 傅里叶变换的缺点 1.很多具有实用价值的信号如u(n),nu(n)无法通过DTFT来计算其频域信号 2.由初始条件或输入变化引起的系统瞬态响应不能通过DTFT来计算 为解决上述问题，Z变换被提出来

26、3.2.1 离散时间信号的Z变换的定义 序列x(n)的Z变换变换定义为 (3.2.1)z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在之间求和，称为双边双边Z变换变换。单边单边Z变换变换的定义如下 对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本课程如不特别声明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换 (z)()znnXx n0()()nnX zx n zZ变换存在的条件是(3.2.1)式等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即 使(3.2.2)式成立，z变量取值的域称为收敛域(Region of convergence,ROC)。一般收敛域用环状区域来表示 (3.2.2)

27、3.2.1 离散时间信号的Z变换的定义|()z|nnx n+|z|RxxRZ变换的收敛域图示 0Re zIm jzRxRx3.2.1 离散时间信号的Z变换的定义 令 ，代入 ，得到 。收敛域分别以 和 为半径的两个圆形形成的环状域+|z|xxRRzjre+xxRrRxRxR常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，记为zi(i=1,2,M)分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点，记为pk(k=1,2,N)在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界 3.2.1 离散时间信号的Z变换的定义(z)(z)(z)PXQ 对比序列

28、的DTFT和Z变换的定义，很容易得到二者之间的关系：式中z=e j表示在z平面上r=1的圆(单位圆)。(3.2.3)式表明：单位圆单位圆上的上的Z变换就是序列变换就是序列的的DTFT 如果已知序列的Z变换，可用(3.2.3)式，很方便的求出序列的DTFT，条件是收敛域中包含单位圆 (3.2.3)3.2.1 离散时间信号的Z变换的定义(e)(z)|jjz eXX(z)()znnXx n()()jj nnX ex n eDTFT Z变换变换 例例 3.2.1 x(n)=u(n)，求其Z变换 解：X(z)存在的条件是|z-1|1 极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，因此其DTFT不存在，但如果引入

29、单位冲激函数，其DTFT则可以表示出来 该例同时说明一个序列的DTFT不存在，但在一定收敛域内Z变换是存在的|z|1 3.2.1 离散时间信号的Z变换的定义 0(z)()zznnnnXu n11(z)1Xz3.2 离散时间信号的Z域分析 3.2.1 Z变换的定义 3.2.2 收敛域的特性 3.2.3 Z 变换的性质和定理 3.2.4 逆Z变换 3.2.2 Z 变换收敛域的特性 由于收敛域是根据幅度|z|来确定的，所以收敛域由圆周来界定 右边序列(nn0,x(n)=0)的收敛域总在半径为Rx+的圆周的内部 如果双边序列的收敛域存在，收敛域在 Rx-|z|Rx+的圆环上 3.2.2 Z 变换收敛域

30、的特性 有限长序列(nn2,x(n)=0)的收敛域是整个Z平面，如果n10,那么z=0不在收敛域内 由于X(z)在收敛域内一致收敛，收敛域不能包含极点 对于一个有理的X(z)，至少有一个极点在收敛域的边界上 收敛域是一个连续的区域，收敛域不能由间断的几个区域组成 1.有限长序列有限长序列 如序列x(n)满足下式：x(n),n1nn2 x(n)=0 ,其它 其Z变换为 设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛 3.2.2 Z 变换收敛域的特性 21(z)()znnn nXx n(3.2.4)如果n10，则收敛域不包括z=0点；如果是因

31、果序列，收敛域包括z=点。具体有限长序列的收敛域表示如下：n10，n20时，0|z|n10时，00时，0|z|3.2.2 Z 变换收敛域的特性 21(z)()znnn nXx n(z)X1zn1|z|n|z|(z)X例：3.2.2 求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 解：这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0|z|。但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极零点对消，X(z)在单位圆上仍存在 1101(z)R()zz1NNnnNnnzXnz3.2.2 Z 变换收敛域的特性 2.右序列右序列 右序列是在nn1时，序列值不全为零，而其它nn

32、1，序列值全为零 第一项为有限长序列，设n1-1，其收敛域为0|z|。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-|z|，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx-|z|。如果是因果序列，收敛域定为Rx-|z|3.2.2 Z 变换收敛域的特性 1110(z)x()zx()zx()znnnn nn nnXnnn(3.2.5)例 3.2.3 求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解：在收敛域中必须满足|az-1|a|3.2.2 Z 变换收敛域的特性 01(z)()zz1nnnnnnnXa u naaz3.左序列左序列 左序列是在nn2时，序列值不全为零，而在nn2，序列值全为零的序

33、列。左序列的Z变换表示为 如果n20,z=0点收敛，z=点不收敛，其收敛域是在某一圆(半径为Rx+)的圆内，收敛域为0|z|0，则收敛域为0|z|Rx+3.2.2 Z 变换收敛域的特性 2(z)()znnnXx n(3.2.6)例 3.2.4 求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域 解：X(z)存在要求|a-1 z|1，即收敛域为|z|0)3.2.2 Z 变换收敛域的特性 1112121(z)()z(z)(z)(z)()z,0|z|R(z)()z,|z|nnnnxnnxn nXx nXXXx nXx nR(3.2.7)X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收 敛区域

34、如果 Rx+Rx-，其收敛域为Rx-|z|Rx+，这是一个环状域 如果Rx+Rx-，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在 3.2.2 Z 变换收敛域的特性 例 3.2.5 x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域 解：第一部分收敛域为|az|1，得|z|a|-1 第二部分收敛域为|az-1|a|1|010(z)zzzzznnnnnnnnnnnnnnnXaaaaa3.2.2 Z 变换收敛域的特性 如果|a|1，即|a|a|-1，两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1，其Z变换如下式：如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在|a|z|a|-1 1

35、211(z)111(1)(1)azXazazaazaz3.2.2 Z 变换收敛域的特性 当0a1时，x(n)的波形及X(z)的收敛域如下图所示 3.2.2 Z 变换收敛域的特性 表3.2.1常见序列的Z 变换及收敛域 表3.2.1常见序列的Z 变换及收敛域 3.2 离散时间信号的Z域分析 3.2.1 Z变换的定义 3.2.2 收敛域的特性 3.2.3 Z 变换的性质和定理 3.2.4 逆Z变换 1.线性线性 设 m(n)=ax(n)+by(n),a,b为常数 X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+，Y(z)=ZTy(n),Ry-|z|Ry+则M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z),

36、R m-|z|R x-R y+R y-时，则M(z)不存在 3.2.3 Z 变换的性质和定理 2.移位特性移位特性 设 X(z)=ZTx(n),R x-|z|R x+则 00(-)=(),nxxZT x n nzX z RzR3.2.3 Z 变换的性质和定理 3.乘以指数序列乘以指数序列 设 X(z)=ZTx(n),R x-|z|R x+y(n)=anx(n),a为常数 则 Y(z)=ZTanx(n)=X(a-1z)|a|R x-|z|a|R x+3.2.3 Z 变换的性质和定理 4.序列乘以序列乘以n 设 则 证明 ()()()()xxxxX zZT x nRzRdX zZT nx nzRz

37、Rdz 111()()()()()()()()nnnnnnnndX zddx n zx nzdzdzdznx n zznx n zz ZT nx ndX zZT nx nzdz 3.2.3 Z 变换的性质和定理 5.复共轭序列复共轭序列 设 则 证明 *()(),()(),xxxxX zZT x nRzRXZZT x nRzR*()()()()()()()nnnnnnZT XnXn zx n Zx n ZXZ1*()*(),1|1*xxZT xnXRzRz3.2.3 Z 变换的性质和定理 6.序列卷积定理序列卷积定理 设 则 ()()()()(),()(),()()()(),min,max,x

38、xyyxyxynx ny nX zZT x nRzRY zZT y nRzRW zZTnX z Y z RzRRRRRRR3.2.3 Z 变换的性质和定理 证明:W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域公共收敛域 ()()()()()()()()()()()nnmnmnmmW zZT x ny nx m y nm zx my nm zx m zY zX zY z 3.2.3 Z 变换的性质和定理 7.初值定理初值定理 设 x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)证明：因此 (0)lim()zxX z120()()(0)(1)(2)nnX zx n zxxzxzlim()(0)zX

39、zx3.2.3 Z 变换的性质和定理 W(z)的收敛域 上式中v平面上，被积函数的收敛域为 8.复卷积定理复卷积定理 如果 ZTx(n)=X(z)，R x-|z|R x+ZTy(n)=Y(z),R y-|z|R y+w(n)=x(n)y(n)1()()()2cz dvW zX v Yjvv 3.2.3 Z 变换的性质和定理 xyxyR RzR R(,)(,)xxyyzzmax Rvmin RRR则 证明 由X(z)的收敛域和Y(z)的收敛域，得到 1()()()1()()21()()()21()()2nnnncnncncW zx n y n zX v vdv y n zjzdvX vy njv

40、vz dvX v Yjvv3.2.3 Z 变换的性质和定理 因此 max(,)min(,)xxyyxyxyxxyyRvRzRRvR RzR RzzRvRRR3.2.3 Z 变换的性质和定理 证明 因为x(n)是因果序列，9.终值定理终值定理 若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则下式称为终值定理(1)()(1)()nnzX zx nx n z1lim()lim(1)()nzx nzX z10(1)()lim(1)()nnmmnmmzX zx mzx m z3.2.3 Z 变换的性质和定理()0,0 x nn终值定理也可用X(z)在z=1点

41、的留数，因为 因此 如果单位圆上，X(z)无极点，则x()=0 110lim(1)()lim(1)()lim(0)(1)(1)(0)(1)(2)()lim(1)lim()nnznmmnnnzX zx mx mxxx nxxxx nx nx n1lim(1)()Re(),1()Re(),1zzX zs X zxs X z 3.2.3 Z 变换的性质和定理 因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限 10.帕斯瓦尔帕斯瓦尔(Parseval)定理定理 利用复卷积定理可以证明帕斯维尔定理 且满足 那么 v 平面上，c 所在的收敛域为 1,()(),()()1,xyxxyxyxX

42、zZT x nRzRY zZT y nRzRR RR R111()()()()2cnx n y nX v Yv dvjv 11max(,)min(,)xxyyRvRRR3.2.3 Z 变换的性质和定理 3.2 离散时间信号的Z域分析 3.2.1 Z变换的定义 3.2.2 收敛域的特性 3.2.3 Z 变换的性质和定理 3.2.4 逆Z变换 已知序列的Z变换及其收敛域，求序列称为逆Z变换。序列的Z变换变换及其逆逆Z变换变换表示如下：式中，围线c是收敛域内一条逆时针的封闭曲线 3.2.4 逆Z变换 1()(),1()(),(,)2nxxnnxxcX zx n zRzRx nX z zdzcRRj(

43、3.2.8)0 Imjz Re zxRxRc围线积分路径图 3.2.4 逆Z变换 1.幂级数法幂级数法(长除法长除法)2.部分分式展开法部分分式展开法 3.用留数定理求逆用留数定理求逆Z变换变换 3.2.4 逆Z变换 1.幂级数法幂级数法(长除法长除法)按照Z变换定义，可用长除法将X(z)写成幂级数形式，级数的系数就是序列x(n)如果x(n)是右序列，级数应是负幂级数，分子分母应按z的降幂排列 如果x(n)是左序列，级数则是正幂级数，分子分母应按z的升幂排列 缺点：复杂情况下，难以得到封闭解形式 3.2.4 逆Z变换()(),nxxnX zx n zRzR例例 3.2.6已知 ,用长除法求其逆

44、Z变换x(n)解:由收敛域判定这是一个右序列，用长除法将其展成负幂级数 1-az-1 122330()1()()nnnnX zaza za za zx na u n 11(),1X zzaaz1221112222111aza zazazaza za z3.2.4 逆Z变换 2.部分分式展开法部分分式展开法 对于大多数具有单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换 设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(表3.2.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)3.2.4 逆Z变换 表3.2.1常见

45、序列的Z 变换及收敛域 表3.2.1常见序列的Z 变换及收敛域 例例 3.2.7 已知 ，求逆Z变换 解 212122122311()555166(2)(3)23()()Re,2(2)1()()Re,3(3)1()11(2)(3)11()1 21 3zzAAX zzzzzzzzzzzX zX zAszzzX zX zAszzzX zzzzX zzz 1125(),2316zX zzzz3.2.4 逆Z变换 因为收敛域为2|z|2 第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|a，求其逆Z变换x(n)解 111111111()()(1)221()()1nnccnnnx nX z zdzazzdzjjzF

46、 zX z zzazza3.2.4 逆Z变换 n0时F(z)极点分布 为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点，极点有：n0时，有一阶极点z=a和n阶极点z=0 n0时，仅一阶极点z=a 因此分成n0和n0两种情况求x(n)n0 时，n0时，增加z=0的n阶极点，不易求留数，采用留数辅助定理求解。检查N-M-n1是否满足。显然满足 由于封闭曲线c外部没有极点，可得n0时，x(n)=0，所以x(n)=anu(n)()Re (),()nnz ax ns F z azzaaza3.2.4 逆Z变换 3.1 离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）序列的离散时间傅里叶变换 序列的离散时间傅里叶变换的性质

47、基本序列的离散时间傅里叶变换 3.2 离散时间信号的Z域分析 3.3 离散时间LTI系统的频域分析 3.4 离散时间LTI系统的Z域分析 第3章 离散时间信号和系统的频域分析 3.3 离散时间LTI系统的频域分析 3.3.1差分方程的差分方程的Z变换解变换解 3.3.2离散时间离散时间LTI系统的频率响应系统的频率响应 3.3.3余弦型信号通过离散时间余弦型信号通过离散时间LTI系统的响应系统的响应 3.3.4离散时间离散时间LTI系统的稳态响应和暂态响应系统的稳态响应和暂态响应 设N阶线性常系数差分方程为 Z变换求解的优点：步骤简明而有规律 将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单 可将系统

48、的初始条件引起的响应包含在求解方程中，可一举求得系统的全响应(3.3.1)000()(),1NMkikia y nkbx nia3.3.1 差分方程的Z变换解 设N阶线性常系数差分方程为(3.3.1)系统的全响应全响应：由零输入响应和零状态响应叠加而成。零输入响应零输入响应：假定系统输入为零，由系统初始条件引起的响应；可采用单边Z变换来分析 零状态响应零状态响应：假定系统初始条件为零，由系统输入引起的响应；即x(n)*h(n)000()(),1NMkikia y nkbx nia3.3.1 差分方程的Z变换解 计算全响应计算全响应 对于N阶差分方程，必须已知N个初始条件 设x(n)是因果序列，

49、即x(n)=0,n max(|a|,|b|)11()()(1)()()21Y zbz Y zbyX zY zX zbbz式中，于是 11(),1X zzaaz3.3.1 差分方程的Z变换解 11121()1(1)(1)bY zbzazbz1111()2(),0nnny nbabnab式中第一项为零输入解，第二项为零状态解 最终得 1111()2()()2(1)nnny nbabu nnab3.3.1 差分方程的Z变换解 收敛域为|z|max(|a|,|b|)3.3 离散时间LTI系统的频域分析 3.3.1 差分方程的差分方程的Z变换解变换解 3.3.2 离散时间离散时间LTI系统的频率响应系统

50、的频率响应 3.3.3余弦型信号通过离散时间余弦型信号通过离散时间LTI系统的响应系统的响应 3.3.4离散时间离散时间LTI系统的稳态响应和暂态响应系统的稳态响应和暂态响应 离散时间LTI系统的频率特性，可用系统的频率响应和系统函数进行分析 当系统的输入是频率为 w的复指数序列 ejwn 时，系统的零状态响应为()()*()()jwnjw n mjwnmjwy neh nh m eeH e(3.3.4)说明：复指数序列x(n)=ejwn,通过离散时间LTI系统后，输出序列的频率不变，幅度取决于系统的频率响应在w处的幅值。所以 表示系统对不同频率信号的增益 频率响应 3.3.2 离散时间LTI