数系扩充课件.ppt

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1、n今天老师在这里做个大胆的预测，在不久的将来，咱们班上产生位教授，位明星，位知名医生，位公司老师，位县委书记，另外，还有个害群之马请问，这里的，是什么数？自然数集自然数集整数负整数自然数正整数零整整 数数 集集SHUXI DI KUOCHONG数系的扩充数系的扩充自然数自然数集集整整 数数 集集二二二二桃桃桃桃杀杀杀杀三三三三士士士士整数负整数自然数正整数零分数有理数有理数有理数集集自然数自然数集集整整 数数 集集11问题：问题：边长为边长为1 1的正方形的对角线长度为多少？的正方形的对角线长度为多少？有理数集有理数集自然数集自然数集整整 数数 集集整数负整数自然数正整数零分数有理数无理数实数

2、实实 数数 集集有理数集有理数集自然数集自然数集整整 数数 集集人类因为计数的需要产生了自然数，形成了自然数集但仅有自然数是不够用的，各种实践的需要也推动了数的不断发展，这里我们不妨先从社会生活的角度来考察一下数的发展的历程：这一切在今天看起来是这么的自然，然而现实中每一步的发展都历经了曲折，比如0就比其他自然数晚出生数百年如果把我们班将来的3名医生分到4所医院里，每所医院1名医生，还生下几位，列方程计算。严格说来，这种说法不正确，因为并未限定在什么数集中的解，在自然数集里这个方程是没有解的，所以我们又中认为是方程推动了数的发展与扩充。【问题问题1 1】在在自然数集中自然数集中方程方程 有解吗

3、有解吗?【问题问题2 2】在在整数集中整数集中方程方程 有解吗有解吗?自然数自然数整整 数数自自然然数数负负整整数数有理数有理数整整数数分分数数【问题问题3 3】在在整数集中整数集中方程方程 有解吗有解吗?自然数自然数整整 数数自自然然数数负负整整数数实实 数数有有理理数数无无理理数数【问题问题4 4】在在有理数集中有理数集中方程方程 有解吗有解吗?有理数有理数整整数数分分数数自然数自然数整整 数数自自然然数数负负整整数数在在实数集中实数集中方程方程 有解吗有解吗?【问题问题5 5】SHUXI DI KUOCHONG数系的扩充数系的扩充【问题问题4 4】在在有理数集中有理数集中方程方程 有解吗

4、有解吗?在在实数集中实数集中方程方程 有解吗有解吗?【问题问题5 5】没有实数根没有实数根 自然数集自然数集 数系扩充数系扩充实实数数有有理理数数整整数数自然数自然数 整数集整数集引入负数引入负数求解求解3+x=0 有理数集有理数集引入分数引入分数求解求解3x=5 实数集实数集引入无理数引入无理数 求解求解 更大数集更大数集引入新数引入新数 求解求解保持运算，求解方程保持运算，求解方程知识引入知识引入知识引入知识引入对于一元二次方程对于一元二次方程 没有实数根没有实数根我们已知知道：我们已知知道：因为因为在在实数范围内实数范围内负数不能开平方，所以方程负数不能开平方，所以方程无实数根。无实数根

5、。这样我们有不得不重新考虑数集的扩展。我们能否将实数集进行扩充，使得在新的我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？数集中，该问题能得到圆满解决呢？思考思考？引入一个新数：引入一个新数：满足满足满足满足如何解决如何解决“在实数范围中开在实数范围中开方运算不总实施的矛盾方运算不总实施的矛盾”？现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数 i，把，把 i 叫做虚数单位，叫做虚数单位，并且规定：并且规定：（1）i2 1；（2）实实数可以与数可以与 i 进进行四行四则则运算，在运算，在进进行四行四则则运运算算时时，原有的加法与乘法的运算律，原有的加法与乘法的运算律(包括交

6、包括交换换律、律、结结合律和分配律合律和分配律)仍然成立。仍然成立。思考思考:a+bi，aR，bR在在i i 规定下，规定下，i i与实数加乘的结果形式与实数加乘的结果形式如何？如何？复数有关概念复数有关概念 复数复数Z=a+bi(aR，bR)把把实实数数a，b叫做叫做 复数的复数的实实部和虚部。部和虚部。形如形如a+bi(a,b R)的数叫做复数的数叫做复数.1.定义定义:全体复数所全体复数所组组成的集合叫复数集，成的集合叫复数集，记记作作C。注意注意:复数通常用字母复数通常用字母z表示，即复数表示，即复数a+bi（aR，bR)可记作可记作:z=a+bi（a R，b R），把这一表示），把这

7、一表示形式叫做形式叫做复数的代数形式复数的代数形式。请同学观察复数的代数形式会发现什么请同学观察复数的代数形式会发现什么?实部实部实部实部复数的代数形式：复数的代数形式：通常用字母通常用字母 z 表示，即表示，即虚部虚部虚部虚部其中其中 称为称为虚数单位虚数单位。复数集复数集C C和实数集和实数集R R之间有什么关系？之间有什么关系？讨论讨论？复数复数a+bia+bi i为为-1的一个的一个 、-1的另一个的另一个 ;一般地，一般地，a(a0)的平方根为的平方根为 、平方根平方根平方根为平方根为-i-a(a0)的平方根为的平方根为 复数复数z z=a+bi(a、b R)实数实数(b=0)有理数

8、有理数无理数无理数分数分数正分数正分数负分数负分数零零不循环小数不循环小数虚数虚数(b 0)特别的当特别的当 a=0 时时 纯虚数纯虚数a=0是是z=a+bi(a、b R)为纯虚数的为纯虚数的 条件条件.必要但不充分必要但不充分复数复数a+bia+bi2.复数的分类：复数的分类：复数集，虚数集，实数集，复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？纯虚数集之间的关系？思考？思考？复数集复数集虚数集虚数集实数集实数集纯虚数集纯虚数集1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。5 +80

9、02、判断下列命题是否正确：、判断下列命题是否正确：（1）若）若a、b为实数，则为实数，则Z=a+bi为虚数为虚数（2）若）若b为实数，则为实数，则Z=bi必为纯虚数必为纯虚数（3）若）若a为实数，则为实数，则Z=a一定不是虚数一定不是虚数例例例例1 1 实实实实数数数数mm取什么取什么取什么取什么值时值时值时值时，复数，复数，复数，复数 是（是（是（是（1 1）实实实实数？数？数？数？（2 2）虚数？）虚数？）虚数？）虚数？（3 3）纯纯纯纯虚数？虚数？虚数？虚数？解解:（1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数（3）当当即即

10、 时，复数时，复数z 是是纯虚数纯虚数练习练习:当当m m为何实数时，复数为何实数时，复数 是是 （1 1）实数）实数 （2 2）虚数）虚数 （3 3）纯虚数）纯虚数 利用复数代数形式确定复数是实数、利用复数代数形式确定复数是实数、虚数、还是纯虚数，只需根据复数的分类虚数、还是纯虚数，只需根据复数的分类与实部、虚部的关系列出方程，解方程求与实部、虚部的关系列出方程，解方程求参数。参数。注意：当为纯虚数时，既要考虑实部为零，注意：当为纯虚数时，既要考虑实部为零，虚部不为零，两者缺一不可。虚部不为零，两者缺一不可。则我们知道若我们知道若如何定义两个复数的相等？如何定义两个复数的相等？注意注意：一般

11、对两个复数只能说相等或不相等。：一般对两个复数只能说相等或不相等。00 如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别相等，那分别相等，那么我们就说这两个么我们就说这两个复数相等复数相等不全为实数的两个复数不能比较大小不全为实数的两个复数不能比较大小。如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别相等，那分别相等，那么我们就说这两个么我们就说这两个复数相等复数相等例例2 已知已知 ，其中，其中 求求解：根据复数相等的定义，得方程组解：根据复数相等的定义，得方程组解：根据复数相等的定义，得方程组解：根据复数相等的定义，得方程组解得解得求解复数方程方法：求解复数方程方法：1 1、由复数

12、相等的条件，由此可获得一个方程、由复数相等的条件，由此可获得一个方程组，再解方程组求得问题；组，再解方程组求得问题；2 2、复数问题实数化是解决复数问题的最基本、复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法。也是最重要的思想方法。如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别相等，那分别相等，那么我们就说这两个么我们就说这两个复数相等复数相等2.2.若若(2x(2x2 2-3x-2)+(x-3x-2)+(x2 2-5x+6)=0-5x+6)=0，求，求x x的值的值.1 1、若、若x x，y y为实数，且为实数，且 求求x x，y y。方法二：利用等比数列求和公式方法二：利用

13、等比数列求和公式性质性质1:性质性质2:具有周期性具有周期性复数的虚数复数的虚数 单位的性质单位的性质方法一：利用方法一：利用 同期性同期性B0方法一：利用同期性方法一：利用同期性方法二：利用错位相减法求和方法二：利用错位相减法求和 复数的复数的发发展史展史在在1919世世纪纪可没那么可没那么简单简单第一次第一次认认真真讨论这讨论这种数的是种数的是文文艺艺复复兴时兴时期意大利有名的数学期意大利有名的数学“怪杰怪杰”卡丹，他是卡丹，他是15451545年年开始开始讨论这讨论这种数的，当种数的，当时时复数被他称作复数被他称作“诡辩诡辩量量”.几乎几乎过过了了100100年，笛卡年，笛卡尔尔才才给这

14、给这种种“虚幻之数虚幻之数”取了一个名字取了一个名字虚数虚数但是又但是又过过了了140140年，欧拉年，欧拉还还是是说这说这种数只是存在于种数只是存在于“幻想之中幻想之中”，并用，并用i（imaginary，即虚幻的，即虚幻的缩缩写）来表示它写）来表示它的的单单位位.后来德国数学家高斯后来德国数学家高斯给给出了复数的定出了复数的定义义，但他，但他们们仍感到仍感到这这种数有点虚无种数有点虚无缥缈缥缈，尽管他，尽管他们们也感到它的作用也感到它的作用18301830年，高斯年，高斯详细论详细论述了用直角坐述了用直角坐标标系的复平面上的点表系的复平面上的点表示复数示复数a abibi，使复数有了立足之地，使复数有了立足之地,人人们们才最才最终终承承认认了复了复数数.1.1.虚数单位虚数单位i的引入；的引入；2.2.复数有关概念：复数有关概念：复数的代数形式复数的代数形式:复数的实部复数的实部、虚部、虚部复数相等复数相等虚数、纯虚数虚数、纯虚数