线性代数第五章相似矩阵与二次型第4节.ppt

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1、第四节第四节 实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相关结论实对称矩阵的相关结论用正交矩阵用正交矩阵 P 化实对称矩阵化实对称矩阵 A 为对角形为对角形矩阵的方法矩阵的方法 实对称矩阵的特征根是实数。实对称矩阵的特征根是实数。一、一、实对称矩阵的相关结论实对称矩阵的相关结论定理定理定理的意义定理的意义 由于实对称矩阵由于实对称矩阵A A的特征值的特征值 是实数是实数所以实系数齐次线性方程组所以实系数齐次线性方程组 必有实必有实的基础解系的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量从而对应的特征向量可以取实向量.证明证明于是有于是有两式相减，得两式相减，得是实对称矩阵是实对称矩阵A的

2、两个特征根，的两个特征根，分别是对应于分别是对应于 设设的特征向量，若的特征向量，若定理定理证明证明于是于是设设A是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵，从而对应特征根从而对应特征根恰有恰有r个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量。定理定理 为对角元素的对角矩阵。为对角元素的对角矩阵。设设A是是n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P定理定理证明证明:设设A的互不相等的特征根为的互不相等的特征根为它们的重数依次为它们的重数依次为 这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得n个。个。按定理按定理 知对应于不同特征根的特征向量正交，知对应于不同特征根的特征向量正交，故这故这n个单位特

3、征向量两两正交。个单位特征向量两两正交。则对应特征根则对应特征根 线性无关的实线性无关的实于是以它们为列向量构成的正交矩阵于是以它们为列向量构成的正交矩阵P,其中对角矩阵其中对角矩阵的对角元素的对角元素特征向量特征向量，把它们正交化并单位化把它们正交化并单位化,即得即得 个单位个单位正交的特征向量正交的特征向量.1)求求A 的特征值的特征值.其中其中 2)2)对于每个对于每个求特征向量求特征向量设设二二 正交矩阵正交矩阵P P化对称阵化对称阵A A为对角阵为对角阵 的代数重数的代数重数.的基础解系的基础解系,3)对重特征值算出的特征向量对重特征值算出的特征向量,分别作施密特正交分别作施密特正交

4、化化,(没有重特征值或已经正交的可以省略此步骤没有重特征值或已经正交的可以省略此步骤),然后再单位化然后再单位化,得标准正交基得标准正交基.则则P是一个是一个n 阶正交阵阶正交阵,且且解解 由由于是得正交阵于是得正交阵的基础解系为的基础解系为标准正交化得：标准正交化得：可以验知仍有可以验知仍有 此例中对应于此例中对应于若求得方程若求得方程注意注意：例例 已知三阶矩阵已知三阶矩阵A的特征值的特征值求矩阵求矩阵B的特征值以及与之相似的对角矩阵的特征值以及与之相似的对角矩阵。解解 因为三阶矩阵因为三阶矩阵A有三个不同的特征值，所以有三个不同的特征值，所以从而从而:存在可逆矩阵存在可逆矩阵P使使 所以

5、所以B的特征值为的特征值为-4，-6，-12 从而所求与从而所求与B相似的对角矩阵为：相似的对角矩阵为：1.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质：(1)(1)特征值为实数；特征值为实数；(2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交；(3)(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等；特征向量的个数相等；(4)(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将特征向 量单位化；量单位化；(4)最后正交化最后正交化小小 结结练练习习 对实对称矩阵对实对称矩阵 ，求出正交矩阵，求出正交矩阵 使使 为对角阵为对角阵.解解 第一步第一步 求求 的特征值的特征值=解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化思思考考题题如何把一个实对称矩阵标准正交化如何把一个实对称矩阵标准正交化？