线性代数第五章相似矩阵与二次型第3节.ppt

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1、相似矩阵的定义相似矩阵的定义相似矩阵的性质相似矩阵的性质利用相似变换将方阵对角化利用相似变换将方阵对角化第第三节三节 相似矩阵相似矩阵称为对称为对A进行进行相似变换相似变换 设设A,B 都是都是 n 阶方阵阶方阵,若有可逆矩阵若有可逆矩阵P,使使则称则称 B 是是 A 的的相似矩阵相似矩阵,或说矩阵或说矩阵A 与与B 相似相似其中可逆矩阵其中可逆矩阵 P 称为把称为把A变成变成B的的相似变换矩阵。相似变换矩阵。对对 A 进行运算进行运算一、相似矩阵的概念一、相似矩阵的概念 定义定义（1）自反性）自反性 AA（其中（其中 k 是正整数）是正整数）（5）若）若AB，（2）对称性对称性 若若AB，则

2、，则BA（3）传递性传递性 若若AB，BC，则，则AC相似相似是关于是关于A 的多项式的多项式 二、相似矩阵的性质二、相似矩阵的性质k个个特别地特别地，若有可逆矩阵，若有可逆矩阵P,使使 为对角矩阵，为对角矩阵，即即则则，而对于矩阵，而对于矩阵有有利用上述结论可以很方便计算矩阵利用上述结论可以很方便计算矩阵A 的多项式的多项式 若若n 阶矩阵阶矩阵 A 与与 B 相似，则相似，则 A与与 B 有有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。相同的特征多项式，从而有相同的特征值。证明证明:因因 A 与与 B 相似，所以有可逆矩阵相似，所以有可逆矩阵P,使使 故故 定理定理推论推论若若 n 阶矩阵阶矩阵

3、 A 与对角矩阵与对角矩阵 相似相似是是A 的的n 个特征值。个特征值。又特征值就是特征方程的根又特征值就是特征方程的根,从而有相同的特征值从而有相同的特征值.对一个对一个 n 阶方阵阶方阵 A，是否存在相似变换是否存在相似变换问题问题：矩阵矩阵 P,使使三、相似变换矩阵的求法三、相似变换矩阵的求法若存在，如何找出这个矩阵？若存在，如何找出这个矩阵？讨论讨论：把把 P 用其列向量表示为用其列向量表示为也即也即反之反之,如果如果 n 阶方阵阶方阵 A 有有n 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，则则 P 可逆，且可逆，且满足满足那么令那么令注意注意因为特征向量不唯一，所以上述矩阵因为特征

4、向量不唯一，所以上述矩阵P也是不唯一的。并且由上面的讨论即有：也是不唯一的。并且由上面的讨论即有：n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角矩阵相似与对角矩阵相似(即即A能对角化能对角化)的的充分必要条件充分必要条件是是 A 有有 n 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。定理定理 如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 的的 n 个特征根互不相同个特征根互不相同,则则 A 与对角矩阵相似。与对角矩阵相似。推论推论如果如果 的特征方程有重根，此时的特征方程有重根，此时 不一定有不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线

5、性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，还是能对角化还是能对角化例例 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解(1)得得因为因为 A 有三个不同的特征值，所以由推论知有三个不同的特征值，所以由推论知 A 可对角化。可对角化。解之得基础解系解之得基础解系故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.解解(2)解解(3)解之得解之得基础解系基础解系求得基础解系求得基础解系例例 设设 判断判断A是否可以对角化，是否可以对角化，若可以对角化，若可以对角化，为对角阵，并求为对角阵，并求求出可逆阵求出可逆阵P，解解 （1）求特征值求特征值 求特征向量求特征向量将将代入代入得得解得特征向量解得特征向量 再将再将代入代入得得解得特征向量解得特征向量线性无关，故线性无关，故A可对角化可对角化(2)令令 则有则有（3）直接计算）直接计算比较麻烦，但由比较麻烦，但由可得可得 易求易求问问A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角解解练练习习解之得基础解系解之得基础解系所以所以 可对角化可对角化.即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应注意注意思思考考题题1 满足什么条件的矩阵一定可以对角化？满足什么条件的矩阵一定可以对角化？