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1、一一.背景分析背景分析三角函数三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型重要数学模型在数学和其它领域中都具有重要的作用它是学生在高中阶段在数学和其它领域中都具有重要的作用它是学生在高中阶段学习的又一类重要的学习的又一类重要的基本初等函数基本初等函数本节课以锐角三角函数为本节课以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数。引子，利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数。单位圆单位圆的几何直观非常有利于构建任意角的三角函数的知识结构。例的几何直观非常有利于构建任意角的三角函数的知识结构。例如从定义可以方便地推导同角三角函数的基本关系、诱导

2、公式、如从定义可以方便地推导同角三角函数的基本关系、诱导公式、和（差）角公式，而且为公式的记忆提供了图形支持；学生理和（差）角公式，而且为公式的记忆提供了图形支持；学生理解和掌握好解和掌握好任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义是学好后续课程的基础。是学好后续课程的基础。因因此任意角三角函数的定义是本节课的教学重此任意角三角函数的定义是本节课的教学重点。点。本节内容教材共安排三课时，其中第一课时主要研究任意角的本节内容教材共安排三课时，其中第一课时主要研究任意角的三角函数的概念。三角函数的概念。1.学习任务分析学习任务分析2.学生情况分析学生情况分析 用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数，

3、与学生在锐角三角函数学习中建立的已有经验有一定的距离，与学生在数学必修1的学习中建立起来的函数知识经验也有一定的距离。学生熟悉的函数y=f(x)是实数到实数的一一对应，而本节中三角函数首先是实数（弧度数）到点的坐标的对应，然后才是实数（弧度数）到实数（横坐标或纵坐标）的对应，这就给学生的理解造成一定的困难。因此任意角的三角函因此任意角的三角函数概念的建构过程及任意角三角函数的对数概念的建构过程及任意角三角函数的对应关系是本节课的教学难点。应关系是本节课的教学难点。一一.背景分析背景分析角的概念的推广角的概念的推广弧度制弧度制任意角的三角函数任意角的三角函数同角三角函数的基本关系式同角三角函数的

4、基本关系式正弦、余弦的诱导公式正弦、余弦的诱导公式三三角角函函数数的的图图象象和和性性质质知识网络图知识网络图 二、教学目标的确定二、教学目标的确定v知识目标知识目标:借助单位圆理解并掌握任意角的借助单位圆理解并掌握任意角的 三角函数三角函数(正弦正弦,余弦余弦,正切正切)的定义的定义;理解三角理解三角函数是以实数为自变量的函数，能初步应用定函数是以实数为自变量的函数，能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题题.v能力目标能力目标:通过学生积极参与知识的通过学生积极参与知识的“发现发现”与与“形成形成”的过程的过程,培养合情猜测的能力培养合

5、情猜测的能力,从中感悟从中感悟数学概念的严谨性与科学性数学概念的严谨性与科学性.v情感目标情感目标:让学生在任意角三角函数概念的形让学生在任意角三角函数概念的形成过程中成过程中,体会函数思想体会函数思想,丰富数形结合经验丰富数形结合经验.直角三角形为载体的锐角三角函数 象限角为载体的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数 任意角三角函数定义的应用 归纳小结 三三 课堂结构设计课堂结构设计板书设计：板书设计：课题课题概念概念例例例例思考思考例例小结小结投影投影屏幕屏幕四四 教学媒体设计教学媒体设计 问题问题1：你能回忆一下锐角三角函数的定义吗：你能

6、回忆一下锐角三角函数的定义吗?ACB在RTABC中，一一.复习引入复习引入,回想再认回想再认初中时，我们怎样利用直角三角形定义了锐角三角函数的呢？ACBbcaoyxP(，)的终边 r在终边上移动点在终边上移动点P P的位置的位置,这三个比值会改变吗这三个比值会改变吗?P1 （x1，y1）.P2.（x2，y2）yxOM1M2P.对于任意角 的每一个确定值，比值都是惟一确定的，不会随点P在终边上的移动而变化。设是任意角，的终边上任意一点的坐标是，当角在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为，则.任意角的三角函数第一定义任意角的三角函数第一定义 设设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一

7、个任意角，它的终边与单位圆交于点 那么那么:（1）叫做叫做 的正弦，记作的正弦，记作 ，即，即 ；（2）叫做叫做 的余弦，记作的余弦，记作 ，即，即 ；（3）叫做叫做 的正切，记作的正切，记作 ，即，即 。所以，正弦，余弦，正所以，正弦，余弦，正切都是以切都是以角为自变量角为自变量，以，以单单位圆位圆上点的上点的坐标或坐标的比坐标或坐标的比值值为函数值的函数，我们将为函数值的函数，我们将他们称为他们称为三角函数三角函数.任意角的三角函数的定义：任意角的三角函数(1)比值比值叫做叫做的正弦，记作的正弦，记作sin，即，即(2)比值比值叫做叫做的余弦，记作的余弦，记作cos，即，即(3)比值比值叫

8、做叫做的正切，记作的正切，记作tan，即，即探究：探究：三角函数定义域1.三角函数的定义域三角函数的定义域（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）探究：探究：2.三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号 例例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，求证：当且仅当下列不等式组成立时，角角 为第三象限角为第三象限角.证明：证明：因为因为式式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能或第四象限，也可能位于位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上；又因为又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限的终边可能位于第一或第三象限.因为因

9、为式都成立，所以角式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明.思考：思考：如果两个角的终边相同，那么这如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？两个角的同一三角函数值有何关系？yox1M终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）（其中（其中）公式作用：公式作用：可以把求任意角的三角函数值，可以把求任意角的三角函数值，转化为求转化为求 角的三角函数值角的三角函数值 .？思考：思考：如果两个角的终边相同，那么这如果两个角的终边相同，那

10、么这两个角的同一三角函数值有何关系？两个角的同一三角函数值有何关系？例例4 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号：（1）（2）（3）解：解：（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；（2）因为）因为 =，而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ；练习练习 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号 （3）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .例例5 求下列三角函数值：求下列三角函数值：（1）（2）解：（解：（1）练习练习 求下列三角函数值求下列三角函数值 （2）1 1 1 1：你能用点：你能用点：你能用点：你能用点P P P P的坐标来表示

11、锐角三角函数吗？的坐标来表示锐角三角函数吗？的坐标来表示锐角三角函数吗？的坐标来表示锐角三角函数吗？问问问问2 2 2 2：对于确定的角，这三个比值的大小和点在角的终边上的位置是否有关呢？：对于确定的角，这三个比值的大小和点在角的终边上的位置是否有关呢？：对于确定的角，这三个比值的大小和点在角的终边上的位置是否有关呢？：对于确定的角，这三个比值的大小和点在角的终边上的位置是否有关呢？问问问问3 3 3 3：你能选出适当的点使表达式简化吗？：你能选出适当的点使表达式简化吗？：你能选出适当的点使表达式简化吗？：你能选出适当的点使表达式简化吗？1oyxP(，)的终边 r锐角三角函数定义锐角三角函数定

12、义思考思考:在终边上移在终边上移在终边上移在终边上移动点动点动点动点P P P P的位置的位置的位置的位置,这这这这三个比值会改变三个比值会改变三个比值会改变三个比值会改变吗吗吗吗?flash如何用直角坐标系内点的坐标表如何用直角坐标系内点的坐标表示锐角三角形的三角函数？示锐角三角形的三角函数？xOyMP(x,y)1在直角坐标系中，我们称以原点在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，为圆心，以单位长度为半径的圆为以单位长度为半径的圆为单位圆单位圆（即：（即：r=1）r=1当当为任意角，它的终边与单位圆交于为任意角，它的终边与单位圆交于点点P（x，y），那么），那么（1）叫做叫做的的正弦正弦,记作记

13、作sin，即，即sin=y；（2）叫做叫做的的余弦余弦,记作记作cos，即，即cos=x；（3）叫做叫做的的正切正切(tangent)，记作，记作tan，即即tan=（x0）xOyA(1,0)P(x,y)yxO设设是一个任意角是一个任意角,它的终边与单它的终边与单位圆交于点位圆交于点P(x,y),P(x,y),那么那么:（1 1）y y 叫做叫做的正弦，记作的正弦，记作 ，即即（2 2）x x叫做叫做 的余弦，记作的余弦，记作 ，即即（3 3）叫做叫做 的正切，记作的正切，记作 ，即即三角函数的定义例例2：已知角：已知角的终边经过点的终边经过点P0（-3，-4），求角），求角的正弦、余弦和正切

14、值的正弦、余弦和正切值解：由已知可得：解：由已知可得：OP0=（-3）2+（-4）2=5于是，于是，sin=y=-y1-|MP|OP|M0P0|OP0|45-cos=x=-x1-|OM|OP|OM0|OP0|35-tan=yxsincos43MMP(x,y)P(x,y)OOP P0 0(-3,-(-3,-4)M02.用单位圆定义任意角的三角函数用单位圆定义任意角的三角函数xyo的终边设设是一个任意角，它的终边是一个任意角，它的终边与单位圆交于一点与单位圆交于一点，那么那么（）（）叫做叫做的正切，记作的正切，记作，即即（）（）（）（）叫做叫做，即，即的余弦，记作的余弦，记作叫做叫做的正弦，记作的

15、正弦，记作，即，即正弦、余弦、正切都是以正弦、余弦、正切都是以角角为自变量，以单位圆上的点的为自变量，以单位圆上的点的坐坐或坐标的比值或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数三角函数.标标3.概念辨析概念辨析任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义与锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义,有什么有什么区别区别和和联系联系?联系联系:任意角的三角函数是任意角的三角函数是锐角三角函数的锐角三角函数的推广推广；锐角三角函数是锐角三角函数是任意角的三角函数的任意角的三角函数的特例特例。区别：区别：锐角三角函数是以锐角三角函数是以边长的比边长的比来定义的，来定义

16、的，都是都是正值正值；任意角的三角函数是以任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标与距离、坐标与坐标的比坐标的比来定义的，来定义的，不一定是正值不一定是正值。xyo的终边说说 明明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值横坐标的比值.的横坐标，的横坐标，正切就是正切就是 交点的纵坐标与交点的纵坐标与（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数三角函数可以看成是自变量为实数的函数.（2）正弦、余弦总有意义正弦、余弦总有意义.当当 的终边在的终边在 横坐标等

17、于横坐标等于0，无意义，此时无意义，此时 轴上时，点轴上时，点P 的的任意角三角函数的定义:定义域：定义域：R定义域：定义域：R定义域：定义域：正弦、余弦，正切都是以角为自变正弦、余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。以上三种函数统值为函数值的函数。以上三种函数统称称三角函数三角函数例1：求 的正弦,余弦和正切值。yxO练习：课本15页1例1 求 的正弦、余弦、正切的值.yxO小结：求角的角的三角函数值，可求终边与单位圆终边与单位圆交于点的纵横坐标交于点的纵横坐标或坐标的比值.解：OxyP（x，y）M点评：若已知角点评：若已知

18、角的大小，可求出角的大小，可求出角终边与单位圆的交点，终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。然后再利用定义求三角函数值。分析：解RtOMP可得点 ，故【例【例2】：求角】：求角 的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。变式变式2 2：已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(2a,-3a)(a0)，求角，求角的的正弦、余弦、正切值正弦、余弦、正切值 设角设角 是一个任意角，是一个任意角，是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 任意角任意角 的三角函

19、数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的终在角的终边上的位置无关边上的位置无关.定义推广：定义推广：例例2 已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余弦的正弦、余弦和正切值和正切值.解解:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，分别过点分别过点 、作作 轴的垂线轴的垂线 、于是，于是，于是于是，巩固 提高练习练习 已知角已知角 的终边过点的终边过点 ，求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.解：由已知可得：解：由已知可得：探究：探究：三角函数定义域1.三角函数的定义域三角函数的定义域三角函数值的符号问题三角函数值的符号问题(

20、)()()()()()()()()()()（）+-+-+-2.三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号2、三角函数值的符号 均为正均为正sinsintantanx0 0ycoscos完成完成P13P13探究内容探究内容口诀：口诀：“一正二正弦；三切四余弦。一正二正弦；三切四余弦。”(1)(1)正弦正弦:sin:sin=y;(2)(2)余弦余弦:cos:cos=x;(3)(3)正切正切:tan:tan=(=(x0).0).如果两个角的终边相同，那么这两个角的如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）终边相

21、同的角的同一三角函数值相等（公式一）其中其中 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求求 角的三角函数值角的三角函数值.？终边相同终边相同终边相同的角的三角函数值终边相同的角的三角函数值点的坐标相同点的坐标相同同一函数值相同同一函数值相同公式一（弧度制）公式一（弧度制）与与 终边相同的角可以表示为：终边相同的角可以表示为：（角度制）（角度制）0 xy P(x,y)小结小结1.1.三角函数都是以角为自变量，在弧度三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的自变量与函数值都是制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值在实数范围内取值

22、.2.2.三角函数的定义是三角函数的理论基三角函数的定义是三角函数的理论基础，三角函数的定义域、函数值符号、础，三角函数的定义域、函数值符号、公式一等，都是在此基础上推导出来的公式一等，都是在此基础上推导出来的.1、任意角三角函数的定义：、任意角三角函数的定义：若已知角若已知角终边与单位圆交于点终边与单位圆交于点P(x，y)，则：，则：2、解题方法总结、解题方法总结（1）已知交点）已知交点P的坐标，直接用定义的坐标，直接用定义（2）已知角，则先求交点）已知角，则先求交点P的坐标再用定义的坐标再用定义4.4.一个任意角的三角函数只与这个角的一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点终边位置有关，与点P P（x x，y y）在终边上）在终边上的位置无关的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈公式一揭示了三角函数值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现一周，函数值重复出现.3.3.若已知角若已知角的一个三角函数符号，则的一个三角函数符号，则角角所在的象限有两种可能；若已知角所在的象限有两种可能；若已知角的两个三角函数符号，则角的两个三角函数符号，则角所在的所在的象限就惟一确定象限就惟一确定.