勾股定理单元 易错题难题学能测试.pdf

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1、一、选择题一、选择题1在ABC中，AB边上的中线CD 3,AB 6,BC AC 8，则ABC的面积为（）A6B7C8D92如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A0.8米B2米C2.2米D2.7米3如图，在ABC中，A 90，AB6，AC 8，ABC与ACB的平分线交于点O，过点O作OD AB于点D，若则AD的长为()A2B2C3D44如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A15B15C 5D155“折竹抵地”问题源自九章算术中，即

2、：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 4 尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1 丈=10 尺)()A3B5C4.2D46下列说法不能得到直角三角形的（）A三个角度之比为 1：2：3 的三角形C三个边长之比为 8：16：17 的三角形B三个边长之比为 3：4：5 的三角形D三个角度之比为 1：1：2 的三角形7勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会

3、徽下列图案中是“赵爽弦图”的是（）ABCD8下列以线段 a、b、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）Aa 9,b 41,c 40Ca:b:c 3:4:5Ba 5,b 5,c 5 2Da 11,b 12,c 139为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5 米长的梯子，准备将梯子架到2.4 米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（）A0.6 米B0.7 米C0.8 米D0.9 米10在四边形 ABCD 中，ABCD，A90，AB1，BDBC，BDBC，CF 平分BCD 交BD、AD 于 E、F，则EDC 的面积为（）A222B322C22D21二、填空题二

4、、填空题11如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm、3 dm 和 1 dm，A 和 B是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物请你想一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 dm12如图，在ABC 中，OA4，OB3，C 点与 A 点关于直线 OB 对称，动点 P、Q 分别在线段 AC、AB 上(点 P 不与点 A、C 重合)，满足BPQBAO.当PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是_13如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，CACB，CE CD，ABC的顶点A在ECD的斜边上若AE 3，AD 7，则AC的长为_14如图，

5、已知DBC 是等腰直角三角形，BE 与 CD 交于点 O，BDC=BEC=90，BF=CF，若 BC=8，OD=2，则 OF=_.15如图，在等边ABC 中，AB6，AN2，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，则 BM+MN 的最小值是_16如图，正方体的底面边长分别为2cm 和 3cm，高为 5cm若一只蚂蚁从 P 点开始经过四个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_cm17如图,AOB30，点M,N分别在OA,OB上，且OM 6,ON 8，点P,Q分别在OB,OA上运动，则PM PQ QN的最小值为_18在等腰RtABC中，C 90，AC 点，且AB

6、AF，则FC _2，过点C作直线lAB，F是l上的一19如图，在ABC中，ABAC10，BC12，BD是高，则点BD的长为_20如图，在等腰ABC 中，ABAC，底边 BC 上的高 AD6cm，腰 AC 上的高 BE4m，则ABC 的面积为_cm2三、解答题三、解答题21在等边ABC中，点D是线段BC的中点，EDF 120,DE与线段AB相交于点E,DF与射线AC相交于点F1如图 1，若DF AC，垂足为F,AB 4,求BE的长；2如图 2，将1中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F求证：BE CF 1AB23如图 3，将2中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使

7、DF与线段AC的延长线交于点F,作DN AC于点N，若DN FN,设BE x,CF y，写出y关于x的函数关系式22如图，ABC,B 90,AB 8cm,BC 6cm,P,Q是边上的两点，点 P 从点 A 开始沿A B方向运动，且速度为每秒1cm，点 Q 从点 B 沿B C A运动，且速度为每秒 2cm，它们同时出发，设出发的时间为t 秒（1）出发 2 秒后，求线段 PQ 的长；（2）求点 Q 在 BC 上运动时，出发几秒后，PQB是等腰三角形；（3）点 Q 在边 CA 上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间23如图，ABC 和 ADE 都是等腰三角形，其中ABAC，ADAE，且 BA

8、C DAE（1）如图，连接 BE、CD，求证：BECD；（2）如图，连接 BE、CD，若 BAC DAE60，CDAE，AD3，CD4，求 BD 的长；（3）如图，若 BAC DAE90，且 C 点恰好落在 DE 上，试探究 CD2、CE2和 BC2之间的数量关系，并加以说明24如图 1，在等腰直角三角形ABC中，动点 D 在直线 AB（点 A 与点 B 重合除外）上时，以 CD 为一腰在 CD 上方作等腰直角三角形ECD，且ECD90，连接 AE（1）判断 AE 与 BD 的数量关系和位置关系；并说明理由（2）如图 2，若BD 4，P，Q 两点在直线 AB 上且EP EQ 5，试求 PQ 的

9、长（3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段 AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由25在等腰 RtABC 中，ABAC，BAC90（1）如图 1，D，E 是等腰 RtABC 斜边 BC 上两动点，且DAE45，将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 后，得到AFC，连接 DF求证：AEDAFD；当 BE3，CE7 时，求 DE 的长；（2）如图 2，点 D 是等腰 RtABC 斜边 BC 所在直线上的一动点，连接AD，以点 A 为直角顶点作等腰 RtADE，当 BD3，BC9 时，求 DE 的长26如图，ACB

10、 和ECD 都是等腰直角三角形，ACBECD90，点 D 在边 AB 上，点 E 在边 AC 的左侧，连接 AE（1）求证：AEBD；（2）试探究线段 AD、BD 与 CD 之间的数量关系；（3）过点 C 作 CFDE 交 AB 于点 F，若 BD：AF1：22，CD3 6，求线段 AB的长27如图，在边长为2正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，E是线段OA上一动点（不包括两个端点），连接BE.（1）如图 1，过点E作EF BE交CD于点F，连接BF交AC于点G.求证：BE EF;设AE x，CG y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）在如图 2 中，请用无刻度的直尺

11、作出一个以BE为边的菱形.28（已知：如图 1，矩形 OACB 的顶点 A，B 的坐标分别是（6，0）、（0，10），点 D是 y 轴上一点且坐标为（0，2），点 P 从点 A 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿线段ACCB 方向运动，到达点B 时运动停止（1）设点 P 运动时间为 t，BPD 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式；（2）当点 P 运动到线段 CB 上时（如图 2），将矩形 OACB 沿 OP 折叠，顶点 B 恰好落在边AC 上点 B位置，求此时点 P 坐标；（3）在点 P 运动过程中，是否存在 BPD 为等腰三角形的情况？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由

12、29阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书数学九章中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的我们也称这个公式为“海伦秦九韶公式”，该公式是：设ABC 中，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，ABC 的面积为 S(a bc)(a bc)(a cb)(bca)4（1）（举例应用）已知ABC 中，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 a4，b5，c7，则ABC 的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB（26+42）m，BC5m，CD7m，AD46m，A60，求该块草地的面积

13、30已知，矩形 ABCD 中，AB4cm，BC8cm，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD、BC 于点E、F，垂足为 O（1）如图 1，连接 AF、CE求证：四边形 AFCE 为菱形（2）如图 1，求 AF 的长（3）如图 2，动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，沿AFB 和CDE 各边匀速运动一周即点 P 自 AFBA 停止，点 Q 自 CDEC 停止在运动过程中，点P 的速度为每秒 1cm，设运动时间为 t 秒问在运动的过程中，以A、P、C、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间 t 和点 Q 的速度；若不可能，请说明理由若点 Q 的速度为每秒 0.8cm

14、，当 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题一、选择题1B解析：B【分析】本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定ABC 为直角三角形，再根据勾股定理求得2AC BC 28，最后根据ABC【详解】1ACBC求解即可.2解：如图，在ABC中，AB边上的中线，CD=3，AB=6，CD=3，AB=6，CD=AD=DB，12，34，1234180，1390，ABC是直角三角形，AC2 BC2 AB2 36，又ACBC 8，AC2 2AC BC BC2 64，2AC BC 64(AC2 BC2)6436 28，又ABC1ACBC，212

15、8 7，22SABC故选 B.【点睛】本题考查三角形中位线的应用，熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力，关键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考虑它是一个直角三角形，通过等腰三角形的性质和内角和定理来证明一个三是直角三角形.2D解析：D【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度【详解】解：如图，由题意可得：AD2=0.72+2.42=6.25，在 RtABC 中，ABC=90，BC=1.5 米，BC2+AB2=AC2，AD=AC，AB2+1.52=6.25，AB=2，AB0，AB=2 米，小巷的宽度为：0.7+2=

16、2.7（米）故选：D.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图3B解析：B【分析】过点 O作 OEBC于 E，OFAC 于 F，由角平分线的性质得到 OD=OE=OF，根据勾股定理求出 BC的长，易得四边形 ADFO为正方形，根据线段间的转化即可得出结果.【详解】解：过点 O 作 OEBC 于 E，OFAC 于 F，BO,CO 分别为ABC，ACB 的平分线，所以 OD=OE=OF，又 BO=BO,BDOBEO,BE=BD.同理可得，CE=CF.又四边形 ADOE 为矩

17、形，四边形 ADOE 为正方形.AD=AF.在 RtABC 中，AB=6，AC=8，BC=10.AD+BD=6,AF+FC=8，BE+CE=BD+CF=10，+得，AD+BD+AF+FC=14，即 2AD+10=14，AD=2.故选：B.【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型4A解析：A【分析】首先根据勾股定理得出圆弧的半径,然后得出点 A 的坐标.【详解】解：1222=5由图可知：点 A 所表示的数为:15故选：A【点睛】本题主要考查的就是数轴上点所表示的数,属于基础题型.解决这个问题的关键就是求出斜边的长度.在数轴上两点之间的距离是指两点所表示

18、的数的差的绝对值.5C解析：C【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可【详解】解：设折断处离地面的高度OA 是 x 尺，根据题意可得：x2+42=（10-x）2，解得：x=4.2，答：折断处离地面的高度OA 是 4.2 尺故选 C【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键6C解析：C【分析】三角形内角和 180，根据比例判断 A、D 选项中是否有 90的角，根据勾股定理的逆定理判断 B、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系.【详解】A 中，三个角之比为 1:2:3，则这三个角分别为：30、60、90，是直角三角形；D 中，三个角之比为 1:1:2，

19、则这三个角分别为：45、45、90，是直角三角形；B 中，三边之比为 3:4:5，设这三条边长为：3x、4x、5x，满足：3x4x5x，是直角三角形；C 中，三边之比为 8:16:17，设这三条边长为：8x、16x、17x，8x16x17x，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形故选：C【点睛】本题考查直角三角形的判定，常见方法有2 种；（1）有一个角是直角的三角形；（2）三边长满足勾股定理逆定理.2222227B解析：B【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形【详解】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选 B

20、.【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理8D解析：D【分析】根据直角三角形的判定，符合a2+b2c2即可；反之不符合的不能构成直角三角形【详解】解：A、因为 92+402412，故能构成直角三角形；B、因为 5+5=5 2222，故能构成直角三角形；222C、因为3x4x=5x，故能构成直角三角形；D、因为 112+122152，故不能构成直角三角形；故选：D【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足a2b2 c2关系时，则三角形为直角三角形9B解析：B【解析】

21、试题解析：依题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理得：梯脚与墙角距离：2.522.42=0.7（米）故选 B10C解析：C【分析】先过点 E 作 EGCD 于 G，再判定 BCD、ABD 都是等腰直角三角形，并求得其边长，最后利用等腰直角三角形，求得EG 的长，进而得到 EDC 的面积【详解】解：过点 E 作 EGCD 于 G，又 CF 平分 BCD，BDBC，BEGE，在 RtBCE 和 RtGCE 中CE CE，BE GERtBCERtGCE，BCGC，BDBC，BDBC，BCD 是等腰直角三角形，BDC45，AB/CD，ABD45，又 A90，AB1，等腰直

22、角三角形 ABD 中，BD12122BC，RtBDC 中，CD22222，DGDCGC22，DEG 是等腰直角三角形，EGDG22，EDC 的面积故选：C11DCEG2（22）2222【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形EDG 进行求解二、填空题二、填空题11【解析】试题分析：将台阶展开，如图，AC 3313 12,BC 5,AB2 AC2 BC2169,AB 13,即蚂蚁爬行的最短线路为13dm.考点：平面展开：最短路径问题78【分析】121 或分为三种情况：PQ BP，BQ Q

23、P，BQ BP，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解【详解】解：分为 3 种情况：当PB PQ时，OA 4，OB3，BC AB 42325，C点与A点关于直线OB对称，BAOBCO，BPQ BAO，BPQ BCO，APB APQBPQ BCO CBP，APQ CBP，在APQ和CBP中，BAO BCPAPQ CBP，PB PQAPQCBP(AAS)，AP BC 5，OP APOA1；当BQ BP时，BPQ BQP，BPQ BAO，BAO BQP，根据三角形外角性质得：BQP BAO，这种情况不存在；当QB QP时，QBP BPQ BAO，PB PA，设OP x，则PB PA 4 x在RtOBP中

24、，PB2 OP2OB2，(4 x)2 x232，解得：x 7；87；8当PQB为等腰三角形时，OP 1或【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论135【分析】由题意可知，ACBC，DCEC，DCEACB90，DE45，求出ACEBCD 可证ACEBCD，可得 AEBD3，ADB90，由勾股定理求出 AB 即可得到 AC 的长【详解】解：如图所示，连接 BD，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACBC，DCEC，DCEACB90，DE45，且ACEBCD90-ACD，在ACE 和BCD 中，AC=BCAC

25、E=BCDCE=CDACEBCD（SAS），AEBD3，EBDC45，ADBADC+BDC45+4590，ABAD2+BD2=7+3=10，AB=2BC，BC2AB=5，2故答案为：5【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键1410【分析】过点 F作 FGBE，连接 OF、EF，先根据等腰直角三角形的性质得出DC 的值，再用勾股定理求出OE的值，然后根据中位线定理得出FG的的值，最后再根据勾股定理得出OF的值即可.【详解】过点 F作 FGBE，连接 OF、EF，如下图所示：DBC是等腰直角三角形，且BF CF，

26、BC8DC DB OD BC 4 222OC DC OD 3 2OBBD2DO234设OE x，BEC=90则OC2OE2 BC2OBOEOE 23 341712 3417EC OC2 EO2BF CF，FGBE，BEC=90FG 16 34EC 21720 3417BE BO OE GO GE OE 17 34BE OE 217OF=GO2GF2 10【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度比较高，准确作出辅助线是关键.157【解析】【分析】通过作辅助线转化 BM，MN 的值，从而找出其最小值求解【详解】解：连接 CN，与 AD 交于点 M则 C

27、N 就是 BM+MN 的最小值取 BN 中点 E，连接 DE，如图所示：等边ABC 的边长为 6，AN2，BNACAN624，BEENAN2，又AD 是 BC 边上的中线，DE 是BCN 的中位线，CN2DE，CNDE，又N 为 AE 的中点，M 为 AD 的中点，MN 是ADE 的中位线，DE2MN，CN2DE4MN，CM3CN4113 3BC3，DMAD，22237，2在直角CDM 中，CD22CMCD MD CN437 2 732BM+MNCN，BM+MN 的最小值为 27故答案是：27【点睛】考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用1655【解析】【分析】要求长方体中两点

28、之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答【详解】展开图如图所示：由题意，在 RtAPQ 中，PD=10cm，DQ=5cm，蚂蚁爬行的最短路径长=PQ=PD2QD210252=55（cm），故答案为：55【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是两点之间，线段最短在平面图形上构造直角三角形解决问题1710【分析】首先作 M 关于 OB 的对称点 M，作 N 关于 OA 的对称点 N，连接 MN，即为 MP+PQ+QN的最小值，易得ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，NOM

29、=90，继而可以求得答案【详解】作 M 关于 OB 的对称点 M，作 N 关于 OA 的对称点 N，连接 MN，即为 MP+PQ+QN 的最小值根据轴对称的定义可知：NOQ=MOB=30，ONN=60，OM=OM=6，ON=ON=8，ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，NOM=90在 Rt MON中，MN=OM2ON2=10故答案为 10【点睛】本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键183 1或3 1【解析】如图，lAB，AC 2，作AD l于点D，AD 1，AF AB DF1 DF22 2 2，且F有2个，22123，DC AD1，CF1CD

30、DF11 3CF2 DF2CD31点睛：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答，考查了学生的空间想象能力19485【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC 边上的高为 8，然后根据三角形的面积法可得1148.10BD 128，解得 BD=2252092【分析】根据三角形等面积法求出AC31，在 RtACD 中根据勾股定理得出 AC2=BC2+36，依据BC24这两个式子求出 AC、BC 的值.【详解】AD 是 BC 边上的高，BE 是 AC 边上的高，11ACBEBCAD，22AD6，BE4，AC3，BC2AC29，24BCABA

31、C，ADBC，BDDC1BC，2AC2CD2AD2，AC 212BC+36，41BC23694，4BC2364整理得，BC2，8解得：BC3 2，ABC 的面积为13 269 2cm22故答案为：9 2【点睛】本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用，找出AC 与 BC 的数量关系是解答此题的关键三、解答题三、解答题21（1）BE1；（2）见解析；（3）y 23 x【分析】（1）如图 1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得BED90，进而可得BDE=30，然后根据 30角的直角三角形的性质即可求出结果；（2）过点 D 作 DMAB 于 M，作 DNAC 于 N，如图 2，根据 A

32、AS 易证MBDNCD，则有 BMCN，DMDN，进而可根据 ASA 证明EMDFND，可得 EMFN，再根据线段的和差即可推出结论；（3）过点 D 作 DMAB 于 M，如图 3，同（2）的方法和已知条件可得DMDNFNEM，然后根据线段的和差关系可得BE+CF2DM，BECF2BM，在 RtBMD 中，根据30角的直角三角形的性质可得DM3BM，进而可得 BE+CF3（BECF），代入 x、y 后整理即得结果【详解】解：（1）如图 1，ABC 是等边三角形，BC60，BCACAB4点 D 是线段 BC 的中点，BDDC1BC22DFAC，即AFD90，AED360609012090，BED

33、90，BDE=30，BE1BD1；2（2）过点 D 作 DMAB 于 M，作 DNAC 于 N，如图 2，则有AMDBMDANDCND90A60，MDN360609090120EDF120，MDENDF在MBD 和NCD 中，BMDCND，BC，BD=CD，MBDNCD（AAS），BMCN，DMDN在EMD 和FND 中，EMDFND，DMDN，MDENDF，EMDFND（ASA），EMFN，BE+CFBM+EM+CNFNBM+CN2BMBD11BCAB；22（3）过点 D 作 DMAB 于 M，如图 3，同（2）的方法可得：BMCN，DMDN，EMFNDNFN，DMDNFNEM，BE+CFB

34、M+EM+FNCNNF+EM2DM=x+y，BECFBM+EM（FNCN）BM+NC2BM=xy，在 RtBMD 中，BDM=30，BD=2BM，DMBD2BM2=3BM，x y 3x y，整理，得y 23 x【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键8秒3后，PQB 是等腰三角形；（3）当 t 为 5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒时，BCQ 为等腰三角形.【分析】（1）由题意可以求出出发2 秒后，BQ 和 PB 的长度，再由勾股定理可以求得PQ 的

35、长度；（2）设所求时间为 t，则可由题意得到关于 t 的方程，解方程可以得到解答；22（1）出发 2 秒后，线段 PQ 的长为2 13；（2）当点 Q 在边 BC 上运动时，出发（3）点 Q 在边 CA 上运动时，BCQ 为等腰三角形有三种情况存在，对每种情况进行讨论可以得到解答【详解】(1)BQ=22=4cm，BP=ABAP=821=6cm，B=90，由勾股定理得：PQ=BQ2 BP2426252 2 13出发 2 秒后，线段 PQ 的长为2 13；(2)BQ=2t，BP=8t由题意得：2t=8t解得：t=838秒后，PQB 是等腰三角形；3当点 Q 在边 BC 上运动时，出发(3)ABC=

36、90，BC=6，AB=8，AC=6282=10.当 CQ=BQ 时(图 1)，则C=CBQ，ABC=90，CBQ+ABQ=90，A+C=90，A=ABQ，BQ=AQ，CQ=AQ=5，BC+CQ=11，t=112=5.5 秒；当 CQ=BC 时(如图 2)，则 BC+CQ=12t=122=6 秒当 BC=BQ 时(如图 3)，过 B 点作 BEAC 于点 E，BE=ABBC6824，AC10518=3.6，5所以 CE=BC2BE2=故 CQ=2CE=7.2，所以 BC+CQ=13.2，t=13.22=6.6 秒.由上可知，当 t 为 5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒时，BCQ 为等腰三角形.

37、【点睛】本题考查三角形的动点问题，利用分类讨论思想和方程方法、综合力学的运动知识和三角形边角的有关知识求解是解题关键23（1）证明见解析；（2）5；（3）CD2+CE2BC2，证明见解析【分析】（1）先判断出BAE=CAD，进而得出 ACDABE，即可得出结论（2）先求出CDA=1ADE=30，进而求出BED=90，最后用勾股定理即可得出结论2（3）方法 1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出 CD2+CE2=2（AP2+CP2），再判断出 CD2+CE2=2AC2即可得出结论【详解】解：BACDAE，BAC+CAEDAE+CAE，即BAECAD又ABAC，ADAE，ACDABE（S

38、AS），CDBE（2）如图 2，连结 BE，ADAE，DAE60，ADE 是等边三角形，DEAD3，ADEAED60，CDAE，CDA11ADE6030，22由（1）得ACDABE，BECD4，BEACDA30，BEDBEA+AED30+6090，即 BEDE，BDBE2 DE232425（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2BC2，理由如下：解法一：如图 3，连结 BEADAE，DAE90，DAED45，由（1）得ACDABE，BECD，BEACDA45，BECBEA+AED45+4590，即 BEDE，在 RtBEC 中，由勾股定理可知：BC2BE2+CE2BC2CD

39、2+CE2解法二：如图 4，过点 A 作 APDE 于点 PADE 为等腰直角三角形，APDE，APEPDPCD2（CP+PD）2（CP+AP）2CP2+2CPAP+AP2，CE2（EPCP）2（APCP）2AP22APCP+CP2，CD2+CE22AP2+2CP22（AP2+CP2），在 RtAPC 中，由勾股定理可知：AC2AP2+CP2，CD2+CE22AC2ABC 为等腰直角三角形，由勾股定理可知：AB2+AC2BC2，即 2AC2BC2，CD2+CE2BC2【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解

40、（1）的关键是判断出BAE=CAD，解（2）（3）的关键是判断出 BEDE，是一道中等难度的中考常考题24（1）AE=BD 且 AEBD；（2）6；（3）PQ 为定值 6，图形见解析【分析】（1）由“SAS”可证ACEBCD，可得 AE=BD，EAC=DBC=45，可得 AEBD；（2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ，由勾股定理可求 PA的长，即可求 PQ 的长；（3）分两种情况讨论，由“SAS”可证ACEBCD，可得 AE=BD，EAC=DBC，可得AEBD，由等腰三角形的性质可得PA=AQ，由勾股定理可求 PA的长，即可求 PQ 的长【详解】解：（1）AE=BD，AEBD，理由如下：AB

41、C，ECD 都是等腰直角三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=90，ABC=CAB=45，ACE=DCB，且 AC=BC，CE=CD，ACEBCD（SAS）AE=BD，EAC=DBC=45，EAC+CAB=90，AEBD；（2）PE=EQ，AEBD，PA=AQ，EP=EQ=5，AE=BD=4，AQ=EQ2 AE2=2516=3，PQ=2AQ=6；（3）如图 3，若点 D 在 AB 的延长线上，ABC，ECD 都是等腰直角三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=90，ABC=CAB=45，ACE=DCB，且 AC=BC，CE=CD，ACEBCD（SAS）AE=BD，CBD=CA

42、E=135，且CAB=45，EAB=90，PE=EQ，AEBD，PA=AQ，EP=EQ=5，AE=BD=4，AQ=EQ2 AE2=2516=3，PQ=2AQ=6；如图 4，若点 D 在 BA 的延长线上，ABC，ECD 都是等腰直角三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=90，ABC=CAB=45，ACE=DCB，且 AC=BC，CE=CD，ACEBCD（SAS）AE=BD，CBD=CAE=45，且CAB=45，EAB=90，PE=EQ，AEBD，PA=AQ，EP=EQ=5，AE=BD=4，AQ=EQ2 AE2=2516=3，PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角

43、形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明 AEBD 是本题的关键25（1）见解析；DE【分析】（1）先证明DAEDAF，结合 DADA，AEAF，即可证明；如图1 中，设 DEx，则 CD7x在 RtDCF 中，由 DF2CD2+CF2，CFBE3，可得 x2（7x）2+32，解方程即可；（2）分两种情形：当点E 在线段 BC 上时，如图 2 中，连接 BE由EADADC，推出ABECABC45，EBCD5，推出EBD90，推出 DE2BE2+BD262+3245，即可解决问题；当点D 在 CB 的延长线上时，如图 3 中，同法可得 DE2153【详解】（1）如图 1 中，将AB

44、E 绕点 A 逆时针旋转 90后，得到AFC，BAECAF，AEAF，BAECAF，BAC90，EAD45，CAD+BAECAD+CAF45，DAEDAF，DADA，AEAF，AEDAFD（SAS）；如图 1 中，设 DEx，则 CD7xABAC，BAC90，BACB45，ABEACF45，DCF90，29；（2）DE 的值为 35或 3177AEDAFD（SAS），DEDFx，在 RtDCF 中，DF2CD2+CF2，CFBE3，x2（7x）2+32，x29，729；7DE（2）BD3，BC9，分两种情况如下：当点 E 在线段 BC 上时，如图 2 中，连接 BEBACEAD90，EABDA

45、C，AEAD，ABAC，EABDAC（SAS），ABECABC45，EBCD9-3=6，EBD90，DE2BE2+BD262+3245，DE35；当点 D 在 CB 的延长线上时，如图 3 中，连接 BE同理可证DBE 是直角三角形，EBCD3+9=12，DB3，DE2EB2+BD2144+9153，DE317，综上所述，DE 的值为 35或 317【点睛】本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键26（1）见解析；（2）BD2+AD22CD2；（3）AB22+4【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明ACEBCD即可得到结论；

46、（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接 EF，设 BDx，利用（1）、（2）求出 EF=3x，再利用勾股定理求出 x，即可得到答案.【详解】（1）证明：ACB 和ECD 都是等腰直角三角形ACBC，ECDC，ACBECD90ACBACDECDACDACEBCD，ACEBCD（SAS），AEBD（2）解：由（1）得ACEBCD，CAECBD，又ABC 是等腰直角三角形，CABCBACAE45，EAD90，在 RtADE 中，AE2+AD2ED2，且 AEBD，BD2+AD2ED2，ED2CD，BD2+AD22CD2，（3）解：连接 EF，设 BDx，BD：AF1：22，则

47、AF22x，ECD 都是等腰直角三角形，CFDE，DFEF，由（1）、（2）可得，在 RtFAE 中，EF22AF2 AE2(2 2x)x3x，AE2+AD22CD2，x2(2 2x 3x)2 2(3 6)2，解得 x1，AB22+4【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.27(1)见解析；y【解析】【分析】22x0 x 1；（2）见解析2 x（1）连接 DE，如图 1，先用 SAS 证明CBECDE，得 EB=ED，CBE=1，再用四边形的内角和可证明EBC=2，从而可得1=2，进一步即可证得结论；将BAE 绕点 B 顺时针旋转 90，点 E 落在点 P 处，

48、如图 2，用 SAS 可证PBGEBG，所以 PG=EG=2xy，在直角三角形 PCG 中，根据勾股定理整理即得y 与x 的函数关系式，再根据题意写出x 的取值范围即可.（2）由（1）题已得 EB=ED，根据正方形的对称性只需再确定点E 关于点 O 的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE交 AD 于点 M，再连接 MO 并延长交 BC于点 N，再连接DN 交 AC 于点 Q，问题即得解决.【详解】（1）证明：如图 1，连接 DE，四边形 ABCD 是正方形，CB=CD，BCE=DCE=45，又CE=CE，CBECDE（SAS），EB=ED，CBE=1，BEC=90，BCF=90，EBC+EF

49、C=180，EFC+2=180，EBC=2，1=2.ED=EF，BE=EF.解：正方形 ABCD 的边长为2，对角线 AC=2.将BAE 绕点 B 顺时针旋转 90，点 A 与点 C 重合，点 E 落在点 P 处，如图 2，则BAEBCP，BE=BP，AE=CP=x，BAE=BCP=45，EBP=90，由可得，EBF=45，PBG=45=EBG，PB EB在PBG 与EBG 中，PBG EBG，BG BGPBGEBG（SAS）.PG=EG=2xy，PCG=GCB+BCP=45+45=90，在 RtPCG 中，由PC2CG2 PG2，得x2 y22 x y，化简，得y 222x0 x 1.2 x

50、（2）如图 3，作法如下：延长BE交 AD 于点 M，连接 MO 并延长交 BC于点 N，连接 DN 交 AC 于点 Q，连接 DE、BQ，则四边形 BEDQ 为菱形.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决小题的关键，利用正方形的对称性确定点 Q 的位置是解决（2）题的关键.24(0 t 6)1028（1）S=（2）,10（3）存在，(6,6)或(6,10 2 7)，34t 64(6 t 16)(6,2 7 2)【解析】【分析】（1）当 P 在 AC 段时，BPD 的底 BD 与高为固定值，求