最新全国各地中考~数学分类-圆综合题(解析版).doc

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1、.2017 年圆中考分类（年圆中考分类（4） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析一解答题（共一解答题（共 30 小题）小题） 1 （2017恩施州）如图，AB、CD 是O 的直径，BE 是O 的弦，且 BECD，过点 C 的 切线与 EB 的延长线交于点 P，连接 BC （1）求证：BC 平分ABP； （2）求证：PC2=PBPE；（3）若 BEBP=PC=4，求O 的半径【考点】MC：切线的性质；KD：全等三角形的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性 质菁优网版权所有 【分析】 （1）由 BECD 知1=3，根据2=3 即可得1=2； （2）连接 EC、AC，由 PC 是O 的切线且 B

2、EDC，得1+4=90，由A+2=90且A=5 知5+2=90，根据1=2 得4=5，从而证得PBCPCE 即可；（3）由 PC2=PBPE、BEBP=PC=4 求得 BP=2、BE=6，作 EFCD 可得 PC=FE=4、FC=PE=8，再RtDEFRtBCP 得 DF=BP=2，据此得出 CD 的长即可 【解答】解：（1）BECD，1=3， 又OB=OC，2=3， 1=2，即 BC 平分ABP；（2）如图，连接 EC、AC，PC 是O 的切线， PCD=90， 又BEDC，P=90，.1+4=90， AB 为O 直径， A+2=90， 又A=5，5+2=90， 1=2， 5=4， P=P，

3、 PBCPCE，=，即 PC2=PBPE；（3）BEBP=PC=4，BE=4+BP， PC2=PBPE=PB（PB+BE） ，42=PB（PB+4+PB） ，即 PB2+2PB8=0，解得：PB=2， 则 BE=4+PB=6，PE=PB+BE=8， 作 EFCD 于点 F，P=PCF=90， 四边形 PCFE 为矩形，PC=FE=4，FC=PE=8，EFD=P=90， BECD，=，DE=BC， 在 RtDEF 和 RtBCP 中，RtDEFRtBCP（HL） ， DF=BP=2， 则 CD=DF+CF=10，O 的半径为 5 【点评】本题主要考查切线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形

4、的判定与性质， 熟练掌握平行线的性质、切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及全等三角 形的判定与性质等知识点是解题的关键2 （2017常德）如图，已知 AB 是O 的直径，CD 与O 相切于 C，BECO （1）求证：BC 是ABE 的平分线； （2）若 DC=8，O 的半径 OA=6，求 CE 的长.【考点】MC：切线的性质菁优网版权所有 【分析】 （1）由 BECO，推出OCB=CBE，由 OC=OB，推出OCB=OBC，可得CBE=CBO；（2）在 RtCDO 中，求出 OD，由 OCBE，可得=，由此即可解决问题；【解答】 （1）证明：DE 是切线，OCDE， BECO， O

5、CB=CBE， OC=OB， OCB=OBC， CBE=CBO， BC 平分ABE（2）在 RtCDO 中，DC=8，OC=0A=6，OD=10，OCBE，=，=，EC=4.8【点评】本题考查切线的性质、平行线的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，解题 的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型3 （2017遵义）如图，PA、PB 是O 的切线，A、B 为切点，APB=60，连接 PO 并延长 与O 交于 C 点，连接 AC，BC （1）求证：四边形 ACBP 是菱形； （2）若O 半径为 1，求菱形 ACBP 的面积.【考点】MC：切线的性质；LA：菱形的判定与性质菁优网版权所有

6、【分析】 （1）连接 AO，BO，根据 PA、PB 是O 的切线，得到OAP=OBP=90，PA=PB，APO=BPO=APB=30，由三角形的内角和得到AOP=60，根据三角形外角的性质得到ACO=30，得到 AC=AP，同理 BC=PB，于是得到结论； （2）连接 AB 交 PC 于 D，根据菱形的性质得到 ADPC，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：（1）连接 AO，BO，PA、PB 是O 的切线，OAP=OBP=90，PA=PB，APO=BPO=APB=30，AOP=60， OA=OC， OAC=OCA， AOP=CAO+ACO， ACO=30， ACO=APO， AC=AP， 同

7、理 BC=PB，AC=BC=BP=AP， 四边形 ACBP 是菱形； （2）连接 AB 交 PC 于 D，ADPC， OA=1，AOP=60，AD=OA=，PD=，PC=3，AB=，菱形 ACBP 的面积=ABPC=.【点评】本题考查了切线的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定， 熟练掌握切线的性质是解题的关键4 （2017大连）如图，AB 是O 直径，点 C 在O 上，AD 平分CAB，BD 是O 的切线， AD 与 BC 相交于点 E （1）求证：BD=BE； （2）若 DE=2，BD=，求 CE 的长【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形菁优网版权

8、所有 【分析】 （1） ）设BAD=，由于 AD 平分BAC，所以CAD=BAD=，进而求出D=BED=90，从而可知 BD=BE；（2）设 CE=x，由于 AB 是O 的直径，AFB=90，又因为 BD=BE，DE=2，FE=FD=1，由于BD=，所以 tan=，从而可求出 AB=2，利用勾股定理列出方程即可求出 x的值 【解答】解：（1）设BAD=，AD 平分BAC CAD=BAD=， AB 是O 的直径，ACB=90，ABC=902，BD 是O 的切线， BDAB， DBE=2，BED=BAD+ABC=90，D=180DBEBED=90，D=BED， BD=BE （2）设 AD 交O 于

9、点 F，CE=x，连接 BF，AB 是O 的直径， AFB=90， BD=BE，DE=2， FE=FD=1， BD=，.tan=，AC=2xAB=2在 RtABC 中， 由勾股定理可知：（2x）2+（x+）2=（2）2，解得：x=或 x=，CE=；【点评】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解方程等知 识，综合程度较高，属于中等题型5 （2017金华）如图，已知：AB 是O 的直径，点 C 在O 上，CD 是O 的切线，ADCD 于点 D，E 是 AB 延长线上一点，CE 交O 于点 F，连接 OC、AC （1）求证：AC 平分DAO （2）若DAO=105，E=30

10、求OCE 的度数； 若O 的半径为 2，求线段 EF 的长【考点】MC：切线的性质菁优网版权所有 【分析】 （1）由切线性质知 OCCD，结合 ADCD 得 ADOC，即可知DAC=OCA=OAC，从而得证； （2）由 ADOC 知EOC=DAO=105，结合E=30可得答案； 作 OGCE，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知 CG=FG=OG，由 OC=2得出 CG=FG=OG=2，在 RtOGE 中，由E=30可得答案 【解答】解：（1）CD 是O 的切线，OCCD， ADCD， ADOC，.DAC=OCA， OC=OA， OCA=OAC， OAC=DAC， AC 平分DAO；（2）ADO

11、C，EOC=DAO=105， E=30， OCE=45； 作 OGCE 于点 G，则 CG=FG=OG，OC=2，OCE=45， CG=OG=2， FG=2， 在 RtOGE 中，E=30，GE=2， 【点评】本题主要考查圆的切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角 形性质，熟练掌握切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质是 解题的关键6 （2017东营）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，过点 D 作O 的切线 DE，交 AC 于点 E，AC 的反向延长线交O 于点 F （1）求证：DEAC； （2）若 DE+EA=8，

12、O 的半径为 10，求 AF 的长度【考点】MC：切线的性质；KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；LD：矩形的判定与 性质菁优网版权所有 【分析】 （1）欲证明 DEAC，只需推知 ODAC 即可； （2）如图，过点 O 作 OHAF 于点 H，构建矩形 ODEH，设 AH=x则由矩形的性质推知：AE=10x，OH=DE=8（10x）=x2在 RtAOH 中，由勾股定理知：x2+（x2）2=102，通过解方程得到 AH 的长度，结合 OHAF，得到 AF=2AH=28=16 【解答】 （1）证明：OB=OD，ABC=ODB， AB=AC，.ABC=ACB， ODB=ACB， ODAC DE

13、 是O 的切线，OD 是半径， DEOD， DEAC；（2）如图，过点 O 作 OHAF 于点 H，则ODE=DEH=OHE=90， 四边形 ODEH 是矩形，OD=EH，OH=DE 设 AH=xDE+AE=8，OD=10，AE=10x，OH=DE=8（10x）=x2在 RtAOH 中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即 x2+（x2）2=102，解得 x1=8，x2=6（不合题意，舍去） AH=8 OHAF，AH=FH=AF，AF=2AH=28=16【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质解题时，利用了方程思 想，属于中档题7 （2017湖州）如图，O 为 RtABC

14、的直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E已知 BC=，AC=3 （1）求 AD 的长； （2）求图中阴影部分的面积.【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算菁优网版权所有【分析】 （1）首先利用勾股定理求出 AB 的长，再证明 BD=BC，进而由 AD=ABBD 可求出；（2）利用特殊角的锐角三角函数可求出A 的度数，则圆心角DOA 的度数可求出，在直 角三角形 ODA 中求出 OD 的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积 【解答】解： （1）在 RtABC 中，BC=，AC=3AB=2，BCOC， BC 是圆的切线， O

15、与斜边 AB 相切于点 D， BD=BC，AD=ABBD=2=；（2）在 RtABC 中，sinA=，A=30， O 与斜边 AB 相切于点 D， ODAB，AOD=90A=60，=tanA=tan30，=，OD=1，S阴影=【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关的 各种性质定理是解题的关键8 （2017邵阳）如图所示，直线 DP 和圆 O 相切于点 C，交直径 AE 的延长线于点 P过点 C 作 AE 的垂线，交 AE 于点 F，交圆 O 于点 B作平行四边形 ABCD，连接 BE，DO，CO.（1）求证：DA=DC； （2）求P 及AEB 的大小【考点

16、】MC：切线的性质；L5：平行四边形的性质菁优网版权所有 【分析】 （1）欲证明 DA=DC，只要证明 RtDAORtDCO 即可； （2）想办法证明P=30即可解决问题； 【解答】 （1）证明：在平行四边形 ABCD 中，ADBC，CBAE， ADAE， DAO=90， DP 与O 相切于点 C， DCOC， DCO=90， 在 RtDAO 和 RtDCO 中，RtDAORtDCO， DA=DC（2）CBAE，AE 是直径，CF=FB=BC，四边形 ABCD 是平行四边形，AD=BC，CF=AD，CFDA， PCFPDA，=，PC=PD，DC=PD，DA=DC，DA=PD，在 RtDAP 中

17、，P=30，DPAB，.FAB=P=30， AE 是O 的直径， ABE=90， AEB=60【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角 形中 30 度角的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形 或相似三角形解决问题，属于中考常考题型9 （2017温州）如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=90，O（圆心 O 在ABC 内部）经 过 B、C 两点，交 AB 于点 E，过点 E 作O 的切线交 AC 于点 F延长 CO 交 AB 于点 G，作EDAC 交 CG 于点 D （1）求证：四边形 CDEF 是平行四边形； （2）若 BC

18、=3，tanDEF=2，求 BG 的值【考点】MC：切线的性质；L7：平行四边形的判定与性质；T7：解直角三角形菁优网版 权所有 【分析】 （1）连接 CE，根据等腰直角三角形的性质得到B=45，根据切线的性质得到FEO=90，得到 EFOD，于是得到结论； （2）过 G 作 GNBC 于 N，得到GMB 是等腰直角三角形，得到 MB=GM，根据平行四边 形的性质得到FCD=FED，根据余角的性质得到CGM=ACD，等量代换得到CGM=DEF，根据三角函数的定义得到 CM=2GM，于是得到结论 【解答】解：（1）连接 CE， 在ABC 中，AC=BC，ACB=90，B=45， COE=2B=9

19、0， EF 是O 的切线，.FEO=90， EFOC， DECF， 四边形 CDEF 是平行四边形；（2）过 G 作 GNBC 于 N，GMB 是等腰直角三角形， MB=GM， 四边形 CDEF 是平行四边形，FCD=FED， ACD+GCB=GCB+CGM=90， CGM=ACD， CGM=DEF， tanDEF=2，tanCGM=2，CM=2GM， CM+BM=2GM+GM=3， GM=1， BG=GM=【点评】本题考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性 质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键10 （2017随州）如图，在 RtABC 中，C=90，AC

20、=BC，点 O 在 AB 上，经过点 A 的O 与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E （1）求证：AD 平分BAC； （2）若 CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留 ） .【考点】MC：切线的性质；KF：角平分线的性质；KW：等腰直角三角形；MO：扇形面积 的计算菁优网版权所有 【分析】 （1）连接 DE，OD利用弦切角定理，直径所对的圆周角是直角，等角的余角相 等证明DAO=CAD，进而得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得到B=BAC=45，由 BC 相切O 于点 D，得到ODB=90， 求得 OD=BD，BOD=45，设 BD=x，则 OD=OA=x，OB=x，根据勾股定理得

21、到 BD=OD= ，于是得到结论 【解答】 （1）证明：连接 DE，ODBC 相切O 于点 D， CDA=AED， AE 为直径， ADE=90， ACBC， ACD=90， DAO=CAD， AD 平分BAC；（2）在 RtABC 中，C=90，AC=BC，B=BAC=45， BC 相切O 于点 D， ODB=90， OD=BD，BOD=45， 设 BD=x，则 OD=OA=x，OB=x，BC=AC=x+1， AC2+BC2=AB2， 2（x+1）2=（x+x）2， x=， BD=OD=，图中阴影部分的面积=SBODS扇形 DOE=1【点评】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，扇形面积

22、的计算和勾股定理熟 练掌握切线的性质是解题的关键11 （2017河北）如图，AB=16，O 为 AB 中点，点 C 在线段 OB 上（不与点 O，B 重合） ，将 OC 绕点 O 逆时针旋转 270后得到扇形 COD，AP，BQ 分别切优弧于点 P，Q，且点P，Q 在 AB 异侧，连接 OP.（1）求证：AP=BQ；（2）当 BQ=4时，求的长（结果保留 ） ；（3）若APO 的外心在扇形 COD 的内部，求 OC 的取值范围【考点】MC：切线的性质；MN：弧长的计算；R2：旋转的性质菁优网版权所有 【分析】 （1）连接 OQ只要证明 RtAPORtBQO 即可解决问题； （2）求出优弧 DQ

23、 的圆心角以及半径即可解决问题； （3）由APO 的外心是 OA 的中点，OA=8，推出APO 的外心在扇形 COD 的内部时，OC 的取值范围为 4OC8； 【解答】 （1）证明：连接 OQAP、BQ 是O 的切线， OPAP，OQBQ， APO=BQO=90， 在 RtAPO 和 RtBQO 中，RtAPORtBQO， AP=BQ（2）RtAPORtBQO，AOP=BOQ， P、O、Q 三点共线，在 RtBOQ 中，cosB=，B=30，BOQ=60，OQ=OB=4，COD=90， QOD=90+60=150，优弧的长=，.（3）APO 的外心是 OA 的中点，OA=8，APO 的外心在扇

24、形 COD 的内部时，OC 的取值范围为 4OC8 【点评】本题考查切线的性质、弧长公式、全等三角形的判定和性质、三角形的外心等知 识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型12 （2017天津）已知 AB 是O 的直径，AT 是O 的切线，ABT=50，BT 交O 于点 C，E 是 AB 上一点，延长 CE 交O 于点 D （1）如图，求T 和CDB 的大小； （2）如图，当 BE=BC 时，求CDO 的大小【考点】MC：切线的性质菁优网版权所有 【分析】 （1）根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得TAB=90，根据三角 形内角和得T 的度数，由直径所对的圆周角是

25、直角和同弧所对的圆周角相等得CDB 的 度数； （2）如图，连接 AD，根据等边对等角得：BCE=BEC=65，利用同圆的半径相等知： OA=OD，同理ODA=OAD=65，由此可得结论 【解答】解：（1）如图，连接 AC，AT 是O 切线，AB 是O 的直径， ATAB，即TAB=90， ABT=50，T=90ABT=40，由 AB 是O 的直径，得ACB=90，CAB=90ABC=40，CDB=CAB=40；（2）如图，连接 AD， 在BCE 中，BE=BC，EBC=50，BCE=BEC=65， BAD=BCD=65， OA=OD， ODA=OAD=65， ADC=ABC=50，CDO=O

26、DAADC=6550=15.【点评】本题考查了圆的切线、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和，熟练 掌握切线的性质是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等13 （2017山西）如图，ABC 内接于O，且 AB 为O 的直径，ODAB，与 AC 交于点 E，与过点 C 的O 的切线交于点 D （1）若 AC=4，BC=2，求 OE 的长 （2）试判断A 与CDE 的数量关系，并说明理由【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；S9：相似三角形的判定与性质菁优网版权所 有【分析】 （1）由圆周角定理得出ACB=90，由勾股定理求出 AB=2，得出OA=AB=，证明AOEACB，得出对应边成比例

27、即可得出答案；（2）连接 OC，由等腰三角形的性质得出1=A，由切线的性质得出 OCCD，得出2+CDE=90，证出3=CDE，再由三角形的外角性质即可得出结论 【解答】解：（1）AB 为O 的直径，ACB=90，在 RtABC 中，由勾股定理得：AB=2，OA=AB=，ODAB， AOE=ACB=90， 又A=A，.AOEACB，即，解得：OE=；（2）CDE=2A，理由如下： 连接 OC，如图所示：OA=OC， 1=A， CD 是O 的切线， OCCD， OCD=90， 2+CDE=90， ODAB， 2+3=90， 3=CDE， 3=A+1=2A， CDE=2A【点评】本题考查了切线的性

28、质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等 腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握圆周角定理和切线的 性质是解决问题的关键14 （2017郴州）如图，AB 是O 的弦，BC 切O 于点 B，ADBC，垂足为 D，OA 是O 的半径，且 OA=3 （1）求证：AB 平分OAD；（2）若点 E 是优弧上一点，且AEB=60，求扇形 OAB 的面积 （计算结果保留 ）【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算菁优网版权所有 【分析】 （1）连接 OB，由切线的性质得出 OBBC，证出 ADOB，由平行线的性质和等 腰三角形的性质证出DAB=OAB，即可得出结论；.

29、（2）由圆周角定理得出AOB=120，由扇形面积公式即可得出答案 【解答】 （1）证明：连接 OB，如图所示：BC 切O 于点 B， OBBC， ADBC， ADOB， DAB=OBA， OA=OB， OAB=OBA， DAB=OAB， AB 平分OAD；（2）解：点 E 是优弧上一点，且AEB=60，AOB=2AEB=120，扇形 OAB 的面积=3【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形 面积公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键15 （2017宜昌）已知，四边形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，DE=EC，以 AE 为直

30、径的O 与边 CD 相切于点 DB 点在O 上，连接 OB （1）求证：DE=OE； （2）若 CDAB，求证：四边形 ABCD 是菱形【考点】MC：切线的性质；L9：菱形的判定菁优网版权所有 【分析】 （1）先判断出2+3=90，再判断出1=2 即可得出结论； （2）先判断出ABOCDE 得出 AB=CD，即可判断出四边形 ABCD 是平行四边形，最后 判断出 CD=AD 即可 【解答】解：（1）如图，连接 OD，CD 是O 的切线，.ODCD， 2+3=1+COD=90， DE=EC， 1=2， 3=COD， DE=OE；（2）OD=OE，OD=DE=OE， 3=COD=DEO=60， 2

31、=1=30， OA=OB=OE，OE=DE=EC， OA=OB=DE=EC， ABCD， 4=1， 1=2=4=OBA=30， ABOCDE， AB=CD， 四边形 ABCD 是平行四边形，DAE=DOE=30，1=DAE， CD=AD， ABCD 是菱形【点评】此题是切线的性质，主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，平行四边 形的判定和性质，菱形的判定，判断出ABOCDE 是解本题的关键16 （2017鄂州）如图，已知 BF 是O 的直径，A 为O 上（异于 B、F）一点，O 的切 线 MA 与 FB 的延长线交于点 M；P 为 AM 上一点，PB 的延长线交O 于点 C，D 为 BC

32、 上 一点且 PA=PD，AD 的延长线交O 于点 E（1）求证：=；（2）若 ED、EA 的长是一元二次方程 x25x+5=0 的两根，求 BE 的长；（3）若 MA=6，sinAMF=，求 AB 的长.【考点】MC：切线的性质；AB：根与系数的关系；T7：解直角三角形菁优网版权所有 【分析】 （1）连接 OA、OE 交 BC 于 T想办法证明 OEBC 即可；（2）由 ED、EA 的长是一元二次方程 x25x+5=0 的两根，可得 EDEA=5，由BEDAEB，可得=，推出 BE2=DEEA=5，即可解决问题；（3）作 AHOM 于 H求出 AH、BH 即可解决问题； 【解答】 （1）证明

33、：连接 OA、OE 交 BC 于 TAM 是切线， OAM=90， PAD+OAE=90， PA=PD， PAD=PDA=EDT， OA=OE， OAE=OEA， EDT+OEA=90， DTE=90， OEBC，=（2）ED、EA 的长是一元二次方程 x25x+5=0 的两根，EDEA=5，=，BAE=EBD，BED=AEB， BEDAEB，=，BE2=DEEA=5， BE=（3）作 AHOM 于 H在 RtAMO 中，AM=6，sinM=，设 OA=m，OM=3m，.9m2m2=72，m=3， OA=3，OM=9， 易知OAH=M，tanOAD=，OH=1，AH=2BH=2，AB=2【点评

34、】本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性质、锐 角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属 于中考压轴题17 （2017贺州）如图，O 是ABC 的外接圆，AB 为直径，BAC 的平分线交O 于点 D，过点 D 的切线分别交 AB，AC 的延长线于 E，F，连接 BD （1）求证：AFEF； （2）若 AC=6，CF=2，求O 的半径【考点】MC：切线的性质；M5：圆周角定理菁优网版权所有 【分析】 （1）连接 OD，由切线的性质和已知条件可证得 ODEF，则可证得结论； （2）过 D 作 DGAE 于点 G，连接 CD，则可证得A

35、DFADG、CDFBDG，则可 求得 AB 的长，可求得圆的半径 【解答】 （1）证明： 如图 1，连接 OD，.EF 是O 的切线，且点 D 在O 上， ODEF， OA=OD， DAB=ADO， AD 平分BAC， DAB=DAC， ADO=DAC， AFOD， AFEF； （2）解： 如图 2，过 D 作 DGAE 于点 G，连接 CD，BAD=DAF，AFEF，DGAE， BD=CD，DG=DF， 在 RtADF 和 RtADG 中RtADFRtADG（HL） ， 同理可得 RtCDFRtBDG，BG=CF=2，AG=AF=AC+CF=6+2=8， AB=AG+BG=8+2=10，O

36、的半径 OA=AB=5【点评】本题主要考查切线的性质及圆周角定理，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的 关键，注意全等三角形的应用18 （2017威海）已知：AB 为O 的直径，AB=2，弦 DE=1，直线 AD 与 BE 相交于点 C， 弦 DE 在O 上运动且保持长度不变，O 的切线 DF 交 BC 于点 F （1）如图 1，若 DEAB，求证：CF=EF；.（2）如图 2，当点 E 运动至与点 B 重合时，试判断 CF 与 BF 是否相等，并说明理由【考点】MC：切线的性质；KM：等边三角形的判定与性质菁优网版权所有 【分析】 （1）如图 1，连接 OD、OE，证得OAD、ODE、OEB、

37、CDE 是等边三角形， 进一步证得 DFCE 即可证得结论； （2）根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可证得结论 【解答】证明：如图 1，连接 OD、OE，AB=2， OA=OD=OE=OB=1， DE=1， OD=OE=DE， ODE 是等边三角形， ODE=OED=60， DEAB， AOD=ODE=60，EOB=OED=60， AOD 和BOE 是等边三角形， OAD=OBE=60， CDE=OAD=60，CED=OBE=60， CDE 是等边三角形， DF 是O 的切线， ODDF，EDF=9060=30，DFE=90， DFCE， CF=EF；（2）相等； 如图 2，点 E 运动至

38、与点 B 重合时，BC 是O 的切线，O 的切线 DF 交 BC 于点 F， BF=DF， BDF=DBF， AB 是直径， ADB=BDC=90，.FDC=C， DF=CF， BF=CF【点评】本题考查了切线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定 和性质，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键19 （2017南通）如图，RtABC 中，C=90，BC=3，点 O 在 AB 上，OB=2，以 OB 为半 径的O 与 AC 相切于点 D，交 BC 于点 E，求弦 BE 的长【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理菁优网版权所有 【分析】连接 OD，首先证明四边形 OFCD 是矩形

39、，从而得到 BF 的长，然后利用垂径定理 求得 BE 的长即可 【解答】解：连接 OD，作 OFBE 于点 FBF=BE，AC 是圆的切线，.ODAC， ODC=C=OFC=90， 四边形 ODCF 是矩形，OD=OB=FC=2，BC=3，BF=BCFC=BCOD=32=1，BE=2BF=2【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理及垂径定理的知识，解题的关键是能够利用切 线的性质构造矩形形，难度不大20 （2017河南）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 AC 边于点 D，过点 C 作 CFAB，与过点 B 的切线交于点 F，连接 BD （1）求证：BD=BF； （2）若

40、AB=10，CD=4，求 BC 的长【考点】MC：切线的性质；KH：等腰三角形的性质菁优网版权所有 【分析】 （1）根据圆周角定理求出 BDAC，BDC=90，根据切线的性质得出 ABBF，求 出ACB=FCB，根据角平分线性质得出即可； （2）求出 AC=10，AD=6，根据勾股定理求出 BD，再根据勾股定理求出 BC 即可 【解答】 （1）证明：AB 是O 的直径，BDA=90， BDAC，BDC=90， BF 切O 于 B， ABBF， CFAB， CFBF，FCB=ABC， AB=AC， ACB=ABC， ACB=FCB，.BDAC，BFCF， BD=BF；（2）解：AB=10，AB=

41、AC，AC=10， CD=4，AD=104=6，在 RtADB 中，由勾股定理得：BD=8，在 RtBDC 中，由勾股定理得：BC=4【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判定等知识点， 能综合运用定理进行推理是解此题的关键21 （2017北京）如图，AB 是O 的一条弦，E 是 AB 的中点，过点 E 作 ECOA 于点 C， 过点 B 作O 的切线交 CE 的延长线于点 D （1）求证：DB=DE； （2）若 AB=12，BD=5，求O 的半径【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理菁优网版权所有 【分析】 （1）欲证明 DB=DE，只要证明DE

42、B=DBE； （2）作 DFAB 于 F，连接 OE只要证明AOE=DEF，可得sinDEF=sinAOE=，由此求出 AE 即可解决问题【解答】 （1）证明：AO=OB，OAB=OBA， BD 是切线， OBBD， OBD=90， OBE+EBD=90， ECOA， CAE+CEA=90， CEA=DEB， EBD=BED， DB=DE.（2）作 DFAB 于 F，连接 OEDB=DE，AE=EB=6，EF=BE=3，OEAB，在 RtEDF 中，DE=BD=5，EF=3，DF=4，AOE+A=90，DEF+A=90， AOE=DEF，sinDEF=sinAOE=，AE=6，AO=O 的半径

43、为【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、垂径定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质 等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考 题型22 （2017乌鲁木齐）如图，AB 是O 的直径，CD 与O 相切于点 C，与 AB 的延长线交 于 D （1）求证：ADCCDB；（2）若 AC=2，AB=CD，求O 半径【考点】MC：切线的性质菁优网版权所有 【分析】 （1）首先连接 CO，根据 CD 与O 相切于点 C，可得：OCD=90；然后根据 AB 是圆 O 的直径，可得：ACB=90，据此判断出CAD=BCD，即可推得ADCCDB（2）首先设 CD 为 x，则 A

44、B=x，OC=OB=x，用 x 表示出 OD、BD；然后根据ADC.CDB，可得：=，据此求出 CB 的值是多少，即可求出O 半径是多少【解答】 （1）证明：如图，连接 CO，CD 与O 相切于点 C， OCD=90， AB 是圆 O 的直径， ACB=90， ACO=BCD， ACO=CAD， CAD=BCD， 在ADC 和CDB 中，ADCCDB（2）解：设 CD 为 x，则 AB=x，OC=OB=x，OCD=90，OD=x，BD=ODOB=xx=x，由（1）知，ADCCDB，=，即，解得 CB=1，AB=，O 半径是【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握23 （2017白银）如图，AN 是M 的直径，NBx 轴，AB 交M 于点 C （1）若点 A（0，6） ，N（0，2） ，ABN=30，求点 B 的坐标；.（2）若 D 为线段 NB 的中点，求证：直线 CD 是M 的切线【考点】MD：切线的判定；D5：坐标与图形性质菁优网版权所有 【分析