第二章 平面力系.ppt

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1、第二章第二章第二章第二章 平面力系平面力系平面力系平面力系General Force System1 1 平面汇交力系平面汇交力系2 2 平面力对点之矩平面力对点之矩平面力偶平面力偶3 3 平面任意力系的简化平面任意力系的简化4 4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程5 5 物体系的平衡物体系的平衡静定和超静定问题静定和超静定问题6 6 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算1 1 1 1 平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系The planar system of concurrent forces1 1 1 1、平面汇交力系合成的几何法、平面

2、汇交力系合成的几何法、平面汇交力系合成的几何法、平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则力多边形法则力多边形法则力多边形法则 即：平面汇即：平面汇交力系的合力交力系的合力等于各分力的等于各分力的矢量和，合力矢量和，合力的作用线通过的作用线通过原汇交点。原汇交点。力多边形自行封闭力多边形自行封闭力多边形自行封闭力多边形自行封闭2、平面汇交力系平衡的几何条件、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的充要条件是：平面汇交力系平衡的充要条件是：1)1)图解法：图解法：按比例画出封闭的力多边形按比例画出封闭的力多边形 ，量得所要求的未知数，量得所要求的未知数2)2)几何法：几何法：根据图形的几何关系，

3、利用三角公式计算出未知力根据图形的几何关系，利用三角公式计算出未知力求解平面汇交力系平衡的方法：求解平面汇交力系平衡的方法：1.1.已知：简支梁已知：简支梁ABAB，在中点作用力，在中点作用力，方向如图，求反力，方向如图，求反力ABFhROP图示图示石磙重石磙重 P P=20kN=20kN，半径，半径 R R=0.6m=0.6m，障碍，障碍物高物高 h h=0.08m=0.08m。求（求（1 1）水平力）水平力 F F=5kN =5kN 时磙对时磙对地面和对地面和对障碍物的压力；（障碍物的压力；（2 2）欲将磙拉过障碍物）欲将磙拉过障碍物 F F 沿什么方向拉最省力，此力为多大？沿什么方向拉最

4、省力，此力为多大？例例:解：解：(1)(1)首先受力分析首先受力分析coscos =(=(R-hR-h)/)/R R =0.866 =0.866故故 =30=30 再画力多边形再画力多边形F FA AF FB B按比例量得：按比例量得：F FA A=11.4=11.4 kNkN，F FB B=10kN=10kNF FP P P P F FB BF FminminFmin=P sin=P/2=10kN(2)例2-1（续）F FB BF FA AF FB B1）力在坐标轴上的投影）力在坐标轴上的投影3 3 3 3、平面汇交力系合成的解析法、平面汇交力系合成的解析法、平面汇交力系合成的解析法、平面汇

5、交力系合成的解析法 由合矢量投影定理，得合力投影定理由合矢量投影定理，得合力投影定理由合矢量投影定理，得合力投影定理由合矢量投影定理，得合力投影定理则合力的大小为：则合力的大小为：则合力的大小为：则合力的大小为：方向为：方向为：方向为：方向为：作用点为力系的汇交点。作用点为力系的汇交点。作用点为力系的汇交点。作用点为力系的汇交点。求：此力系的合力。求：此力系的合力。求：此力系的合力。求：此力系的合力。解：用解析法解：用解析法解：用解析法解：用解析法例例例例2-12-1 已知：图示平面共点力系；已知：图示平面共点力系；已知：图示平面共点力系；已知：图示平面共点力系；2 2）平面汇交力系的平衡方程

6、）平面汇交力系的平衡方程）平面汇交力系的平衡方程）平面汇交力系的平衡方程平衡条件平衡条件平衡条件平衡条件平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程两坐标轴不一定相互垂直。两坐标轴不一定相互垂直。两坐标轴不一定相互垂直。两坐标轴不一定相互垂直。力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解 在两轴相互不正交时，分力在两轴相互不正交时，分力在数值上不等于投影。在数值上不等于投影。例例:求图示结构支座求图示结构支座 A A、B B 的反力。的反力。各杆的自重忽略，且各杆的自重忽略，且 ABC ABC=BACBAC=3030303

7、0 。C CA AB BP PF FF FB BF FA A解：解：法法法法 一，取坐标轴如图并做受力分析一，取坐标轴如图并做受力分析一，取坐标轴如图并做受力分析一，取坐标轴如图并做受力分析 X X=0,=0,F FA A cos 30cos 30 F FB B cos 30+cos 30+F F=0 =0 Y Y=0,(=0,(F FA A+F FB B )Sin30)Sin30 P P =0 =0y yx xF FB BF FA AF FB BF FA AF FB BF FA AC CA AB BP PF FF FB BF FA A法法法法 二，取坐标轴如图二，取坐标轴如图二，取坐标轴如图

8、二，取坐标轴如图x x X X=0,=0,F FB B cos30cos30 P P cos30cos30 F F cos60=0 cos60=0 Y Y=0,=0,F FA A cos30+cos30+F F cos60 cos60 P P cos30=0 cos30=0y y显见，显见，显见，显见，x x 和和和和 y y 轴并不相互正交，而求解反而方便了。轴并不相互正交，而求解反而方便了。轴并不相互正交，而求解反而方便了。轴并不相互正交，而求解反而方便了。已知：已知：已知：已知：求：系统平衡时，杆求：系统平衡时，杆求：系统平衡时，杆求：系统平衡时，杆ABABABAB、BCBCBCBC受力

9、。受力。受力。受力。例例例例2-2 2-2 2-2 2-2 不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P P P P=20kN=20kN=20kN=20kN；解：取解：取解：取解：取B B，画受力图。，画受力图。，画受力图。，画受力图。例例例例2-32-3求：平衡时，压块求：平衡时，压块求：平衡时，压块求：平衡时，压块C C对工件与地面的压力，对工件与地面的压力，对工件与地面的压力，对工件与地面的压力，ABAB杆受力。杆受力。杆受力。杆受力。已知：已知：已知：已知：F F=3kN,=3kN,l l=1500mm,=1

10、500mm,h h=200mm.=200mm.忽略自重；忽略自重；忽略自重；忽略自重；解：取销钉解：取销钉解：取销钉解：取销钉B B。解得解得解得解得 选压块选压块选压块选压块C CF 24cm 6cmACBDO(a)E例题例题 图图a a所示是汽车制动机构的一所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力部分。司机踩到制动蹬上的力F F=212 N=212 N，方向与水平面成方向与水平面成4545 角。当平衡时角。当平衡时DADA铅铅直直BCBC水平，水平，试求拉杆试求拉杆BCBC所受的力。已知所受的力。已知EAEA=24cm=24cm，DEDE=6cm=6cm 点点E E在铅直在铅直线线

11、DADA上上 ，又又B B ，C C ，D D都是光都是光滑铰链，机构的滑铰链，机构的自重不计。自重不计。ABD(b)O FFBFDEJFDKFBFI (c)1.1.取制动蹬取制动蹬ABDABD作为研究对象，并作为研究对象，并画出受力图。画出受力图。2.2.作出相应的力三角形。作出相应的力三角形。几何法几何法解：解：3.3.由图由图b b几何关系得：几何关系得：4.4.由力三角形图由力三角形图c c可得：可得：O FFDxyFBABD 1.1.取制动蹬取制动蹬ABDABD作为研究对象。作为研究对象。2.2.画出受力图画出受力图.解解:3.3.列出平衡方程：列出平衡方程：联立求解得联立求解得已知

12、已知：用解析法求解用解析法求解 梯长梯长AB AB=l l，重，重P P=100 N=100 N，重心假设在中点，重心假设在中点C C，梯子的，梯子的上端上端A A靠在光滑的端上，下端靠在光滑的端上，下端B B放置在与水平面成放置在与水平面成4040角的光角的光滑斜坡上，求梯子在自身重力作用下平衡时，两端的约束力滑斜坡上，求梯子在自身重力作用下平衡时，两端的约束力以及梯子和水平面的夹角以及梯子和水平面的夹角。40ACBP例题 梯子受三力平衡，由三力汇交定梯子受三力平衡，由三力汇交定理可知理可知,它们交于它们交于D点。点。1.1.求约束力。求约束力。解：解：列平衡方程：列平衡方程：联立求解，考虑

13、到联立求解，考虑到 =5=5 ，得，得F FA A=83.9N=83.9N，F FB B=130.5N=130.5NyxFAFBPACEBD4040 4040 角角可由三力汇交的几何关系求出。可由三力汇交的几何关系求出。已已知知C C是是ABAB中中点点，DEDE是是平平行行四四边边形形ADBEADBE的的对对角角线线，所所以以C C也也是是DEDE的中点。的中点。2.2.求角求角。由直角三角形由直角三角形BECBEC和和BEDBED，有，有yxFAFBPACEBD4040 4040 车车间间用用的的悬悬臂臂式式简简易易起起重重机机可可简简化化为为如如图图所所示示的的结结构构。ABAB是是吊吊

14、车车梁梁，BCBC是是钢钢索索，A A端端支支承承可可简简化化为为铰铰链链支支座座。设设已已知知电电葫葫芦芦和和提提升升重重物物P=5kN,ABP=5kN,AB与与BCBC间间夹夹角角为为2525o o,AD=a=2m,AD=a=2m,ABAB=l l=2.5m=2.5m。如如吊吊车车梁梁的的自自重重可可略略去去不不计计，求求钢钢索索BCBC和铰和铰A A的约束力。的约束力。ABCDP例题 选选择择吊吊车车梁梁为为研研究究对对象象，在在吊吊车车梁梁上上总总共共有有三三个个不不平平行行的的力力作作用用，根根据据三三不不平平行行力力的的平平衡衡条条件件，可可以以肯肯定定铰铰A A的的约束力约束力F

15、 FA A必通过力必通过力P P与与F FB B 的交点的交点O O。解：解：ABDPOalFAFBABCDP解联立方程求得解联立方程求得FA=8.63 kN FB=9.46 kN列平衡方程：列平衡方程：tan j=0.117式中角式中角可由图可由图 b b 中的几何关系求得中的几何关系求得OxPFAFB（a）y(b)ABDPOalFAFB2 2 2 2 平面力对点的矩平面力对点的矩平面力对点的矩平面力对点的矩 平面力偶平面力偶平面力偶平面力偶一、平面力对点之矩（力矩）一、平面力对点之矩（力矩）一、平面力对点之矩（力矩）一、平面力对点之矩（力矩）1 1、定义：、定义：、定义：、定义：大小：力大

16、小：力大小：力大小：力F F与力臂的乘积与力臂的乘积与力臂的乘积与力臂的乘积正负：逆正顺负正负：逆正顺负正负：逆正顺负正负：逆正顺负The moment of force about a co-planar point The theory of coplanar force couples性质：性质：1 1）力沿力的作用线传递时，力对点的矩不变。）力沿力的作用线传递时，力对点的矩不变。2 2）力的作用线过矩心时，该力对点的矩为零。）力的作用线过矩心时，该力对点的矩为零。3 3）大小相等、方向相反、力的作用线相重合的）大小相等、方向相反、力的作用线相重合的两个力对同一点的力矩和为零两个力对同一

17、点的力矩和为零2 2、汇交力系的合力矩定理、汇交力系的合力矩定理、汇交力系的合力矩定理、汇交力系的合力矩定理3、力矩与合力矩的解析表达式力矩与合力矩的解析表达式 为为了了便便于于计计算算力力对对点点之之矩矩，将将力力分分解解成成两两个个正正交交分力，如图所示，再利用合力矩定理求得。即分力，如图所示，再利用合力矩定理求得。即 上上式式为为平平面面内内力力矩矩的的解解析析形形式式。注注意意，式式中中各各量量应应以以代代数数量代入量代入。OyxAyxFyFxFq合力合力F FR R对点对点O O之矩的解析表达式为之矩的解析表达式为例例例例2-42-4求求求求:解解解解:按合力矩定理按合力矩定理按合力

18、矩定理按合力矩定理已知已知已知已知:F F F F=1400N,=1400N,=1400N,=1400N,直接按定义直接按定义直接按定义直接按定义二二二二.力偶和力偶矩力偶和力偶矩力偶和力偶矩力偶和力偶矩1.1.何谓力偶何谓力偶何谓力偶何谓力偶?由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作力系称为力偶，记作力系称为力偶，记作力系称为力偶，记作F1F23 3 3 3）力偶矩：度量力偶对物体的转动效应。）力偶矩：度量力偶对物体的转动效应。）力偶矩：度量力偶对

19、物体的转动效应。）力偶矩：度量力偶对物体的转动效应。1 1 1 1）力偶作用面：力偶中两力所在平面。）力偶作用面：力偶中两力所在平面。）力偶作用面：力偶中两力所在平面。）力偶作用面：力偶中两力所在平面。2 2 2 2）力偶臂：力偶中两力之间的垂直距离。）力偶臂：力偶中两力之间的垂直距离。）力偶臂：力偶中两力之间的垂直距离。）力偶臂：力偶中两力之间的垂直距离。2.2.2.2.几个概念：几个概念：几个概念：几个概念：由两个因素决定：由两个因素决定：由两个因素决定：由两个因素决定：1 1 1 1）力偶矩的大小：力与力偶臂乘积）力偶矩的大小：力与力偶臂乘积）力偶矩的大小：力与力偶臂乘积）力偶矩的大小：

20、力与力偶臂乘积2 2 2 2）力偶在作用面内的转向）力偶在作用面内的转向）力偶在作用面内的转向）力偶在作用面内的转向：逆正顺负逆正顺负逆正顺负逆正顺负3 3 3 3、力偶的性质、力偶的性质、力偶的性质、力偶的性质1 1 1 1）组成力偶的两个力在任意坐标轴上的投影和等于）组成力偶的两个力在任意坐标轴上的投影和等于）组成力偶的两个力在任意坐标轴上的投影和等于）组成力偶的两个力在任意坐标轴上的投影和等于零，但两力不相互平衡。零，但两力不相互平衡。零，但两力不相互平衡。零，但两力不相互平衡。2 2 2 2）力偶不能合成一个力，故力偶也不能用一个力来）力偶不能合成一个力，故力偶也不能用一个力来）力偶不

21、能合成一个力，故力偶也不能用一个力来）力偶不能合成一个力，故力偶也不能用一个力来平衡。平衡。平衡。平衡。4 4 4 4、同平面内力偶的等效定理：、同平面内力偶的等效定理：、同平面内力偶的等效定理：、同平面内力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，若力偶矩相等，则两个力在同平面内的两个力偶，若力偶矩相等，则两个力偶彼此等效。偶彼此等效。=FFdF1F1d1F2F2d2M5、平面力偶系的合成与平衡、平面力偶系的合成与平衡(1)平面力偶系的合成平面力偶系的合成F1F1d1F2F2d2(a)F3AF4BdF4F3(b)F ABdF(c)（2 2）平面力偶系的平衡）平面力偶系的平衡 若力偶系平衡时，其合力

22、偶的矩等于零。即若力偶系平衡时，其合力偶的矩等于零。即 上式是平面力偶系平衡的充要条件，即上式是平面力偶系平衡的充要条件，即平面力偶系的平平面力偶系的平衡方程衡方程。只有一个独立方程，只能求解一个求知数。只有一个独立方程，只能求解一个求知数。三铰刚架由两三铰刚架由两直角直角刚架组成，刚架组成，AC AC 部分上作用部分上作用一力偶，其力偶矩为一力偶，其力偶矩为 M M，自重不计，且，自重不计，且a a:c c=b b:a a，求，求A A、B B支座的反力。支座的反力。例MMA AC CMMb bc ca aA AC CB BC CB BACAC为对象，为对象，为对象，为对象，MM=0,=0,

23、考虑考虑考虑考虑CBCB部分为二力构件，得：部分为二力构件，得：部分为二力构件，得：部分为二力构件，得：解：解：解：解：由由由由 a a:c c=b b:a a 知：知：知：知：AC AC CBCB，受力分析受力分析受力分析受力分析C C B B A A图示机构自重不记。圆轮上的销子图示机构自重不记。圆轮上的销子 A 放在摇杆放在摇杆 BC上上的光滑导槽内。的光滑导槽内。M 1=2kNm，OA=r=0.5m。图示位置。图示位置OAOB，=30，且系统平衡。求作用于摇杆，且系统平衡。求作用于摇杆 BC 上力偶的矩上力偶的矩 M 2 及及 O、B 支座的反力。支座的反力。A AO O 例例M M

24、2 2MM 1 1 B BA AC C B BA AC CO Or rMM2 2M M 1 1解：受力分析解：受力分析解：受力分析解：受力分析A A B B A A O O 续例2-5 先以轮为对象，先以轮为对象，M=0，M1-FA r sin =0MM2 2 B BA AC C A AO O MM 1 1 再以摇杆为研究对象，由力再以摇杆为研究对象，由力再以摇杆为研究对象，由力再以摇杆为研究对象，由力偶平衡条件偶平衡条件偶平衡条件偶平衡条件M=0，M2=4M1=8kNmM 1=2kNm，OA=r=0.5m在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直在工件上同时钻四个等

25、直径的孔径的孔,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为M M1 1=M M2 2=M M3 3=M M4 4=15N=15Nm m。求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和A A 、B B端约束力。端约束力。解解:总切削力偶矩为总切削力偶矩为因力偶只能与力偶平衡，故力因力偶只能与力偶平衡，故力F FN NA A与力与力F FN NB B必组成一力偶。必组成一力偶。例题 横横梁梁ABAB长长l l，A A端端用用铰铰链链杆杆支支撑撑，B B端端为为铰铰支支座座。梁梁上上受受到到一一力力偶偶的的作作用用，其其力力偶偶矩矩为为M M，如如图图所所示示。不不计梁和支杆的自重，求计梁和支杆的自重，求A

26、 A和和B B端的约束力。端的约束力。ABDMlABMFBFA例题 选选梁梁ABAB为为研研究究对对象象。梁梁所所受受的的主主动动力力为为一一力力偶偶，ADAD是是二二力力杆杆，因因此此A A端端的的约约束束力必沿力必沿ADAD杆。梁杆。梁ABAB受力如图。受力如图。解得解得解解列平衡方程：列平衡方程：如图所示的铰接四连杆机构如图所示的铰接四连杆机构OABDOABD，在杆，在杆OAOA和和BDBD上分别作用上分别作用着矩为着矩为M M1 1和和M M2 2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OAOA=r r，DBDB=2=2r r，q q=30=30

27、，不计杆重，试求，不计杆重，试求M M1 1和和M M2 2间的关系。间的关系。BOD M1M2A例题 写出杆写出杆OA和和DB的平衡方程：的平衡方程：M=0=0 BDM2FDFBAOM1FOFABA解：解：因为因为所以求得所以求得BODqM1M2A3 平面任意力系的简化平面任意力系的简化Reduction of a general coplanar force system to a given point一一力的平移定理力的平移定理 作用在刚体上点作用在刚体上点A A的力的力F F 可以平行移动（简称平移）可以平行移动（简称平移）到任一点到任一点O O上，但必须同时附加一个力偶，此附加力上

28、，但必须同时附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原来力偶的矩等于原来力F F 对新作用点对新作用点B B的矩。的矩。O OMMMFFFF F Fd d位置由位置由位置由位置由 M M M M 的转向确定的转向确定的转向确定的转向确定。逆过程：逆过程：平面内的一个力和一个力平面内的一个力和一个力偶总可以等效地被同平面偶总可以等效地被同平面内的一个力替换，但作用内的一个力替换，但作用线平移一段距离线平移一段距离二平面任意力系向作用面内一点简化二平面任意力系向作用面内一点简化 主矢与主矩主矢与主矩(c)F FR R:平面汇交力系的合力，其大小和方向称为原力系的主矢。平面汇交力系的合力，其大小和方向称为原

29、力系的主矢。MMO O：平面力偶系的合力偶，它是原力系的主矩。：平面力偶系的合力偶，它是原力系的主矩。主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关，故必主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关，故必须指明力系是对于哪一点的主矩。须指明力系是对于哪一点的主矩。结论：平面任意力系向作用面内任一点结论：平面任意力系向作用面内任一点O O简化简化,可得一个作可得一个作用线通过简化中心的力和一个相对于简化中心的主矩。该主用线通过简化中心的力和一个相对于简化中心的主矩。该主矩等于原力系对简化中心的矩。矩等于原力系对简化中心的矩。能否称能否称能否称能否称 为合力？为合力？为合力？为合力？能否称能否称能否

30、称能否称 为合力偶？为合力偶？为合力偶？为合力偶？大小大小方向余弦方向余弦主矩主矩它们的解析表达式为它们的解析表达式为 即主矢即主矢 R=0,这样可知主矩与简化中心这样可知主矩与简化中心 D 的位置无关，的位置无关，以以 B 点为简化中心有：点为简化中心有：MD=MB=M-F31=1 N m，主矩，主矩 MD=1 N m 一平面力系如图，已知一平面力系如图，已知 ，M M=2(N m)=2(N m)，,求该力系向求该力系向D点的点的简化结果。简化结果。例例F2F3F1MABCD D3m1 m1 m1 m1 m解：解：固定端约束及其约束力固定端约束及其约束力 AA A AA简化图形简化图形AF

31、FA AX XA AY YA AMMA AMMA AX XA AY YA AMMA AX XA AY YA AMMA AX XA AY YA AMMA A 三、三、三、三、平面任意力系的简化结果分析平面任意力系的简化结果分析平面任意力系的简化结果分析平面任意力系的简化结果分析（1 1）F FR R=0=0，MMO O 0 0；（2 2）F FR R 0 0，MMO O=0=0；（3 3）F FR R 0 0，MMO O 0 0；（；（4 4）F FR R=0=0，MMO O=0=0。进一步分析有以下三种情形进一步分析有以下三种情形:（1 1）简化为一个力偶）简化为一个力偶当当 F FR R=0

32、=0，MMO O 0 0则原力系合成为合力偶，其矩为则原力系合成为合力偶，其矩为 此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶，即此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶，即 简化为一个合力简化为一个合力 a a、当当 F FR R 0 0，MMO O=0=0原力系合成为合力，其作用线恰好通过选定的简化中心原力系合成为合力，其作用线恰好通过选定的简化中心O O，即，即 F FR R=F FR R b b、当当 F FR R 0 0，MMO O 0 0 则原力系合成为合力，合力矢等于主矢，即则原力系合成为合力，合力矢等于主矢，即 F FR R=F FR R但合力作用线不通过简化中心但

33、合力作用线不通过简化中心O O，而到点，而到点O O的距离的距离d d为为 至于作用线在点至于作用线在点O O 哪一侧，需根据主矢方向和主矩转向确定。哪一侧，需根据主矢方向和主矩转向确定。平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。即内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。即 平衡平衡 当当 F FR R=0=0，MMO O =0=0 则原力系平衡。则原力系平衡。水平梁水平梁ABAB受三角形分布的载荷作用。载荷的最大集受三角形分布的载荷作用。载荷的最大集度为度为q q，梁长梁长l

34、 l。试求合力作用线的位置。试求合力作用线的位置。例题例题A AB Bq qx xl l 在在梁梁上上距距A A端端为为x x的的微微段段d dx x上上，作作用用力力的的大大小小为为q qd dx x，其其中中q q为为该该处处的的载载荷荷集集度度 ，由由相相似似三三角角形形关关系系可知可知因此分布载荷的合力大小因此分布载荷的合力大小解：解：x xA AB Bq qx xd dx xh hl lF FxABqxdxhlF 设合力设合力F F 的作用线距的作用线距A A端的距离为端的距离为h h，根据合力矩定理，有，根据合力矩定理，有将将q 和和 F 的值代入上式，得的值代入上式，得思考题水水

35、平平梁梁 AB AB 受受梯梯形形分分布布载载荷荷作作用用，载载荷荷的的最最小小载载荷荷集集度度为为 q q1 1，载载荷荷的的最最大大载载荷荷集集度度为为q q2 2，梁长梁长 l l。求合力。求合力F FR R作用线的位置。作用线的位置。l lA AB Bq q1 1q q2 2F FR R见后续l lA AB Bq q1 1q q2 2F FR R1 1F FR R2 2F FR R将将梯梯形形分分布布载载荷荷分分解解为为均均布布载载荷荷和和三角形分布载荷。三角形分布载荷。均布载荷均布载荷三角形载荷三角形载荷梯形载荷的合力梯形载荷的合力由合力矩定理，有由合力矩定理，有即即平面任意力系平衡

36、的充要条件是：力系的主矢和对于任一点平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。的主矩都等于零。它的解析式为它的解析式为 所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任意一点的矩的代数和也等于零。有三个独零，以及各力对任意一点的矩的代数和也等于零。有三个独立方程，可以求解三个未知数。立方程，可以求解三个未知数。4 4 4 4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程Conditions and equations

37、for the equilibrium of a general coplanar force system 外外伸伸梁梁的的尺尺寸寸及及载载荷荷如如图图所所示示，F F1 1=2=2 kNkN，F F2 2=1.5=1.5 kNkN，M M=1.2=1.2 kNkNm m，l l1 1=1.5=1.5 m m，l l2 2=2.5=2.5 m m，试试求铰支座求铰支座A A及支座及支座B B的约束力。的约束力。F1ABl2l1llF2M例题取梁为研究对象，受力分析如图。由平衡方程取梁为研究对象，受力分析如图。由平衡方程解方程。解方程。解：解：F FAxAxA AB Bx xy yF FAyA

38、yF F1 1F FByByF F2 2MM 如如图图所所示示为为一一悬悬臂臂梁梁，A A为为固固定定端端，设设梁梁上上受受强强度度为为q q的的均均布布载载荷荷作作用用，在在自自由由端端B B受受一一集集中中力力F F和和一一力力偶偶MM作作用用，梁的跨度为梁的跨度为l l，求固定端的约束力。，求固定端的约束力。ABlqFM例题由平衡方程由平衡方程解方程得解方程得取梁为研究对象，受力分析如图取梁为研究对象，受力分析如图解解：qABxyMFFAyMAlFAx（1 1）二力矩形式的平衡方程）二力矩形式的平衡方程 两个力矩式和一个投影式，但必须注意，两个力矩式和一个投影式，但必须注意，x x轴不得

39、垂直于轴不得垂直于A A、B B的连线。的连线。其它形式：其它形式：为什么会有二力矩形式的平衡方程呢为什么会有二力矩形式的平衡方程呢？这是因为，如果力系对点这是因为，如果力系对点这是因为，如果力系对点这是因为，如果力系对点A A A A 的主矩的主矩的主矩的主矩等于零，则系统有两种可能：等于零，则系统有两种可能：等于零，则系统有两种可能：等于零，则系统有两种可能：（2 2）经过经过经过经过 A A 点的一个力。点的一个力。点的一个力。点的一个力。如果力系对点如果力系对点如果力系对点如果力系对点 B B B B 的主矩也同时等的主矩也同时等的主矩也同时等的主矩也同时等于零，则系统仍有两种可能：于

40、零，则系统仍有两种可能：于零，则系统仍有两种可能：于零，则系统仍有两种可能：（2 2）经过经过经过经过 A A 点，同时又通过点，同时又通过点，同时又通过点，同时又通过B B点的一个力点的一个力点的一个力点的一个力。如果再加上如果再加上如果再加上如果再加上X X X X=0=0=0=0，那么力系如有合力则力垂直于，那么力系如有合力则力垂直于，那么力系如有合力则力垂直于，那么力系如有合力则力垂直于 x x x x 轴，轴，轴，轴，当附加轴不允许垂直于连线当附加轴不允许垂直于连线当附加轴不允许垂直于连线当附加轴不允许垂直于连线 AB AB AB AB 时，时，时，时，系统必为平衡力系。系统必为平衡

41、力系。系统必为平衡力系。系统必为平衡力系。（1 1）平衡。平衡。平衡。平衡。（1 1）平衡。平衡。平衡。平衡。ABx思考：平面任意力系的平衡方程能否用三思考：平面任意力系的平衡方程能否用三个投影方程而不用矩方程。个投影方程而不用矩方程。(2)(2)三力矩形式的平衡方程三力矩形式的平衡方程 三个力矩式。但必须注意：三个力矩式。但必须注意：A A、B B、C C三点不得共线。其证明三点不得共线。其证明从略。无论是二矩式还是三矩式，都是一组独立的平衡方程。从略。无论是二矩式还是三矩式，都是一组独立的平衡方程。3.3.平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 两个独立平衡方程，只能求解两个未知数。

42、两个独立平衡方程，只能求解两个未知数。上式是平面平行力系平衡方程的基本形式，它的二矩式是上式是平面平行力系平衡方程的基本形式，它的二矩式是 但但A A、B B两点的两线不得与力作用线平行。两点的两线不得与力作用线平行。平面平行力系平衡方程为平面平行力系平衡方程为P2FAP1P3PFBAB3.0 m2.5 m1.8 m2.0 m例题 一种车载式起重机，车重一种车载式起重机，车重P P1 1=26 kN=26 kN，起重机伸臂重，起重机伸臂重P P2 2 =4.5 kN=4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重，起重机的旋转与固定部分共重P P3 3 =31 kN=31 kN。尺。尺寸如图所示。设

43、伸臂在起重机对称面内，且放在图示位寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量P Pmaxmax。取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。由平衡方程。由平衡方程。解：解：P PP P2 2F FA AP P1 1P P3 3F FB BA AB B3.0 m3.0 m2.5 m2.5 m1.8 m1.8 m2.0 m2.0 m不翻倒的条件是：不翻倒的条件是：F FA A00，故故最大起吊重量为最大起吊重量为 P Pmaxmax=7.5 kN=7.5 kN联立求解联立求解 所以由上式可

44、得所以由上式可得5 5 物体系的平衡物体系的平衡静定和超静定问题静定和超静定问题 对应于每一种力系，其独立的平衡方程数目都是一定的。对应于每一种力系，其独立的平衡方程数目都是一定的。平面汇交力系和平面平行力系各有平面汇交力系和平面平行力系各有2 2个，个，平面任意力系有平面任意力系有3 3个，个，平面力偶系只有平面力偶系只有1 1个。个。因此，对于每一种力系，能求解的未知数的数目也是一定的。因此，对于每一种力系，能求解的未知数的数目也是一定的。The equilibrium of a body system The concepts of statically determinate and

45、statically indeterminate problems 若系统中的未知约束力数目恰好等于独立平衡方程的数若系统中的未知约束力数目恰好等于独立平衡方程的数目，则这些未知数就可全部由平衡方程求出，这类问题称为目，则这些未知数就可全部由平衡方程求出，这类问题称为静定问题。静定问题。若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目，仅仅用刚若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目，仅仅用刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数，这类问题称为超体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数，这类问题称为超静定（或静不定）问题。静定（或静不定）问题。图（图（a）图（图（b）图（图（c）图（图（d）图（图（e）

46、图（图（f）图（图（a）图（图（b）图（图（c）在下面各图中，并没有给出结构的主动载荷的形式，试问在下面各图中，并没有给出结构的主动载荷的形式，试问主动载荷会对结构的静定与否产生影响吗？指出哪些是静定，主动载荷会对结构的静定与否产生影响吗？指出哪些是静定，哪些是超静定，并给出超静定的次数。哪些是超静定，并给出超静定的次数。图（图（d）需需要要指指出出的的是是，超超静静定定问问题题并并不不是是不不能能求求解解的的问问题题，而而只只是是不不能能仅仅仅仅用用静静力力学学平平衡衡方方程程来来解解决决的的问问题题。如如果果考考虑虑到到物物体体受受力力后后的的变变形形，在在平平衡衡方方程程外外，加加上上足

47、足够够的的补补充充方方程程也也可可求求出出全全部部未未知知约约束束力力。这这将将在在材材料料力力学学、结结构构力力学等课程中加以研究。学等课程中加以研究。工工程程上上很很多多结结构构都都是是超超静静定定的的。由由于于结结构构增增加加了了多多余余约约束束后后，使使结结构构具具有有更更大大的的刚刚度度，更更经经济济地地利利用用材材料料，使使安全更可靠。安全更可靠。l/8/8qBADMFCHEl/4/4l/8/8l/4/4l/4/4例题 组合梁组合梁ACAC和和CECE用铰链用铰链C C相连，相连，A A端为固定端，端为固定端，E E端为端为活动铰链支座。受力如图所示。已知：活动铰链支座。受力如图所

48、示。已知：l l=8 m=8 m，F F=5 kN=5 kN，均布载荷集度，均布载荷集度q q=2.5 kN/m=2.5 kN/m，力偶矩的大小，力偶矩的大小MM=5 kN=5 kN m m，试求固端，试求固端A A，铰链，铰链C C和支座和支座E E的约束力。的约束力。CE1.取取CE段为研究对象。段为研究对象。解：解：联立求解。联立求解。FE=2.5 kN，FC=2.5 kNF1M3 3l/8/8Hl/8/8FCFE由由平衡方程平衡方程列平衡方程。列平衡方程。联立解之。联立解之。FA=15 kN，MA=2.5 kNmMAF2l/4/4IAFCHl/8/8l/8/8FA再再取取AC段为研究对

49、象。段为研究对象。已知各杆均铰接，已知各杆均铰接，B B端插入地内，端插入地内，P P=1000N=1000N，AEAE=BEBE=CECE=DEDE=1m=1m，杆重不计。杆重不计。求求AC AC 杆内力？杆内力？B B点的反力？点的反力？例例例3-7附属2a2a2a2aaaABCDX XA AY YA AMMA ApqQPN NB B例例例例:静定组合梁如图，已知静定组合梁如图，已知 Q=10kN，P P=20kN=20kN，p p =5kN/m=5kN/m，q q=6kN/m=6kN/m和和 2 2a a=1m=1m。梁自重不计，求。梁自重不计，求A A，B B的支座反力。的支座反力。解

50、：解：1 1、以、以CDCD为对象为对象例3-7(续1)BDCqQN NB B2a2aaX XC CY YC C X X=0 =0，X X C C=0=0 M M C C(F F)=0 )=0，Q Q a a N NB B22a a+N NB B =Q Q 2 +42 +4qa qa 3 =9 3 =9（kN)kN)MM B B (F F)=0,)=0,Y YC C 2 2a a Q Q a a+Y YC C=Q Q 2 2 -qa-qa 3 =4 3 =4（kN)kN)Q Q=10kN=10kN，q q=6kN/m=6kN/m 2 2a a=1m=1mN NB BY YC CX XC CN