231-2平面向量基本定理.ppt

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1、2.3.12.3.1平面向量基本定理平面向量基本定理2.3.22.3.2平面向量的正交分解平面向量的正交分解及坐标表示及坐标表示一一.温故知新：温故知新：1.1.向量的加法向量的加法(三角形法则三角形法则)aba+baba+b2.2.向量的加法向量的加法(平行四边形法则平行四边形法则)3.3.向量的减法向量的减法(三角形法则）三角形法则）aba-b4.4.向量的数乘运算：向量的数乘运算：(1)|(1)|aa|=|a|=|a|(2)(2)当当当当00时时时时,aa的方向与的方向与的方向与的方向与a a方向相同；方向相同；方向相同；方向相同；当当当当00时时时时,aa的方向与的方向与的方向与的方向

2、与a a方向相反；方向相反；方向相反；方向相反；特别地，当特别地，当特别地，当特别地，当=0=0或或或或a=0a=0时时时时,aa=0=0对对对对aa设设a,b为任意向量，为任意向量，,为任意实数，则有：为任意实数，则有：(a)=()a (+)a=a+a (a+b)=a+b向量向量b与非零向量与非零向量a共线共线有且只有一个实数有且只有一个实数，使得使得 b=b=a a二二.新课引入：新课引入：如何作出如何作出 e1+e2?e1e2o oA Ae1B Be2C Ce e1 1e e2 2 +OC可以分解成可以分解成 e1，e2任意一个向量任意一个向量 a 是否可以分解成是否可以分解成 1e1，

3、2e2?e1 ae2o oA AB BC CN NMMOM与与OA共线共线OM=1 1OA=1 1e1同理同理ON=2 2OB=2 2 e2a=1 1e1+2 2 e2oCaNMFE思考思考:平面内平面内,向量向量 是否唯一？是否唯一？三三.新课讲解：新课讲解：1.平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内的任意一个向线向量，那么对于这个平面内的任意一个向量量 a，有且只有有且只有一对实数一对实数1 1，2 2 使使 其中不共线向量其中不共线向量 e1，e2 叫做表示这个平叫做表示这个平面内的所有向量的一组面内

4、的所有向量的一组基底基底。a =1 1 e1+2 2 e2注意：注意：2.向量的夹角向量的夹角已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b如图，如图，则则AOB=（0 180）叫做向量的夹角叫做向量的夹角当当=0 时，时，a与与b同向同向当当=180时，时，a与与b反向反向a与与b的夹角是的夹角是90，则，则a与与b垂直，记作垂直，记作a boBAab共起点共起点ABC思考思考:正正ABC中中,向量向量AB与与BC的夹角为几度的夹角为几度?D3.例题与练习：例题与练习：已知：向量已知：向量 e1，e2求作：求作：向量向量 -2.5-2.5 e1+3+3e2例例1e1e2o oA AB B-2.5-

5、2.5 e13 3 e2C C作法：作法：作法：作法：1 1、任取一点、任取一点、任取一点、任取一点OO作作作作OA=OA=-2.5-2.5-2.5-2.5 e e1 1 OB=OB=3 3 3 3 e e2 22 2、以、以、以、以OA,OBOA,OB为邻边作为邻边作为邻边作为邻边作 OACBOACB3 3、OCOC为所求为所求为所求为所求平面内的所有向量都可以用一组基底来表示平面内的所有向量都可以用一组基底来表示,这为这为我们用向量解决问题提供了一种基本思想方法我们用向量解决问题提供了一种基本思想方法:将其他向量化到基底上进行运算将其他向量化到基底上进行运算,证明证明.例例2.如图如图,在

6、平行四边形在平行四边形ABCD中中,点点M在在AB延长延长线上线上,AB=BM,点点N是是BC中点中点,用向量方法证明用向量方法证明:M、N、D三点共线三点共线ABMCND把一个向量分解为两个垂直的向量把一个向量分解为两个垂直的向量,叫做把向量正交分解。叫做把向量正交分解。a=xi+yj有且只有一对实有且只有一对实数数x、y，使得使得 分别与分别与x 轴轴、y 轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i、j 能否作能否作为基底？为基底？Oxyij任一向量任一向量a，用这组基底可表示为用这组基底可表示为a（x，y）叫做向量叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a=(x,y)那么那么i=（，）j=

7、(，)0=（，）1 00 10 04.平面向量的正交分解及坐标表示：平面向量的正交分解及坐标表示：例例4如图，用基底如图，用基底i，j 分别表示向量分别表示向量a、b、c、d，并求它们的坐标并求它们的坐标AA2A1例例3已知：已知：OA,OB不共线不共线,AP=tAB,（tR），），用用OA,OB表示表示OP。B BOOA AP P解：解：解：解：AP=t AB AP=t AB OP=OA+APOP=OA+AP =OA+t AB=OA+t AB =OA+t =OA+t（OB OB OAOA）=OA+=OA+tOBtOB tOAtOA =（1-t1-t）OA+OA+tOBtOB另法：另法：另法：

8、另法：OP=OB+BP OP=OB+BP （思考）思考）思考）思考）分析：分析：分析：分析：OP=OA+AP OP=OA+AP 或或或或 OP=OB+BPOP=OB+BPC CB BA AD DE EF FGG例例4.设设G是是ABC的重心，若的重心，若CA=a,CB=b 试用试用 a,b 表示表示AG课堂小结：课堂小结：1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于那么对于这一平面内的任一向量这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数有且只有一对实数 、使使 a=e1+e22.向量的夹角：向量的夹角：共起点的两个向量形成的角共起点的两个向量形成的角4.向量的坐标表示向量的坐标表示3.基本定理的应用基本定理的应用 e1+e2=xe1+ye2把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解正交分解。分别与分别与x 轴轴、y 轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i、j 作为基底，任一向作为基底，任一向量量a，用这组基底可表示为，用这组基底可表示为a=xi+yj，（x，y）叫做向量）叫做向量a的坐标的坐标