-不定方程在初等数学中的教学研究.docx

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1、不定方程在初等数学中的教学研究摘要 不定方程在中学数学中的应用相当广泛，是中学数学中的一个重要组成部分.评估学生掌握不定方程相关知识的程度，寻找如何提高学生使用不定方程解决问题能力的方法，在学生未来步入高等数学研究的过程中也是至关重要的.通过收集历年江苏高考中出现的不定方程题目，可以发现此考点多在数列的存在性问题中出现.对收集的题目进行归纳，得出不定方程题型的考察方式及考察侧重点.分析发现考察题目可分为两大类：非整解不定方程和整解不定方程，主要为整解类问题.再结合函数及数论知识从中总结出解决不定方程问题的处理方法.以缓解在处理此类问题无从下手的局面.关键词 不定方程 初等数学 数论 整数解 数

2、列 Teaching research of indefinite equation in Elementary MathematicsAbstract Indefinite equation is widely used in middle school mathematics, and it is an important part of middle school mathematics. It is also very important for students to evaluate their knowledge of the indefinite equation and fi

3、nd out how to improve their ability of using the indefinite equation to solve problems. By studying the teaching of indefinite equation in primary mathematics, it is very important to improve students mathematical literacy and increase their mathematical knowledge. Therefore, in the future mathemati

4、cs teaching process, students should be able to think independently about the discovery, development and application of indefinite equations according to the thought method of problem-solving.Key words Indefinite Equation Elementary Mathematics 目 录1.引言11.1选题意义11.2研究综述11.3研究意义21.4研究内容和方法论文框架或主要观点21.4

5、.1文献法31.4.2分析法31.4.3比较法32.关于不定方程在中学中的教学研究42.1不定方程在数列中的应用42.1.1整数分离法42.1.2因式分解法52.1.3奇偶比较法62.1.4大小比较法72.1.5有、无理数比较法72.2不定方程在排列组合中的应用82.3不定方程在立体几何中的应用83.结论11参考文献12致谢1341. 引言1.1 选题意义确切来说不定方程这一知识点在中学教材中并未出现，但对其的考察却一直存在.一般情况下题目会对方程中的未知数进行整数上的限制来保证不定方程有少量解，易于学生的求解以及答案的编辑.结合这一限制特点，在江苏高考中，不定方程常在数列压轴题中出现.由于题

6、目本身的难度，加上讲解后能够被学生真正接受吸收的内容也寥寥无几，这也就导致了在教学中教师不会花费大量时间去讲解.使得大部分学困生不去做，学优生没时间或是没有处理的方法.从江苏高考的试卷也能发现这一现象，简单题学生都可以处理，难题学生都不能处理.因此总结不定方程的处理方法有着重要意义，一方面可以帮助学生提高了成绩，另一方面由于解决的方法涉及数论知识，可以在开拓学生的思维的同时体会到数学的巧妙之处.1.2 研究综述国内现状：我国是最早研究不定方程的国家，比较有名的有“五家共井”、“鸡兔同笼”问题，标志着中国对不定方程理论有系统研究的是公元五世纪张丘建算经中的百鸡问题.之后秦九韶在数书九章中对不定方

7、程深入研究，提出“大衍求一术”，将不定方程和同余联系起来，对不定方程进行求解.随着教育对数学学科的不断深入要求，不定方程使用的范围逐渐变广，目前在我国各地的高考中都会出现，但往往是结合着一些重要考点出现.国内外有许多优秀的学者在研究不定方程在中高考中常考的题型，归纳不定方程几个重要解法以及包含不定方程的题目题型.王知博、郭建华（2019）对数列在不定方程中的解进行研究，并且进行归纳，提出了数列问题中出现不定方程应使用因式分解型、范围制约性、奇偶分析型、矛盾对立行等几个常见方法.8p3739同年潘建宁也针对数列中的不定方程问题进行研究，提出几个解决不定方程的重要方法，与王知博、郭建华两人基本相同

8、.9p1718不定方程的应用不仅在数列中体现，排列组合中也经常存在，针对这一现象，邢雅峰（2019）对排列组合中的不定方程进行研究.11p94邢雅峰提出排列组合中涉及到不定方程的基本上属于计数问题，通常是用来解决分配问题，将排列组合问题转化为不定方程问题，能让学生更深刻地理解题意.高中数学中不定方程虽没有出现在数学课程标准中，但基本上应用广泛，在许多常见题型都会出现，杜平（2018）就针对上海数学高考中的不定方程问题进行归类总结，得出在数学中常见的含有不定方程的题型为立体几何、解析几何、排列组合以及数列，要想解决这些问题就应先了解不定方程，不定方程的解法非常多样，教师在教学的过程中要把握一个度

9、，及时强度不定方程的定义以及解法，让学生充分了解.1p3840管训贵（2018）在对不定方程解的研究中使用了分类讨论法，他针对多元式子进行未知数分类讨论，从而得出结果.10p4850国外第一个提出不定方程的是古希腊的丟番都，他曾研究过许多类型的不定方程，因此后人将不定方程又称为丢番图方程.从1965年费马在接触到丢番图方程时，就对不定方程进行研究，三百多年来，在这方面有着巨大贡献的数学家也不计其数，前有费马、欧拉，后有格朗维尔以及怀尔斯.1994年普林斯顿知名教授A.Wiles解决了当时留存的世界难题费马大定理的证明. 1.3 研究意义不定方程尽管在考试中经常出现，但由于是隐藏式出现，所以一部

10、分的学生不能很好地理解什么是不定方程？什么样的情况要使用不定方程?因此在教学过程中，教师应在使用不定方程的过程中及时强化不定方程的概念以及什么题型首先考虑到不定方程的使用.通过研究不定方程在初等数学中的应用，归纳不定方程在习题中出现的题型，引导学生自主思考什么样的数学题要使用不定方程.目前中学生对于不定方程的理解仅停留在 初中时学过的一元二次方程中，对于排列组合、数列中出现的不定方程的使用方法不是很明确，学生往往使用后不能明确的辨析出用的是什么方法，对于题目而言他们只能确定这是有关于立体几何求特殊值的问题、求数列解析式以及数列中带有未知数的值等问题，不能很快思考出考题除大考点以外的小的考点.通

11、过本次实践研究，我们可以在教学的过程中给予学生一个明确的不定方程的定义，强化学生关于这方面的应用能力，增强学生的解决问题能力，提高学生对于难题抓住关键考点的能力.1.4 研究内容和方法论文框架或主要观点本研究先参考了许多关于不定方程的相关文献，再通过收集一些中高考模拟题以及历年来真题.结合自己已有的一些知识经验，并且咨询实习指导老师指导后，进行对题目的分类归纳，将常见的不定方程问题罗列出来，对解法整合.希望可以为师生早日后的教学或学习过程中在不定方程的定义及其应用知识的实践中提供一些帮助.1.4.1 文献法本文的理论支撑就是不定方程的定义及应用的相关资料，包括教科书、辅导资料、课程标准以及来源

12、于知网的相关期刊、论文和书籍等.运用文献法，能够使本文的结论更加具有说服力，从而保证结论是可靠真实的.1.4.2 分析法本文除收集相关资料外，对文献进行分析整理也是一个重要过程.通过教科书、课外习题以及历年来的中高考真题中涉及到不定方程的题目进行分析，着重从与不定方程有联系的相关知识点入手，对题型、解题思路进行分析，从而保证论文的严谨性.1.4.3 比较法通过对知网及搜集到的相关习题进行归类整理，对与不定方程相结合出现的知识点进行比较.着重从在历年高考出现的次数以及解决方法进行比较.对之后的教学研究和课堂中对不定方程的讲解做出相应的建议.2. 关于不定方程在中学中的教学研究不定方程作为数论中的

13、一个重要课题，往往是高考命题的热门选择.由于不定方程在高中数学中没有明确的考纲，因此即使在高考中出现相应的内容，也不会单独作为一道大题出现，不定方程往往是作为一个单一的元素出现已达到增加学生的思维量和题目关系式的推论这一目的.不定方程是指未知数的个数多余方程个数的方程.这种方程在不限制条件的情况下有无限多个解，例如,对于任意实数，都有一个与之对应的实数,这个方程的解即有无数组，但在命题时显然不能不对解进行一系列限制，使他有少量方程解并能一一列举.对不定方程，我们一般会简单研究它的整数解、正整数解等，避免因为解无限制，导致题目难以解决.2.1 不定方程在数列中的应用数列中的不定方程是指数列中含有

14、未知数的等式，它的求解是数列中的一个难点.原因在于数列的题目本身就是以压轴题的形式出现的，学生对其具有一定的恐惧性，再加上蕴含不定方程的数列问题部分学生无法掌握解题方法，因此导致这部分学生不敢或者不愿意去解决这方面的问题，所以很有必要将数列中的不定方程题型进行归类整合.2.1.1 整数分离法例1：设数列an的通项公式为an=2n-12n+t.是否存在正整数t，使得a1，a2，am(m3,mN*)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由。解：假设数列an中存在a1，a2，am成等差数列故a1+am=2a2，又an=2n-12n+t故21-121+t+2m-12m+t=222-12

15、2+t 故2m-12m+t=8+5tt2+6t+8，故2m-12m+t-(2m-1)=8+5tt2+6t+8-(8+5t)即2m-1t+1=8+5tt2+t，故m=3+4t因方程左边 mN*，故右边3+4tN*，4tN*又t是正整数，故t=1，2，4故当t=1时，m=7；当t=2时，m=5；当t=4时，m=4故存在t=1,使得a1，a2，am(m3,mN*)成等差数列例2：设各项均为正整数的无穷等差数列an，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，问：公差d的所有可能取值之和的值。解：假设存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列故a1ak=a542， 因数列a

16、n是各项均为正整数的等差数列，故公差d0又a54=2014，故an=a54+n-54d=2014+(n-54)d故a1=2014-53d故(2014-53d)(2014+(k-54)d)=20142故d=38k-10738k-54故d=38-5338k-54又d0，故38-5338k-540，故53k-541又d=0时不影响目标的结果(所有满足题意的公差和)故当d0时，由a1，a54，ak成等比可知k54故k-5453，又5338=532191故k-54=532或5319或53192故当k-54=532，故d=38-19=19故当k-54=5319，故d=38-2=36故当k-54=53192

17、，故d=38-1=37故d=0或19或36或37，又0+19+36+37=92故公差d的所有可能取值之和为922.1.2 因式分解法例3：设各项均为正整数的无穷等差数列an，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，问：公差d的所有可能取值之和的值。解：假设存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列故a1ak=a542， 因数列an是各项均为正整数的等差数列，故公差d0又a54=2014，故an=a54+n-54d=2014+(n-54)d故a1=2014-53d故(2014-53d)(2014+(k-54)d)=20142故d=38k-10738k-54故d=3

18、8-5338k-54又d0，故38-5338k-540，故53k-541又d=0时不影响目标的结果(所有满足题意的公差和)故当d0时，由a1，a54，ak成等比可知k54故k-5453，又5338=532191故k-54=532或5319或53192故当k-54=532，故d=38-19=19故当k-54=5319，故d=38-2=36故当k-54=53192，故d=38-1=37故d=0或19或36或37，又0+19+36+37=92故公差d的所有可能取值之和为922.1.3 奇偶比较法例4：数列an的通项公式为an=32n-1-2，问:是否存在不同的三项ap，aq，ar(其中p,q,rN*

19、)恰好成等差数列，若存在，求出p,q,r的关系，若不存在，试说明理由。解：假设数列an中存在ap，aq，ar成等差其中p,q,rN*且pqr故ap+ar=2aq，又an=32n-1-2故32p-1-2+(32r-1-2)=2(32n-1-2) 故22q-r=2p-r+1故易知q-r1, p-r2故2q-r和2p-r是偶数故方程的左边是偶数，右边是奇数故数列an中不存在不同的三项ap，aq，ar成等差2.1.4 大小比较法例5：数列an的通项公式为an=n2n+1，问:是否存在正整数m，n(1m1，故m=2故n6n+3=(222+1)2，故n=12故存在m=2,n=12，使得a1，am，an成等

20、比数列2.1.5 有、无理数比较法例6：数列bn的通项公式为bn=a+n，其中a为有理数，问:是否存在不同的三项成等比数列？试说明理由。解：假设数列bn中存在bi，bj，bk成等比其中i,j,kN*且ijk故bibk=bj2，又bn=a+n故(a+i)(a+k)=(a+j)2 故ai+k-2j=j2-ik若i+k-2j=0，则j2-ik=0，故i=j=k这与ijk相矛盾，故i+k-2j0若i+k-2j0，则a=j2-iki+k-2j因i,j,kN*，故j2-ik和i+k-2j都是整数因此j2-iki+k-2j是有理数，又a是有理数故取a=j2-iki+k-2j时，数列bn中就存在bi，bj，b

21、k成等比数列2.2 不定方程在排列组合中的应用排列组合和不定方程结合的题目类型相对数列来讲较少，常见的是排列组合中的计数问题，这类题目就是将一样的元素进行多种分配的问题.例7：在十个盒子中放入个颜色大小相同的小球，满足第个盒子里至少有求一共有多少种不同的放置方法.解析：题目中已有条件为“相同的小球”说明是小球放置为无序放置，也就是组合问题.假设现在第个盒子里放进个球，也就是说放进一个球在第一个盒子中，放进两个球在第二个盒子中，以此类推，在第一轮放置完毕之后一共放了个球，剩下1961个球.于是这道题就变成了将1961个球无序地放进10个不相同的盒子中间，不一定能保证每一个盒子都放进球，我们可以将

22、它转换为不定方程求解的问题，也就是说对于求此不定方程的非负整数解，计算可以得出种不同的放置方法.例8：某机场共有号和号总共个入口，每一个入口一次只可以进一个人，小明一家四口人进站，共有多少种不同的方案.解析：假设小明一家四口分别进入个人，易得到存在的关系式为且.该不定方程的接的个数为C73，也就是说在无序状态下共有种方法.但是，对于每个人来讲，进入哪一个入口又是不同的，无法保证他进入具体哪个，因此这个问题实际上是一个排列组合的问题，即它是有序的.因此一共有种进站的方法.2.3 不定方程在立体几何中的应用不定方程在几何中的应用相对数列、排列组合来说范围没有那么广泛，但是在部分求特殊值的题目中还是

23、会运用到此类做法，故这种做法对于学习理科的学生非常有帮助，在附加分关于立体几何的特殊值问题可以选用不定方程解决.目前是用不定方程解决立体几何在江苏高考中不是很常见，可以说少之又少.例9：已知是底面边长为的正四棱柱，是和的交点.设与底面所成角的大小为，二面角的大小为.求证：.若点到平面的距离为，求正四棱柱的高.解析：（2）建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可知有、，故，.设平面的一个法向量为，因为，所以有即取得到，故知到平面的距离，解得.像上题一样在求解的过程中涉及到平面法向量时，由于只涉及该法向量的方向，而不涉及其大小，所以可以取一个特殊值代入.不定方程在初中的应用近几年不定方程在初中试题

24、中出现次数增多，其中涉及到基本为一次不定方程，已达到考察学生对不定方程的掌握程度的目的.这一类题目必然与整数相关，在解题的过程中需要根据题目要求列出相应的方程，再根据题意限制未知数的范围，从而得出符合条件的解，接下来我将根据近几年常见中考题型归纳一些题型及解决办法.例10:李老师为希望中学捐赠了一批足球、篮球和排球共计个.它们总价值为元，这三种球的价格分别为：足球每一个元，篮球每一个元，排球每一个元.那么请问，在这个 球中，有多少个排球？ 解：设王老师为希望中学捐赠的足球有个，篮球个，足球个.根据题意可得从方程组中消去，得.显然，此时是关于二元一次不定方程的求解问题，、的值必然是正整数，根据求

25、解二元一次方程的方法，易得出该方程有一组正整数解，即此时.故王老师购买的球类中有个排球.总结：这是一道较为典型的李用不定方程探索实际问题中正整数解的问题.本题中可以清晰明了地看出等量关系式.而此题的难度是在于如何将求解问题从定向思路跳出来，要求学生会利用不同角度看待问题，从题目主干中发现未知数的限制范围是正整数.3. 结论 根据研究结果表明：不定方程在初中以及高中都没有明确的考纲，涉及不定方程的考题在高考中往往有两大类，第一是包含在数列问题中的不定方程，这类问题通常是解决包含未知数的数列通项，有已知求未知，往往会给一个限定的范围，求出一组或者几组不定方程的解，再代入原本的方程进行求解，从而解决

26、问题.第二类是包含在排列组合问题中的不定方程，这类方程通常是解决排列组合中的计数问题的，也就是说专门针对相同元素有序分配的问题的.因此高中教师在解决这两大类问题是首先应自我判断是否包含涉及到不定方程题型的问题，如果包含到这样的问题时应怎样对学生进行讲解，在讲解的过程中是否应该及时处理学生对不定方程概念的加强.通过查阅相关资料，发现目前我国对于不定方程在高考中的要求没有具体明确，数学课程标准中也没有明确给出不定方程的相关要求，在初中时曾经出现过二元一次方程，但在概念上没有提出关于不定方程的相关定义，因此学生对于不定方程的概念相当的模糊，只能大致说出在二元一次方程的时候了解过，对于二元一次方程组是

27、否也是不定方程就不能明确地说出，故教师在上二元一次不定方程的时候要将他属于什么方程明确给学生，让学生可以清楚地区分二元一次方程和二元一次方程组解的个数的区别，对于不定方程有一个初步的概念.对于一些不经常使用的知识点，学生容易忘记和忽视，因此在高中当出现不定方程知识点的题目时，教师要适时地点出此时使用的方程叫不定方程，它的概念是未知数的个数多余方程个数的方程，大多数学生会出现这样的问题，在解题的时候知道要去使用不定方程，但觉得这这只是解这道题的相应的或者说是必须的流程，而不是清楚这道题中出现了关于不定方程的思想，所以我使用了不定方程.学生对于题目考察的知识点不明确的时候容易出现解题的消极思想，认

28、为这道题没有办法写下去，教师在讲解的时候讲不定方程专门提出来，适时地给与学生一些不定方程的基本解法，让学生通过练习得到提升.参考文献：1杜平.谈谈高中教学中的不定方程J.数学教学,2018:3840.2张宇.不定方程问题的解法探究J.中学数学参考,2018:1920.3王淼生.追寻数学问题的本来面目J.数学通报,2013(11).4石向阳.构建不定方程模型解决计数问题J.中学数学杂志,2016(5)4346.5郭珍.不定方程教学探讨与解题策略研究J.中学数学,2019:4344.6丛品.2018年江苏高考数学卷的特点研究与教学建议J.中学数学月刊,2018:3941.7丛品.2017年高考数学

29、江苏卷、浙江卷及上海卷的特点比较从比较中探求新高考数学卷的趋势和启示J.中学数学月刊，2018(2),5862.8王知博;郭建华.数列的不定方程求解归类J.中学数学研究,2019:3739.9潘建宁.小议涉及不定方程的数列存在性问题J.高中数学教与学,2019:1718.10管训贵.分类讨论法在不定方程中的应用J.广西师范学报（自然科学版）,2018:4850.11邢雅峰.用不定方程求解排列组合问题J.数学学习与研究,2019:94.12蒋彩荣.利用不定方程解一类排列组合问题J.数学通报,2004(8):36.13胡颖杰.浅谈不定方程的教学J.中学数学教学,1995:8485.14刘志彬.趣谈

30、不定方程的教学J.科教文汇(下旬刊).2009:123.15张静.关于几类不定方程的整数解M.重庆:重庆师范大学，2016.16柯召;孙琦.谈谈不定方程M.哈尔冰:哈尔冰工业大学出版社,2011.17G. Soydan;M. Ulas;Zhu H. L. On the Diophantine equation x2+2a*19b=ynJ.India J.Pure Appl.Math,2012,43(3):251261.18Liang zhang;X. H. Tang;Yi Chen.Infinitely many solutions for a class Indefinite bihaimonic equation under symmetry breaking situationsJ.Coplex Variables and Elliptic Equations,2016,61(9):13341352.19数学竞赛之窗编辑部.国外高中数学竞赛真题库J.杭州:浙江大学出版社,2007:285.20徐卫东.培养学生应用意识，高数学学习效果J.上海中学数学,2018(3).12