第5章误差理论优秀PPT.ppt

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1、第5章误差理论现在学习的是第1页，共40页第一节、测量误差概述第一节、测量误差概述一、测量误差的定义一、测量误差的定义任何一个观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大任何一个观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值，这一数值就称为该观测量的真值，并以小的数值，这一数值就称为该观测量的真值，并以X表示。表示。设对某量观测设对某量观测n次，其观测值为次，其观测值为L1，L2，Ln，则真误则真误差差i定义如下：定义如下：（i=1,2,3,ni=1,2,3,n）现在学习的是第2页，共40页二、测量误差的来源二、测量误差的来源(一一)人为因素人为因素观测时由于观测者的感觉器官的鉴别能力存在局

2、限性，在仪器的对中、观测时由于观测者的感觉器官的鉴别能力存在局限性，在仪器的对中、整平、照准、读数等方面都会产生误差。同时，观测者的技术熟练程整平、照准、读数等方面都会产生误差。同时，观测者的技术熟练程度也会对观测结果产生一定影响。度也会对观测结果产生一定影响。(二二)仪器因素仪器因素测量中使用的仪器和工具，在设计、制造、安装和校正等方面不可测量中使用的仪器和工具，在设计、制造、安装和校正等方面不可能十分完善，致使测量结果产生误差。能十分完善，致使测量结果产生误差。(三三)外界条件的影响外界条件的影响观测过程中的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光、大气折光、观测过程中的外界条件，如温度、湿度、

3、风力、阳光、大气折光、烟雾等时刻都在变化，必将对观测结果产生影响。烟雾等时刻都在变化，必将对观测结果产生影响。现在学习的是第3页，共40页观测条件:人、仪器和外界条件，通常称为观测条件。观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。在观测结果中，有时还会出现错误，称之为粗差。粗差在观测结果中是不允许出现的，为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施。现在学习的是第4页，共40页三、测量误差的分类例：例：误差误差 处理方法处理方法 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 ld 计算改正计算改正 钢尺温度误差钢尺温度误差 lt 计算改正计算改正 水准仪视准轴误

4、差水准仪视准轴误差I 操作时抵消操作时抵消(前后视等距前后视等距)经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C 操作时抵消操作时抵消(盘左盘右取平均盘左盘右取平均)1.1.系统误差系统误差-在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，若出现在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，若出现的误差在数值、符号上都保持不变，或按一定的规律变化，这种误差的误差在数值、符号上都保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。称为系统误差。测量误差按性质分为：系统误差和偶然误差测量误差按性质分为：系统误差和偶然误差现在学习的是第5页，共40页2.2.偶然误差偶然误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的在相同的观测条

5、件下，对某量进行一系列的观测，如果观测误差的符号和大小都不一致，表面上没有任何观测，如果观测误差的符号和大小都不一致，表面上没有任何规律性，这种误差称为偶然误差。规律性，这种误差称为偶然误差。例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差测值产生误差 。现在学习的是第6页，共40页 例例如如，对对三三角角形形的的三三个个内内角角进进行行测测量量，由由于于观观测测值值含含有有偶偶然然误误差差，三三角角形形各各内内角角之之和和l不不等等于于其其真真值值180。用用X表表示示真真值值，则则l与与X的的差差值值称为真误差（即偶然误差），

6、即称为真误差（即偶然误差），即四、四、偶然误差的特性偶然误差的特性偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是随着对同一量观测次数的偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是随着对同一量观测次数的增加，大量的偶然误差就表现出一定的统计规律性，观测次数越多，这增加，大量的偶然误差就表现出一定的统计规律性，观测次数越多，这种规律性越明显。种规律性越明显。现在学习的是第7页，共40页在某测区，等精度观测了在某测区，等精度观测了358个三角形的内个三角形的内 角之和，得到角之和，得到358个三角形闭合差个三角形闭合差 i(偶然误偶然误 差，也即真误差差，也即真误差)，然后对三角，然后对三角形闭合差形闭合差 i

7、进行分析。分析结果表明，当观测次数很多时，进行分析。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。次数越多，规律性越明显。现在学习的是第8页，共40页用频率直方图表示的偶然误差统计用频率直方图表示的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近,对称对称于于y轴。轴。频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于，而所有条形的总面积等于1

8、。各条形顶边中点连线经各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律出偶然误差的普遍规律 误差统计直方图现在学习的是第9页，共40页偶然误差的四个特性：偶然误差的四个特性：（1）在在一一定定观观测测条条件件下下，偶偶然然误误差差的的绝绝对对值值有有一一定定的的限限值值，或或者者说说，超超出该限值的误差出现的概率为零；出该限值的误差出现的概率为零；(有界性有界性)（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；(趋向性趋向性)（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同）绝对值相等的正、负误差出现的概率相

9、同(对称性对称性)（4）同同一一量量的的等等精精度度观观测测，其其偶偶然然误误差差的的算算术术平平均均值值，随随着着观观测测次次数数n n的的无限增大而趋于零，无限增大而趋于零，(抵偿性抵偿性)即即式中式中 偶然误差的代数和，偶然误差的代数和，现在学习的是第10页，共40页偶然误差具有正态分布的特性偶然误差具有正态分布的特性当观测次数当观测次数n n无限增多无限增多(n(n)、误差区间误差区间d d 无限缩小无限缩小(d d 0)0)时，各矩形的顶边就连成一时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称条光滑的曲线，这条曲线称为为“正态分布曲线正态分布曲线”，又称，又称为为“高斯误差分布曲线

10、高斯误差分布曲线”。所所以偶然误差具有正态分布的特以偶然误差具有正态分布的特性。性。误差统计直方图现在学习的是第11页，共40页 在相同的观测条件下，对某量进行多次观测，为了鉴在相同的观测条件下，对某量进行多次观测，为了鉴定观测结果的精确程度，必须有一个衡量精度的标准。在定观测结果的精确程度，必须有一个衡量精度的标准。在测量工作中，常采用以下几种标准评定测量成果的精度。测量工作中，常采用以下几种标准评定测量成果的精度。中误差中误差 相对中误差相对中误差 极限误差极限误差 第二节第二节 精度评定的标准精度评定的标准现在学习的是第12页，共40页一、中误差一、中误差 设在相同的观测条件下，对某量进

11、行n次重复观测，其观测值为l1，l2，ln，相应的真误差为1，2，n。则观测值的中误差m为：式中式中 真误差的平方和真误差的平方和，现在学习的是第13页，共40页 例例5-1 设有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测，它们的真误差分别为：设有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测，它们的真误差分别为：甲组：乙组：试计算甲、乙两组各自的观测精度。试计算甲、乙两组各自的观测精度。解:现在学习的是第14页，共40页 中误差所代表的是某一组观测值的精度。m m1 1小于小于m m2 2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比其

12、精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低：较离散，其精度较低：m m1 1=2.72.7 是第一组观测值的中误差；是第一组观测值的中误差；m m2 2=3.63.6 是第二组观测值的中误差。是第二组观测值的中误差。现在学习的是第15页，共40页二、相对中误差二、相对中误差测测量量工工作作中中，有有时时仅仅用用中中误误差差还还不不能能完完全全表表达达观观测测结结果果的的精精度度。还还需需采采用用另另一一种种衡衡量量精精度度的的方方法法，这这就就是是相相对对中中误误差差或或相相对对误误差差，它它是是中中误误差差的的绝绝对对值与观测值的比值，通常用分子为值与观测值的比值，通常用

13、分子为1 1的分数形式表示的分数形式表示 例例 丈量两段距离，丈量两段距离，D1=100m，m1=1cm和和D2=30m，m2=1cm，试计算两试计算两段距离的相对中误差。段距离的相对中误差。解现在学习的是第16页，共40页三、极限误差 在在一一定定观观测测条条件件下下，偶偶然然误误差差的的绝绝对对值值不不应应超超过过的的限限值值，称称为为极极限限误误差，也称限差或容许误差。差，也称限差或容许误差。或 如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以认为该观测值含有如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。粗差，应舍去不用或返工重测。现在学习的是第

14、17页，共40页 第三节第三节 误差传播定律误差传播定律在实际测量工作中在实际测量工作中，某些未知量往往不能直接测得，而是由某些直某些未知量往往不能直接测得，而是由某些直接观测值通过一定的函数关系间接计算而得。由于直接观测值含有误接观测值通过一定的函数关系间接计算而得。由于直接观测值含有误差，因而它的函数必然要受其影响而存在误差，阐述观测值中误差与差，因而它的函数必然要受其影响而存在误差，阐述观测值中误差与函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。现就线性与非线性两种函数形式分别讨论如下。现就线性与非线性两种函数形式分别讨论如下。现在学习的是第18

15、页，共40页 一、线性函数一、线性函数 线性函数的一般形式为：线性函数的一般形式为：Z=k1x1k2x2knxn 式中式中x1、x2xn为独立观测值，其中误差分别为为独立观测值，其中误差分别为m1、m2mn，k1、k2kn为常数。为常数。设函数设函数Z的中误差为的中误差为mz，下面来推导两者中误差的关系。为推导简便，下面来推导两者中误差的关系。为推导简便，先以两个独立观测值进行讨论，则上式为：先以两个独立观测值进行讨论，则上式为：Z=k1x1k2x2（）（）若若x1和和x2的真误差为的真误差为x1和和x2，则函数则函数Z必有真误差必有真误差Z即：即：现在学习的是第19页，共40页由上两式由上两

16、式（）、）（）、）相减可得：相减可得：若对观测值均进行了若对观测值均进行了n次观测，可得：次观测，可得：（）（）现在学习的是第20页，共40页将上式等号两边平方求和，并处以将上式等号两边平方求和，并处以n，则得：则得：由于由于x1、x2均为独立观测值的偶然误差，因此乘积均为独立观测值的偶然误差，因此乘积x1x2也必然呈也必然呈现偶然性，根据偶然误差的第四特性，有：现偶然性，根据偶然误差的第四特性，有：根据中误差的定义，得中误差的关系式：根据中误差的定义，得中误差的关系式：推广之，可得线性函数中误差的关系式推广之，可得线性函数中误差的关系式现在学习的是第21页，共40页二、非线性函数二、非线性函

17、数 非线性函数即一般函数，其形式为：非线性函数即一般函数，其形式为：式中式中Xi 具有真误差具有真误差i时，函数时，函数Z相应地产生真误差相应地产生真误差z。这些真误差都是这些真误差都是一个小值，一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。可以近似地用函数的全微分来表达。为此，求函数的全微分，以真误差为此，求函数的全微分，以真误差“”替代微分的符号替代微分的符号“d”，得：得：现在学习的是第22页，共40页是函数对各个变量所取得偏导数，以观测值代入所算出的数值，它是函数对各个变量所取得偏导数，以观

18、测值代入所算出的数值，它们是常数，因此，上式是线性函数的真误差关系式，按线性函数的们是常数，因此，上式是线性函数的真误差关系式，按线性函数的真误差关系可得：真误差关系可得：现在学习的是第23页，共40页应用误差传播定律求观测值函数中误差时，可归纳为如下三步：应用误差传播定律求观测值函数中误差时，可归纳为如下三步：1 1）应根据问题的性质列出函数关系式应根据问题的性质列出函数关系式。2 2）对函数式进行全微分，获得函数的真误差与观测值之间的关）对函数式进行全微分，获得函数的真误差与观测值之间的关系式。系式。3 3）写出函数的中误差与观测值中误差之间的关系式。）写出函数的中误差与观测值中误差之间的

19、关系式。现在学习的是第24页，共40页 1.倍数函数的中误差 设有函数式 (x为观测值，K为x的系数)全微分 得中误差式例：量得：地形图上两点间长度例：量得：地形图上两点间长度68.5mm 0.2mm,计算该两点实地距离计算该两点实地距离S及其中误差及其中误差ms：解：列函数式解：列函数式 求全微分求全微分 中误差式中误差式三三.几种常用函数的中误差应用举例几种常用函数的中误差应用举例 现在学习的是第25页，共40页.和或差函数的中误差和或差函数的中误差 函数式：函数式：全微分：全微分：中误差式：中误差式：当等精度观测时：当等精度观测时：上式可写成：上式可写成：例：测定A、B间的高差 ，共连续

20、测了9站。设测量 每站高差的中误差 ，求总高差 的中 误差 。解：现在学习的是第26页，共40页直线直线AB的长度的长度D=206.125m0.003m，方位角，方位角=11945004，求，求B直线直线的坐标增量中误差。的坐标增量中误差。解解 坐标增量的函数式为坐标增量的函数式为 .非线性函数的中误差非线性函数的中误差设设mx、my、mD、ma分别为分别为x、y、D及及的中误的中误差。将上两式对差。将上两式对D及及求偏导数，得：求偏导数，得：现在学习的是第27页，共40页应用时应注意几点：应用时应注意几点：1.上式写出的规律是：将偏导数值平方，把真误差换成中误差平方。上式写出的规律是：将偏导

21、数值平方，把真误差换成中误差平方。2.各项的单位要统一；各项的单位要统一；3.观测值必须是独立的观测值，即函数式等号右边的各自变量应互相观测值必须是独立的观测值，即函数式等号右边的各自变量应互相独立，不包含共同的误差。独立，不包含共同的误差。现在学习的是第28页，共40页观测值函数中误差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式函数式 函数的中误差函数的中误差一般函数倍数函数倍数函数 和差函数和差函数 线性函数线性函数 算术平均值算术平均值 现在学习的是第29页，共40页第四节第四节 等（同）精度直接观测平差等（同）精度直接观测平差 观测值的算术平均值观测值的算术平均值

22、(最或是值最或是值)用观测值的改正数用观测值的改正数v v计算观测值的计算观测值的 中误差中误差 (即即:白塞尔公式白塞尔公式)算术平均值的相对中误差算术平均值的相对中误差现在学习的是第30页，共40页前面，我们介绍了等精度观测下的观测和不等精度观测。无论那一种观测，为确定一个未知量的大小，一般都对未知量进行多余观测，观测值之间就出现了矛盾。进行平差的目的，就是对观测数据进行处理，求得未知量的最或是值（或最可靠值），同时评定观测值及最或是值的精度。如何进行平差，下面先举一个例子来说明平差应遵循的原则。现在学习的是第31页，共40页 一个三角形的三个内角a、b、c，只要观测其中任意两个，三个角值

23、就可以确定，因此，必要观测数为2个。一般三个都测，就有一个多余观测。所测三个角之和应满足三角形内角和条件（称为图形条件），但一般a+b+c180，则产生闭合差f为：f=a+b+c-180为了消除闭合差以满足图形条件，求得各角的最或是值，就必须在每一角加一改正数。一个方程有三个未知数，有很多组解，因而需要确定一组最佳值。现在学习的是第32页，共40页当时，得到的改正数是最合理的。时，得到的改正数是最合理的。一、求最或是值设对某量进行设对某量进行n n次等精度观测，观测值为次等精度观测，观测值为（i i=、2、n n），），最或是值为最或是值为 ，为观测值的改正数，则有：为观测值的改正数，则有：左

24、式等号两边平方左式等号两边平方求和，得求和，得 现在学习的是第33页，共40页由上式可知，观测值的算术平均值就是最或是值。由上式可知，观测值的算术平均值就是最或是值。现在学习的是第34页，共40页二、观测值的中误差二、观测值的中误差式式中中i=L Li-X X（i i=1、2、n n）。由由于于真真值值一一般般难难以以知知道道，可可用用观观测测值值的的改改正正数数来来推推求求，为为此此，将将i=L Li-X X 与式与式 相加，得：相加，得：将上式等号两边自乘取和，得：将上式等号两边自乘取和，得：上式等号两边再除以上式等号两边再除以n，现在学习的是第35页，共40页上式中 是最或是值（算术平均

25、值）的真误差，也难以求得，通常以算术平均值的中误差 代替，算术平均值的中误差公式为 ，则：再将上式代入可得：经整理可得上式也叫白塞尔公式上式也叫白塞尔公式现在学习的是第36页，共40页三、算术平均值的中误差三、算术平均值的中误差根根据据误误差差传传播播定定律律，等等精精度度观观测测由由观观测测值值中中误误差差m求求得算术平均值的中误差得算术平均值的中误差 为：为：现在学习的是第37页，共40页现在学习的是第38页，共40页现在学习的是第39页，共40页1.1.某某一一三三角角形形，三三边边长长度度分分别别为为a=30m0.00a=30m0.00，b=40m0.03b=40m0.03米，米，c=

26、50c=50米米0.040.04米，试求该三角形周长米，试求该三角形周长s s及其中误差及其中误差m ms s。2.2.水水准准测测量量，每每站站高高差差中中误误差差m mh h5mm5mm，从从已已知知点点推推算算高高程，要求中误差程，要求中误差22cmcm，问最多可设多少站？问最多可设多少站？3.3.在在等等精精度度观观测测中中，对对某某角角观观测测4 4个个测测回回，求求得得其其平平均均值值的的中中误误差差为为2020，若若欲欲使使平平均均值值的的中中误误差差小小于于1515，至少应观测多少测回？，至少应观测多少测回？4.4.在在1 1：500500图图上上量量得得一一圆圆的的半半径径R R28.43mm28.43mm，已已知知量量测测中中误差误差mRmR0.05mm0.05mm，求该圆周长及其中误差。求该圆周长及其中误差。现在学习的是第40页，共40页