第5章误差基本知识优秀PPT.ppt

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1、1 1、偶然误差与系统误差的定义？、偶然误差与系统误差的定义？2 2、偶然误差的特性？、偶然误差的特性？3 3、等精度观测值中误差的计算？、等精度观测值中误差的计算？4 4、误差传播定律？、误差传播定律？1一、观测误差一、观测误差一、观测误差一、观测误差 当对某观测量进行观测，其观测值与真值当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存客观存在或理论值在或理论值)之差，称为测量误差。之差，称为测量误差。用数学式子表达：用数学式子表达：i=Li X i=Li X (i=1,2n)(i=1,2n)L L 观测值观测值 X X真值真值 5-15-1 测量误差概述测量误差概述 1 1、仪器的缘由、仪器的

2、缘由 仪仪器器结结构构、制制造造方方面面，每每一一种种仪仪器器具具有有确确定定的的精确度，因而使观测结果的精确度受到确定限制。精确度，因而使观测结果的精确度受到确定限制。二、测量误差的来源二、测量误差的来源二、测量误差的来源二、测量误差的来源 测测测测量量量量误误误误差差差差产产产产生生生生的的的的缘缘缘缘由由由由很很很很多多多多，但但但但概概概概括括括括起起起起来来来来主主主主要要要要有有有有以下三个方面：以下三个方面：以下三个方面：以下三个方面：2 例如：例如：例如：例如：DJ6 DJ6 DJ6 DJ6型光学经纬仪基本分划为型光学经纬仪基本分划为型光学经纬仪基本分划为型光学经纬仪基本分划为

3、1111，难以确保分以下，难以确保分以下，难以确保分以下，难以确保分以下 估读值完全精确无误。估读值完全精确无误。估读值完全精确无误。估读值完全精确无误。运用只有厘米刻划的一般钢尺量距，难以保证厘米以运用只有厘米刻划的一般钢尺量距，难以保证厘米以运用只有厘米刻划的一般钢尺量距，难以保证厘米以运用只有厘米刻划的一般钢尺量距，难以保证厘米以下估读值的精确性。下估读值的精确性。下估读值的精确性。下估读值的精确性。仪器构造本身也有确定误差。仪器构造本身也有确定误差。仪器构造本身也有确定误差。仪器构造本身也有确定误差。例如：例如：例如：例如：水水水水准准准准仪仪仪仪的的的的视视视视准准准准轴轴轴轴与与与

4、与水水水水准准准准轴轴轴轴不不不不平平平平行行行行，则则则则测测测测量量量量结结结结果果果果中中中中含含含含有有有有i i i i 角误差或交叉误差。角误差或交叉误差。角误差或交叉误差。角误差或交叉误差。水准尺的分划不匀整，必定产生水准尺的分划误差。水准尺的分划不匀整，必定产生水准尺的分划误差。水准尺的分划不匀整，必定产生水准尺的分划误差。水准尺的分划不匀整，必定产生水准尺的分划误差。3 2 2、人的缘由、人的缘由、人的缘由、人的缘由 观测者感官鉴别实力有确定的局限性。观测者的习惯因素、工作看法、观测者感官鉴别实力有确定的局限性。观测者的习惯因素、工作看法、观测者感官鉴别实力有确定的局限性。观

5、测者的习惯因素、工作看法、观测者感官鉴别实力有确定的局限性。观测者的习惯因素、工作看法、技术娴熟程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。技术娴熟程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。技术娴熟程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。技术娴熟程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。人、仪器和外界环境通常称为人、仪器和外界环境通常称为人、仪器和外界环境通常称为人、仪器和外界环境通常称为观测条件；观测条件；观测条件；观测条件；观测条件相同的各次观测称为观测条件相同的各次观测称为观测条件相同的各次观测称为观测条件相同的各次观测称为等精度观测；等精度观测；等精度观测；等精度观测；观测条件不相同的

6、各次观测称为观测条件不相同的各次观测称为观测条件不相同的各次观测称为观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。不等精度观测。不等精度观测。不等精度观测。3 3 3 3、外界条件、外界条件、外界条件、外界条件 例例例例如如如如：外外外外界界界界环环环环境境境境如如如如温温温温度度度度、湿湿湿湿度度度度、风风风风力力力力、大大大大气气气气折折折折光光光光等因素的变更，均使观测结果产生误差。等因素的变更，均使观测结果产生误差。等因素的变更，均使观测结果产生误差。等因素的变更，均使观测结果产生误差。例例例例如如如如：温温温温度度度度变变变变更更更更使使使使钢钢钢钢尺尺尺尺产产产产生生生生伸伸伸伸缩缩缩

7、缩阳阳阳阳光光光光曝曝曝曝晒晒晒晒使使使使水水水水准准准准气气气气泡泡泡泡偏偏偏偏移移移移，大大大大气气气气折折折折光光光光使使使使望望望望远远远远镜镜镜镜的的的的瞄瞄瞄瞄准准准准产产产产生生生生偏偏偏偏差差差差，风风风风力过大使仪器安置不稳定等。力过大使仪器安置不稳定等。力过大使仪器安置不稳定等。力过大使仪器安置不稳定等。4三、测量误差的分类三、测量误差的分类三、测量误差的分类三、测量误差的分类 先作两个前提假设：观测条件相同.对某一量进行一系列的干脆观测在此基础上分析出现的误差的数值、符号及变更规律。5 先看两个实例：先看两个实例：先看两个实例：先看两个实例：例例1 1：用名义长度为：用名

8、义长度为3030米而实际长度为米而实际长度为30.0430.04米的钢尺量距。米的钢尺量距。丈量结果见下表丈量结果见下表5-15-1：表表5-15-1 可以看出：可以看出：可以看出：可以看出：误差符号始终不变，具有规律性。误差符号始终不变，具有规律性。误差大小与所量直线成正比，具有累积性。误差大小与所量直线成正比，具有累积性。误差对观测结果的危害性很大。误差对观测结果的危害性很大。6例例 2 2：在厘米分划的水准尺上估读毫米时，在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时估过小，每次估读也有时估读过大，有时估过小，每次估读也不行能确定相等，其影响大小，纯属偶然。不行能确定相等，其影响大小

9、，纯属偶然。大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、有时偏右。瞄准目标有时偏左、有时偏右。可以看出：可以看出：从个别误差来考察，其符号、数值始终变更，无任从个别误差来考察，其符号、数值始终变更，无任 何规律性。何规律性。多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。71.1.1.1.系统误差系统误差系统误差系统误差-在相同的观测条件下，对某一量进行一系在相同的观测条件下，对某一量进行一系在相同的观测条件下，对某一量进行一系在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，假如出现的误差在符号和数值上

10、都相同，或按列的观测，假如出现的误差在符号和数值上都相同，或按列的观测，假如出现的误差在符号和数值上都相同，或按列的观测，假如出现的误差在符号和数值上都相同，或按确定的规律变更，这种误差称为确定的规律变更，这种误差称为确定的规律变更，这种误差称为确定的规律变更，这种误差称为“系统误差系统误差系统误差系统误差”。系统误系统误系统误系统误差具有规律性。差具有规律性。差具有规律性。差具有规律性。2.2.2.2.偶然误差偶然误差偶然误差偶然误差-在相同的观测条件下，对某一量进行一系列在相同的观测条件下，对某一量进行一系列在相同的观测条件下，对某一量进行一系列在相同的观测条件下，对某一量进行一系列 的观

11、测，假如误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面的观测，假如误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面的观测，假如误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面的观测，假如误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面 上看没有任何规律性，为种误差称为上看没有任何规律性，为种误差称为上看没有任何规律性，为种误差称为上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差偶然误差偶然误差偶然误差”。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。3.3.3.3.粗差

12、粗差粗差粗差-观测中的错误叫粗差。观测中的错误叫粗差。观测中的错误叫粗差。观测中的错误叫粗差。例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。一旦发觉，应刚好更正或重测。一旦发觉，应刚好更正或重测。一旦发觉，应刚好更正或重测。一旦发觉，应刚好更正或重测。引进如下概念：引进如下概念：8(二二二二)测量误差

13、的处理原则测量误差的处理原则测量误差的处理原则测量误差的处理原则在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消或减弱。正、抵消或减弱。对可能存在的状况不明的系统误差，可接受不同时间的多对可能存在的状况不明的系统误差，可接受不同时间的多次观测，消弱其影响。次观测，消弱其影响。消退系统误差的常用的有效方法：消退系统误差的常用的有效方法：检校仪器：使系统误差降低到最小程度。检校仪器：使系统误差降低到最小程度。求改正数：将观测值加以改正，消退其影响。

14、求改正数：将观测值加以改正，消退其影响。接受合理的观测方法：如对向观测。接受合理的观测方法：如对向观测。探讨偶然误差是测量学的重要课题。探讨偶然误差是测量学的重要课题。消退或减弱偶然误差的有效方法：消退或减弱偶然误差的有效方法：适当提高仪器等级。适当提高仪器等级。进行多余观测，求最或是值。进行多余观测，求最或是值。9 四、四、四、四、偶然误差的特性偶然误差的特性偶然误差的特性偶然误差的特性 若若i i=L=Li i X X （i=1,2,3,358i=1,2,3,358）表表表表5-25-25-25-210从表从表5-25-2中可以归纳出偶然误差的特性中可以归纳出偶然误差的特性 在确定观测条件

15、下的有限次观测中，偶然误差的在确定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的确定值不会超过确定的限值；确定值不会超过确定的限值；确定值较小的误差出现的频率大，确定值较大的确定值较小的误差出现的频率大，确定值较大的误差出现的频率小；误差出现的频率小；确定值相等的正、负误差具有大致相等的频率；确定值相等的正、负误差具有大致相等的频率；当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。趋近于零。用公式表示为：用公式表示为：实践表明：观测误差必定具有上述四个特性。而且，实践表明：观测误差必定具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大当观测的个数愈大 时，这种特性就表

16、现得愈明显。时，这种特性就表现得愈明显。11-24-21-18-16-12-9-6 3 0+3+6+9+12+15+18+21+24 x=图5-1 频率直方图 为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布状况，可以按表5-2的数据作误差频率直方图(见下图)。12 若误差的个数无限增大若误差的个数无限增大(n)，同时又无限缩小误差，同时又无限缩小误差的区间的区间d，则图，则图5-1中各小长条的顶边的折线就渐渐成为一中各小长条的顶边的折线就渐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为“正态分布曲线正态分布曲线”，它完整地表示了偶然误差出现的概率它完整地表示了偶然误差出

17、现的概率P。即当即当n时，上述时，上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。正态分布曲线的数学方程式为正态分布曲线的数学方程式为:(5-3)为标准差，标准差的平方为为标准差，标准差的平方为 方差。方差。方差为偶然误差平方的理论平均值：方差为偶然误差平方的理论平均值：13从从从从5-35-35-35-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即即即即:1.f()1.f()1.f()1.f()是偶函数。

18、即确定值相等的正误差与负是偶函数。即确定值相等的正误差与负是偶函数。即确定值相等的正误差与负是偶函数。即确定值相等的正误差与负误差求得的误差求得的误差求得的误差求得的f()f()f()f()相等，所以曲线对称于纵轴。这就相等，所以曲线对称于纵轴。这就相等，所以曲线对称于纵轴。这就相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。是偶然误差的第三特性。是偶然误差的第三特性。是偶然误差的第三特性。2.2.2.2.愈小，愈小，愈小，愈小，f()f()f()f()愈大。当愈大。当愈大。当愈大。当=0=0=0=0时，时，时，时，f()f()f()f()有最大有最大有最大有最大值值值值;反之，反之，反之

19、，反之，愈大，愈大，愈大，愈大，f()f()f()f()愈小。当愈小。当愈小。当愈小。当nnnn时，时，时，时，f()0,f()0,f()0,f()0,这就是偶然误差的第一和其次特性。这就是偶然误差的第一和其次特性。这就是偶然误差的第一和其次特性。这就是偶然误差的第一和其次特性。3.3.3.3.假如求假如求假如求假如求f()f()f()f()二阶导数并令其等于零，可以求二阶导数并令其等于零，可以求二阶导数并令其等于零，可以求二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐点横坐标：得曲线拐点横坐标：得曲线拐点横坐标：得曲线拐点横坐标：拐拐拐拐=假如求假如求假如求假如求f()f()f()f()在区间在区间在

20、区间在区间 的积分，则误差出现的积分，则误差出现的积分，则误差出现的积分，则误差出现在区间内的相对次数是某个定值在区间内的相对次数是某个定值在区间内的相对次数是某个定值在区间内的相对次数是某个定值 ，所以当，所以当，所以当，所以当 愈小愈小愈小愈小时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当 愈愈愈愈大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此

21、可见，参数见，参数见，参数见，参数 的值表征了误差扩散的特征。的值表征了误差扩散的特征。的值表征了误差扩散的特征。的值表征了误差扩散的特征。14f()+-11121-+f()2+-22122115v观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数 ；v观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数 ；v 具有较小具有较小 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势快速下降；陡的趋势快速下降；v 具有具有 较大较大 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较的误差曲线

22、，自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。平缓的趋势伸展。最大纵坐标点：165-2 5-2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准一一.中误差中误差 误差误差的概率密度函数为：的概率密度函数为：标准差标准差 在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般接受下述误在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般接受下述误差公式：差公式：标准差标准差中误差中误差 m m 的不同在于观测个数的不同在于观测个数 n n 上；上；标准差表征了一组同精度观测在标准差表征了一组同精度观测在(n)(n)时误差分布的扩散特征，时误差分布的扩散特征，即理论上的观测指标；即理论上的观测指标；而中误差则

23、是一组同精度观测在为而中误差则是一组同精度观测在为 n n 有限个数时求得的观测精有限个数时求得的观测精度指标；度指标；所以中误差是标准差的近似值估值；所以中误差是标准差的近似值估值；随着随着 n n 的增大，的增大，m m 将趋近于将趋近于。17必需指出：必需指出：必需指出：必需指出：同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差，而标准差的估计值即为中误差。准差，而标准差的估计值即为中误差。准差，而标准差的估计值即为中误差。准差，而标

24、准差的估计值即为中误差。同精度观测值具有相同的中误差。同精度观测值具有相同的中误差。同精度观测值具有相同的中误差。同精度观测值具有相同的中误差。例例例例3:3:3:3:设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10101010次次次次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为 第一组：第一组：第一组：第一组：+3,-2,-

25、4,+2,0,-4,+3,+2,+3,-2,-4,+2,0,-4,+3,+2,+3,-2,-4,+2,0,-4,+3,+2,+3,-2,-4,+2,0,-4,+3,+2,-3,-1-3,-1-3,-1-3,-1；其次组：其次组：其次组：其次组：0,-1,-7,+2,+1,+1,-8,0,0,-1,-7,+2,+1,+1,-8,0,0,-1,-7,+2,+1,+1,-8,0,0,-1,-7,+2,+1,+1,-8,0,+3,-1.+3,-1.+3,-1.+3,-1.试求这两组观测值的中误差。试求这两组观测值的中误差。试求这两组观测值的中误差。试求这两组观测值的中误差。由由由由 解得：解得：解得：

26、解得：m1=2.7 m2=3.6 m1=2.7 m2=3.6 m1=2.7 m2=3.6 m1=2.7 m2=3.6 可见：第一组的观测精度较其次组观测精度高。可见：第一组的观测精度较其次组观测精度高。可见：第一组的观测精度较其次组观测精度高。可见：第一组的观测精度较其次组观测精度高。18二、容许误差（极限误差）二、容许误差（极限误差）二、容许误差（极限误差）二、容许误差（极限误差）依据正态分布曲线，误差在微小区间依据正态分布曲线，误差在微小区间dd中的概率：中的概率：p()=f()d p()=f()d 设以设以k k倍中误差作为区间，则在此区间误差出现的概率为：倍中误差作为区间，则在此区间误

27、差出现的概率为：分别以分别以k=1,2,3k=1,2,3代入上式，可得：代入上式，可得：P(P(m)=0.683=68.3m)=0.683=68.3 P(P(2m)=0.955=95.52m)=0.955=95.5 P(P(3m)=0.997=99.73m)=0.997=99.7 由此可见：偶然误差的确定值大于由此可见：偶然误差的确定值大于2 2倍中误差的约占误差总数的倍中误差的约占误差总数的55，而大于，而大于3 3倍的误差仅倍的误差仅占误差总数的占误差总数的0.30.3。由于一般状况下测量次数有限，由于一般状况下测量次数有限，3 3倍中误差很少遇到，倍中误差很少遇到，故以故以2 2倍中误差

28、作为允许的误差极倍中误差作为允许的误差极限，称为限，称为“容许误差容许误差”，或，或 称为称为“限差限差”即即容容=2m=2m19三、相对误差三、相对误差三、相对误差三、相对误差 在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。还不能正确反映观测的质量。例如例如:用钢卷尺量用钢卷尺量200米和米和40米两段距离，量距的中误差都米两段距离，量距的中误差都是是2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关。与其长度有关。为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来

29、描述观测的为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量。即质量。即m/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。来评定精度，通常称此比值为相对中误差。相对中误差又可要求写成分子为相对中误差又可要求写成分子为1的分式，即的分式，即 。上例为上例为 K1=m1/L1=1/10000,K2=m2/L2=1/2000 可见可见:前者的精度比后者高。前者的精度比后者高。与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为确定与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为确定误差。误差。20 5-3 误差传播定律 在实际工作中有很多未知量不能干脆观测而求其值，须要由观测值间接计算出来。例如某未知点

30、B的高程HB，是由起始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而得来的观测高差h1hn求和得出的。这时未知点B的高程H。是各独立观测值的函数。那么如何依据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。21 一、倍数的函数一、倍数的函数一、倍数的函数一、倍数的函数 设有函数：设有函数：Z为为观观测测值值的的函函数数，K为为常常数数，X为为观观测测值值，已已知知其其中误差为中误差为mx，求，求Z的中误差的中误差mZ。设设x和和z的真误差分别为的真误差分别为x和和z则：则：若对若对x 共观测了共观测了n次，则：次，则：将上式平

31、方，得：将上式平方，得：求和，并除以求和，并除以n，得，得22 即即，观观测测值值与与常常数数乘乘积积的的中中误误差差，等等于于观观测值中误差乘常数。测值中误差乘常数。因为：因为：因为：因为：所以：所以：所以：所以：23 例：在1：500比例尺地形图上，量得A、B两点间的距离SAB=23.4mm，其中误差msab=土0.2mm，求A、B间的实地距离SAB及其中误差msAB。解：由题意：SAB=500Sab=50023.4=11700mm=11.7m mSAB500mSab500（士0.2）=土100mm土0.1m 最终答案为：SAB=11.7m士0.1m24 二、和或差的函数二、和或差的函数二

32、、和或差的函数二、和或差的函数 设有函数：设有函数：Z为为x、y的的和和或或差差的的函函数数，x、y为为独独立立观观测测值值，已已知其中误差为知其中误差为mx、my，求，求Z的中误差的中误差mZ。设设x、y和和z的真误差分别为的真误差分别为x、y和和z则则 若对若对x、y 均观测了均观测了n次，则次，则 将上式平方，得将上式平方，得25 由于x、y均为偶然误差，其符号为正或负的机会相同，因为x、y为独立误差，它们出现的正、负号互不相关，所以其乘积xy也具有正负机会相同的性质，在求xy时其正值与负值有相互抵消的可能；当n愈大时，上式中最终一项xy/n将趋近于零，即求和，并除以求和，并除以n，得，

33、得 26 将满足上式的误差x、y称为相互独立的误差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测值。对于独立观测值来说，即使n是有限量，由于 式残存的值不大，一般就忽视它的影响。依据中误差定义，得 即即，两两观观测测值值代代数数和和的的中中误误差差平平方方，等于两观测值中误差的平方之和。等于两观测值中误差的平方之和。27 当当z是是一一组组观观测测值值X1、X2Xn代代数数和和（差差）的的函函数数时，即时，即可以得出函数可以得出函数Z的中误差平方为：的中误差平方为：式中式中m mxixi是观测值是观测值x xi i的中误差。的中误差。即，即，n n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于个观测值代数和

34、（差）的中误差平方，等于n n个观测值中误差平方之和个观测值中误差平方之和。28 当当诸诸观观测测值值xi为为同同精精度度观观测测值值时时，设设其其中中误误差差为为m，即即 mx1=mx2=mxn=m则为则为这这就就是是说说，在在同同精精度度观观测测时时，观观测测值值代代数数和和（差差）的的中中误差，与观测值个数误差，与观测值个数n的平方根成正比。的平方根成正比。例例设设用用长长为为L的的卷卷尺尺量量距距，共共丈丈量量了了n个个尺尺段段，已已知知每尺段量距的中误差都为每尺段量距的中误差都为m，求全长，求全长S的中误差的中误差ms。解解：因因为为全全长长S=LLL（式式中中共共有有n个个L）。而

35、而L的中误差为的中误差为m。量距的中误差与丈量段数量距的中误差与丈量段数量距的中误差与丈量段数量距的中误差与丈量段数n n的平方根成正比。的平方根成正比。的平方根成正比。的平方根成正比。29 例例如如以以 30m长长的的钢钢尺尺丈丈量量 90m的的距距离离，当当每每尺尺段段量量距距的的中中误误差差为为5mm时时，全全长长的的中中误误差为差为30 当运用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为mL，则每公里长度的量距中误差mKm也是相等的。当对长度为S公里的距离丈量时，全长的真误差将是S个一公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中误差为 式中，S的单位是公里。即：在距离丈量中，距离S的量距中误差

36、与长度S的平方根成正比。31 例例:为为了了求求得得A、B两两水水准准点点间间的的高高差差，今今自自A点点起起先先进进行行水水准准测测量量，经经n站站后后测测完完。已已知知每每站站高高差差的的中误差均为中误差均为m站，求站，求A、B两点间高差的中误差。两点间高差的中误差。解解：因因为为A、B两两点点间间高高差差hAB等等于于各各站站的的观观测测高高差差hi（i=l，2n）之和，）之和，即即:hAB=HB-HA=h1+h2+.+hn 则则 即即水水准准测测量量高高差差的的中中误误差差，与与测测站站数数n的的平平方方根根成正比。成正比。32 在不同的水准路途上，即使两点间的路途长度相同，设站数不同

37、时，则两点间高差的中误差也不同。但是，当水准路途通过平坦地区时，每公里的水准测量高差的中误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两点间的水准路途为S公里时，A、B点间高差的中误差为即，水准测量高差的中误差与距离即，水准测量高差的中误差与距离即，水准测量高差的中误差与距离即，水准测量高差的中误差与距离S S的平方根成正比。的平方根成正比。的平方根成正比。的平方根成正比。或或33 在在水水准准测测量量作作业业时时，对对于于地地形形起起伏伏不不大大的的地地区区或或平平坦坦地区，可用地区，可用 式计算高差的中误差；式计算高差的中误差；对对于于起起伏伏较较大大的的地地区区，则则用用 式式计计算算高差的中误

38、差。高差的中误差。例例如如，已已知知用用某某种种仪仪器器，按按某某种种操操作作方方法法进进行行水水准准测测量量时时，每每公公里里高高差差的的中中误误差差为为20mm，则则按按这这种种水水准准测量进行了测量进行了25km后，测得高差的中误差为后，测得高差的中误差为 34三、线性函数三、线性函数三、线性函数三、线性函数 设有线性函数：设有线性函数：则有则有 例例 设有线性函救设有线性函救观测量的中误差分别为，观测量的中误差分别为，求求Z的中误差的中误差 35四、一般函数四、一般函数四、一般函数四、一般函数 式中式中 xi(i=1，2n)为独立观测值，已知其中误为独立观测值，已知其中误差为差为mi(

39、i=1 2n)，求，求z的中误差。的中误差。当当xi具有真误差具有真误差时，函数时，函数Z相应地产生真误差相应地产生真误差z。这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。全微分来表达。36式式中中 （i=l，2n）是是函函数数对对各各个个变变量量所所取取的的偏偏导导数数，以以观观测测值值代代人人所所算算出出的的数数值值，它它们们是是常常数数，因此上式是线性函数可为：因此上式是线性函数可为：37 例例 设有某函数设有某函数z=Ssin 式式 中

40、中 S=150.11m，其其 中中 误误 差差 ms=士士 005m；=1194500，其中误差，其中误差m=20.6；求；求z的中误差的中误差mz。解：因为解：因为z=Ssin，所以，所以z是是S及及a的一般函数。的一般函数。38求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步：求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步：求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步：求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步：1）按问题的要求写出函数式：）按问题的要求写出函数式：2）对对函函数数式式全全微微分分，得得出出函函数数的的真真误误差差与与观观测测值值真真误差之间的关系式：误差之间的关系式：式中，式中，是用观测值代入求得的

41、值。是用观测值代入求得的值。3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：395-3 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 设在相同的观测条件下对未知量观测了设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，次，观测值为观测值为L1、L2Ln，现在要依据这，现在要依据这n个观个观测值确定出该未知量的最或然值。测值确定出该未知量的最或然值。设未知量的真值为设未知量的真值为X，写出观测值的真误差，写出观测值的真误差公式为公式为i=Li-X (i=1,2n)将上式相加得将上式相加得或或故故一、观测值的算术平均值一、观测值的算术平均值一、观测值的算术平均值一、观测

42、值的算术平均值40 设设以以x表表示示上上式式右右边边第第一一项项的的观观测测值值的的算算术术平平均均值值，即即以以X表示算术平均值的真误差，即表示算术平均值的真误差，即 代入上式，则得代入上式，则得由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，x趋近于零，即趋近于零，即:也就是说，也就是说，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。趋近无穷大时，算术平均值即为真值。41二、用改正数二、用改正数v计算中误差及算术平均值的中误差计算中误差及算术平均值的中误差1、用改正数、用改正数v计算中误差（计算中误差（vi=L-li），对），对n次观测值的真次观测值的真

43、误差和改正数分别为误差和改正数分别为42将上两组式对应相加将上两组式对应相加设L-X=，代入上式，并移项后得43上组各式分别平方，再求和上组各式分别平方，再求和其中 =故有 其中44故故因为li为独立观测值则当ij时，亦为偶然误差。依据偶然误差的第四个特性，当时，上式等号右边的其次项趋于零，故45于是于是 2、算术平均值（最或是值）的中误差设对某量进行了n次等精度观测，观测值为l1、l2、ln，中误差为m。算术平均值L的中误差M的计算公式：46依据误差传播定律有：47精品课件精品课件！48精品课件精品课件！49例一：对某角进行了例一：对某角进行了5个测回等精度观测，观测结果为个测回等精度观测，观测结果为1=351828 2=351825 3=3518264=351822 5=351824试求该角的平均值，一测回角的中误差以及算术平均值的中试求该角的平均值，一测回角的中误差以及算术平均值的中误差。误差。解：角度的平均值解：角度的平均值 351825改正数改正数 vi=-i v1=+3 v2=0 v3=+1 v4=-3 v5=-1 故有一测回角的中误差故有一测回角的中误差 平均值的中误差平均值的中误差 50