数学经典易错题会诊与-高考试题预测10.doc

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1、#*经典易错题会诊与经典易错题会诊与 2012 届高考试题届高考试题预测（十）预测（十）考点考点 10 空间直线与平面空间直线与平面 空间直线与平面的位置关系 空间角 空间距离 简单几何体 利用三垂线定理作二面角的平面角 求点到面的距离 折叠问题 经典易错题会诊经典易错题会诊 命题角度命题角度 1 空间直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系 1 （典型例题）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的中点，作 EFPB 于点 F. （1）证明：PA/平面 EDB； （2）证明：BP平面 EFD； （3）求二面角 CPD

2、D 的大小. 考场错解第（2）问证明：PD=DC，E 为 PC 的中点，DEPC，DF 在平面 PBC 上的射影为 EF，又由已知 EFPB，所以根据三垂线定 理可得：DFPB，又 EFPB，PB平面 EFD。 专家把脉直线在平面上的射影的概念理解错误，只有 DEPC，不能得出 EF 为 DF 在面 PBC 上的射影，应先证明 DE平面 PBC，才能得出 EF 为 DF 在 面 PBC 上的射影，再利用三垂线定理。 对症下药（1）如图，连接 AC、AC 交 BD 于 O，连接 EO。底面 ABCD 为正方形，O 为 AC 的中点，在PAC 中，EO 是中位线，PA/EO，又 EO平面 EDB，

3、且 PA平面 EDB，所以 PA/平面 EDB； （2）PD平面 ABCD，平面 PDC平面 ABCD，又底面 ABCD 为正方形，BCCD，BC平面 PCD，BCDE，又 DEPC，DE平面 PBC，DF 在平 面 PBC 上的射影为 EF，又 EFPB，DFPB，又 PBEF，PB平面 DEF； （3）由（2）知，PBDF，故EFD 是二面角 CPBD 的平面角。由（2）知，DEEF，PDDB，设正方形 ABCD 的边长为 a 则PD=DC=a，BD=2a，PB=3a，PC=2a,DE=21PC=a22,在 RtPDBk ,OF=#*aPBBDPD 36.在 RtEFD 中，sinEFD=

4、23DFDE,EFD=.3所以二面角 CPBD 的大小为.32 （典型例题）下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点 M、N、P 分 别为其所在棱的中点，能得出 l面 MNP 的图形的序号是_.(写出所有符合 要求的图形序号) 考场错解由于 l 在 MN、NP、MP 所在的面内的射影分别为各面正方形的对角线，由 正方形的性质可得 lMN，lMP，lNP，（1）中 l面 MNP；（2）中 l 在下 底面的射影与 MP 垂直，lMP，l面 MNP；（3）中取 AB 的中点 E，连接 ME、NE，l 在下底面的射影垂直于 EN，lEN，l面 MEN，lMN，同理lMP，l面 MNP；（4）

5、中 l 在面 ADD1A1上的射影与 MP 垂直， lMP，l面 MNP；（5）中取 AA1 中点 E，连接 ME，EP，l 在面 ADD1A1、面 ABB1A1内的射影分别与 ME，EP 垂直，lME，l面 MP，得 l面 MPN；综 合知，本题的答案是（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4） 、 （5） 专家把脉直线与平面垂直的判定有误，证一条直线与一个面垂直，应该证明这条直 线与该平面内的两条相交直线垂直，而错解中只证一条垂直，所以出错。 对症下药（1）中 l 在面 ADD1A、A1B1C1D1，内的射影分别为 AD1，B1D1，而AD1MN，B1D1MP，lMN，lMP, l面 MN

6、P；（2）中若 lMN,则取 AA1 的中点 E，连接 ME、NE，l 在面 ADD1A1内的射影为 AD1而 AD1ME，lME，结 合 lMN，得 l面 MEN，lNE,这显然不可能，l 与 MN 不可能垂直，l 与面 MNP 不垂直；（3）类似（2）的证明，可得 l 与面 MNP 不垂直；（4）中 lMP 易 证，而 MNAC，lAC，lMN，l面 MNP；（5）中取 AA1 中点 E，连接 ME，PE，可证得 l面 MEP，lMP，同理可证 lNP，l面 MNP，综上知，本 题的正答案是（1） 、 （4） 、 （5） 。 3 （典型例题）如图 10-4 所示，在正三棱锥 ABCD 中，

7、BAC=30，AB=a，平行 于 AD、BC 的截面 EFGH 分别交 AB、BD、DC、CA 于 E、F、G、H。 （1）判定四边形 EFGH 的形状，并说明理由； （2）设 P 是棱 AD 上的点，当 AP 为何值时，平面 PBC平面 EFGH，请给出证 明。 考场错解（1）AD平面 EFGH，又平面 ACD平面 EFGH=HG，ADHG，同理 ADEF，EFHG，同理 EHFG，四边形 EFGH 为 平行四边形； （2）取 AD 中点 P，连接 BP、CP，ABCD 为正棱锥，所以BPAD，CPAD，AD面 BCP，又由（1）知 HGAD，HG面 BCP，P 为所求，此时 AP=2a.专

8、家把脉正三棱锥的性质不熟悉而出错，正三棱锥的相对的棱互相垂直；正三棱锥 的三个侧面是等腰三角形不是等边三角形。对症下药（1）AD面 EFGH，面 ACD面 EFGH=HG，ADHG，同理 EFAD，#*所以 HGEF，同理 EHFG，EFGH 为平行四边形。又 ABCD 为正三棱锥，A 在 底面 BCD 上的射影 O 是BCD 的中心，DOBC，根据三垂线定理，ADBC，HGEH，四边形 EFGH 为矩形； （2）作 CPAD 于 P 点，连接 BP，ADBC，AD面 BCP，HGAD，HG面 BCP，又 HG面 EFGH，面 BCP面 EFGH，在 RtAPC 中，CAP=30，AC=a,

9、AP=a23.专家会诊专家会诊 解线面位置关系的题目，首先要熟悉各种位置关系的判定方法及性质，其次解题 时应将判定与性质结合起来，多用分析法，如要证 a 则过 a 作一平面 ，使 =b，再证 ab；第三要善于转化，如两条羿面直线是否垂直，要用三垂线定理将其转化为两相交直线是否垂直。线面的位置关系是立体几何的基础， 学习时应予以重视。 考场思维训练考场思维训练 1 如图 10-5 所示的四个正方体图形中，A、B 为正方体的四个项点，M、N、P 分 别为其所在棱的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形的序号是_ .(写出所 有符合要求的图形序号) 答案： 解析：中平面 MNP/平面 AB， AB/

10、平面MNP；中取下底面中心 O，MP 的中点 C，连接 NO，NC，则由已知 AB/NO，ABNCAB面 MNP；中 AB/MP,AB/平面 MNP；中 AB面 MNP 填 2 如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=AA1，E 是棱 BB1的中点。（1）求证：平面 A1EC平面 AA1C1C； 答案：连接 A1C 与 AC1交于点 F，则由条件可得 EC1=EA1，则 EFAC1，同理 EC1=EA，则EFA1C 所以 EF 上平面 AA1C1C，而 EF平面 A1EC，所以平面 A1EC平面 AA1C1C. （2）若把平面 A1EC 与平面 A1B1C1所成锐二面角为 60时的正三

11、棱柱称为“黄 金棱柱” ，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱” ，并说明理由。 答案：延长 CE 交 C1B1的延长线于点 H，则有 C1B1=B1H=A1R1,故HA1C1=90且CA1H=90， 所以CA1C 为平面 A1EC 与平面 A1B1C1所成的锐二面角的平面角，若此棱柱为“黄金棱柱” ，则 CA1=60, 应有 CC1=113CA与条件 AB=AA1矛盾此三棱柱不为“黄金棱柱” （3）设 AB=a，求三棱锥 A-A1EC 的体积。答案： VA1-A1EC=VE-AA1C=31EF21AA1AC3 已知正三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两互相垂直，G 是侧面PAB 的重心，E 是 BC

12、上的一点，且 BE=31BC，F 是 PB 上一点， 且#*PF=31PB，如图（1）求证：GF平面 PBC；答案：连接 BG 并延长交 AP 于 M，由 C 为 APAB 的重心，则 MG=31BM，又由PF=，GF/MPAPBP,APCPAP平面 PBC，GF平面 PBC （2）求证：EFBC；答案：在侧面 PBC 内作 FD/PC 交 BC 于 DPF=31PB,DC=31BC.又 BE=31BC,DE=31BC.故 BE=DE，E 为 BD 的中点，由PBC 为等腰三角形，得FBD 也为等腰三角形FB=FD EFBC（3）求证：GE 是异面直线 PG 与 BC 的公垂线。答案：GF平面

13、 PBC，且 EFBC，GEBC，连 PG 交 AB 于 H，则 GH=31PH，过 C 作GN/AB 交 PB 于 N，则 BN=31PBPHAB，PGAB，PGGNBN=31PB，BE=31BC，NE/PC，而 PC 上平面 PAB，NE平面 PAB，又 PG面PAB，NEPG，又 PGGN，PG平面 GEN，而 GEC 平面 GENPGGE，又由GEBC，GE 是异面直线 PG 与 BC 的公垂线 命题角度命题角度 2 空间角空间角 1 （典型例题）如图 10-8，在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面SAC平面 ABC，SA=SC=23，M、N 分别为 AB、S

14、B 的中点。（1）证明：ACSB；（2）求二面角 NCMB 的大小；（3）求点 B 到平面 CMN 的距离。考场错解 第（2）问：过 N 作 NFCM，过 F 作 FECM 交 BC 于 E 点，则NFE 为二 面角 NCMB 的平面角。 （此题只做到此处，因为不知 E、F 的位置，NFE 等于多少计 算不出来） 。专家把脉 求二面角的大小时，只顾用定义作出二面角的平面角，给计算千百万麻烦或 根本就算不出来，所以一般用三垂线定理来作二面角的平面角，就是便于计算。 对症下药 （1）如图 10-9，取 AC 中点 D，连接SD，DB，SA=SC，AB=BC，ACSD，且 ACBD，AC平面 SDB

15、。又 SB 平面SDB，ACSB。#*（2）取 BD 的中点 E，连接 NE，过 E 作 EFCM 于 F，连续 NF，平面 SAC平面 ABCD，SDAC，SD面 ABCD，又 N、E 分别为 SB、BD 的中点，NESD，NE面 ABC，又 EFCM，NFCM，NFE 为二面角 NCMB 的平面角。NE=21SD=2，在正ABC 中，由平面几何知识可求得 EF=41MB=21，在 RtNEF 中，tanNEF=22EFEN,二面角 NCMB 的大小是 arctan22；（3）在 RtNEF 中，NF=,2322 ENEFSCMN=21CMNF=323，SCMB=21BMCM=23.设点 B

16、 到平面 CMN 的距离为 h, VBCMN=VN-CMB,NE平面 CMB，31SCMNh=31SCMBNE，h=.324即点 B 到平面 CMN 的距离为324。2 （典型例题）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 AB=4，AD=3，AA1=2，E、F 分别是线 段 AB、BC 上的点，且 EB=FB=1。（1）求二面角 CDEC1的正切值（2）求直线 EC1与 FD1所成角的余弦值。考场错解 第（2）问：D1FDE，C1ED 为 EC1与 FD1所成的角，DE=32，C1D=25，C1E=14，cosC1EE=,142823142201814 EC1与 FD1所成角的余弦值为14

17、28。专家把脉 缺少空间想象能力，题中的 D1F 与 DE 不平行，实际上 D1F 与 DE 是异面 直线。对症下药 正解一：（1）如图过 C 作 CGDE，垂足为 G，连接 C1G。CC1平面 ABCD，CG 是 C1G 在平面 ABCD 上的射影，由三垂线定理得 DEC1G。CGC1是二面角 CDEC1的平面角。在ADE 中，AE=AD=3，DAE=90，ADE=45，得CDG=45，CG=CDsinCDG=2.2tanCGC1=.221CGCC二面角 CDEC1的正切值为22（2）延长 BA 至点 E1，使 AE1=1，连接 DE1有 D1C1E1E，D1C1=E1E，四边形 D1E1E

18、C1 是平行四边形。E1D1EC1，于是E1D1F 为 EC1与 FD1所成的角。在 RtBE1F 中，E1F=26，在 RtD1DE1中，D1E1=14，在 RtD1DF 中，FD1=24，#*所以在E1FD1中，由余弦定理得：cosE1D1F=.142124142262414 正解二：（1）以 A 为原点，1,AAADAB分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系,则有 D(0,3,0)、D1（0，3，2） 、E（3，0，0） 、F（4，1，0）C1（4，3，2）于是DE=（3，-3，0） ，1EC=(1,3,2),1FD=(-4,2,2).设向量n=(x,y,z)为平面 C1

19、DEA 的法向量,则有EGnDEn,得 x=y=-z21,令 x=1,得n=(1,1,-2),向量1AA=(0,0,2)与平面 CDE 垂直, 所与1AAn成的角 为二面角 CDEC1的平面角。;22tan,36|cos1 AAnAAn（2）设 EC1 与 FD1 所成的角为 ，则 cos=.1421|1111 FDECFDEC3(典型例题)如图 10-11，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PA底面 ABCD，AEPD，EFCD，AM=EF。（1）证明 MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线；（2）若 PA=3AB，求直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值。考场错解 第（2）问：由

20、（1）知 PCMF，AF 为 AC 在面 EAM 内 的射影，CAF 为 AC 与平面 EAM 所成的角，通过解三角形 FAC，解得 sinCAF=1010.AC 与平面 EAM 所成的角的正弦值为1010。专家把脉 直线 AC 与平面 EAM 所成的角不是就得不出 AF 为 AC 在面 EAM 内的射影， 直线与平面所成的角必须是斜线与斜线在平面内的射影所夹的角，所以找射影是关 键。对症下药（1）PA平面 ABCD，PACD，又底面 ABCD 为正方形，CDAD，CD平面 PAD，得平面 PCD平面 PAD，又 AE平面 PAD，AEPD，AE平面 PCD，AECD，又 EFCDAB，AM=

21、EF，四边形 AMFE 为平形四边形，MFAE，MFCD，MFAB，MFPC，MF 为异面直线 AB 与 PC 的公垂线；（2）解法一：连接 BD 交 AC 于 O，连接 BE，过 O 作 OHBE，H 为垂足，AEPD，CDPD，EFCD，EFPD，PD平面 MAE，又 OHBE，OHDE，OH平面 MAE。连接 AH，则HAO 是直线 AC 与平面 MAE所成的角，设 AB=a 则 PA=3a，AO=21AC=a22，因 RtADERtPDA,故 ED=, 10221, 102aEDOHa PDAD从而 RtAHO 中，sinHAO=.105AOOH#*解法二：以AB、AD、AP分别为 x

22、、y、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，0） 、E（0，aa103,109） ，naABaaAF设),0 , 0 ,(),103,109, 0(为平面 EAM 的法向量，且n=（x,y,z） ，可得面 EAM的一个法向量为（0，1，-3） ，AC=（a,a,0）sin=105。专家会诊专家会诊 空间的各种角是对点、直线、平面所组成的穿间图形的位置关系进行定性分析和宣量计 算的重要组成部分，空间角的度量都是转化为平 面角来实现的，要熟练掌握种类角转化为平面角的常用方法，为了实现这种转化，一是 靠经验和知识的积累；二是利禄识图和画图的训 练；三要以推理为主要依据，求角的一般步骤是：（

23、1）找出或作出要求的角；（2）证 明它符合定义；（3）在某一三角形中进行计算，得 结果，当然在解选择或填空题时，一些间接方法也经常用。 考场思维训练考场思维训练 1 如图，在矩形 ABCD 中，AB=1，BC=a，现沿 AC 折成二面角 DACB，使 BD 为 异面直线 AD、BC 的公垂线。（1）求证：平面 ABD平面 ABC； 答案：解：(1)ADCD，ADBD，AD平面 BCD，BCAD，又 BC 上 BD，BC 平面 ABD，而 BC平面 ABC，故面 ABD面 ABC（2）a 为何值时，二面角 DACB 为 45； 答案：面 ABD 上面 ABC，作 DEAB 于 E，则 DE平面

24、ABC，作 EFAC 于 F，由三垂线定 理有 ACDF，DFE 为二面角 D-AC-B 的平面角在 RtADC 中，AD2=AFAC，AF= 122aa又 RtAFERtABC， EF=.28,22,cos, 14222 aaDFEFDFEDEFRt aa ABBCAF中在（3）a 为可值时，异面直线 AC 与 BD 所成的角为 60。 答案：作 BMAC 于 M，过点 O 作 BNAC 与 FE 的延长线交于点，则 BMFN 为矩形，且BNDNDBN 为异面直线 AC 与 BD 所成的角MF=AC-2AF=,1, 11222 aBDBN aa 又在 RtBND 中 cosDBN=,BDBN

25、#*.515, 111 21222 a aaa解得2 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为 BB1、DD1上的点，且AEA1B，AFA1D。（1）求证：A1C平面 AEF 答案：在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，A1B 为 A1C 在平面 A1B1BA 内的射影，AE 上 A1B，AEA1C 同理 AFA1C，A1C平面 AEF（2）若 AB=3，AD=4，AA1=5，M 是 B1C1的中点，求 AM 与平面 AEF 所成角的大小。答案：以 D 为坐标原点，1,DDDCDA分别为 x、y、z 轴的正方向建立空间坐标系则A(4,0,0)，M(2，3，5)，A1(4，0

26、，5)，C(0,3,0)，)5, 3 , 4() 1 ()5 , 3 , 2(),5, 3 , 4(11CAAMCA得由为平面 AEF 的个法向量，.95194532534|2598|sin 22222211 CAAMCAAM直线 AM 与平面 AEF 的所成的角为 arcsin.951943 已知四棱锥 PABCD，底面是边长为 2 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，M、N 分别为 AD、BC 的中点。MQPD 于 Q，直线 PC 与平面 PBA 所成角的正弦值为33如图所示。（1）求证：平面 PMN平面 PAD； 答案：M、N 分别是 AD、BC 的中点，MNAD，又平面 PMN，平面

27、PMN平面 PAD.（2）求 PA 的长； 答案：由已知 BC平面 PBA，BPC 是 PC 和平面 PBA 所成的角. PC=22,32sinPBBPCBC可得 PA=2.（3）求二面角 PMNQ 的余弦值。 答案：由（1）知，MNPM，MNQM. PMQ 是二面角 PMNQ 的平面角.由（2）知PMQ 为等腰直角三形.且 AM=DM=1.1010522cos,22.5PMQQMPM二面角 PMNQ 的余弦值为.1010命题角度命题角度 3#*空间距离空间距离 1 （典型例题）在空间中，与一个ABC 三边所在直线距离都相等的点的集合是 （ ）A一条直线 B两条直线 C三条直线 D四条直线考场

28、错解设该点为 P，且 P 在平面 ABC 上的射影为 O，因为 P 到ABC 三边所在直线 距离都相等，所以 O 到ABC 的三边直线的距离都相等，即 O 为ABC 的内心，所以 本题中符合条件的点在过 0 且与平面 ABC 垂直的直线上，所以选 A。专家把脉 在平面上与一个三角形三边所在直线等距离的点不只内心一个，实际任意 两个角的外角平分线的交点（我们称其为傍心）也符合到三角形三边所在 直线等距离对症下药 设该点为 P，且 P 在平面 ABC 上的射影为 O，因为 P 到ABC 三边所在直线距离都相等，所以 O 到ABC 的三边所在直线的距离都相等， 即 O 为ABC 的内心或傍心，所以本

29、题中符合题意的点在过内心或傍心且与平面 ABC 垂直的直线上，这样的直线有 4 条，所以选 D。 2 （典型例题）如图 10-15，在棱长为 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是正方形 A1B1C1D1的中心，点 P 在棱 CC1上，且 CC1=4CP。（1）求直线 AP 与平面 BCC1B1所成角的大小（结果用反三角表示） ；（2）设 O 点在平面 D1AP 上的射影为 H，求证：D1HAP；（3）求点 P 到平面 ABD1的距离。考场错解 第（3）问：ABCDA1B1C1D1为正方体，AB面BCC1B1，BPAB，BP 即为 P 到平面 ABD1的距离，在 RtBCP 中，BP

30、=17专家把脉 线面垂直的判定有误，错解中 BPAB，但 BP 与平面 ABD1 不垂直，所以 P 到平面 ABD1的距离不是 BP。正解一：（1）如图 10-16，连接 BP，AB平面 BCC1B1，AP 与平 面 BCC1B1所成的角就是APB。CC1=4CP，CC1=4，CP=1。在 RtAPB 中，PCB 为直角，BC=4，CP=1，故 BP=.17在 RtAPB 中，APB 为直角，tanAPB=,17174BPABAPB=arctan17174.(2)连接 A1C1，B1D1，A1B1C1D1为正方形，D1OA1C1又 AA1底面A1B1C1D1，AA1D1O，D1O平面 A1AP

31、C1，由于 AP平面A1AOC1，D1OAP。平面 D1AP 的斜线 D1O 在这个平面内的射影是D1H，D1HAP。（3）连接 BC1，在平面 BCC1B1中，过点 P 作 PQBC1于点 Q。AB平面#*BCC1B1，PQ平面 BCC1B1，PQAB，PQ平面 ABC1D1，PQ 就是 P 到平面ABD1的距离，在 RtC1PQ 中，C1QP=90，PC1Q=45，PC1=3，PQ=.223即点P 到平面 ABD1的距离为223。正解二：（1）以DA、DC、1DD分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间坐标系，AB平面 BCC1B1，AP 与平面 BCC1B1所成的角为 APB。CC

32、1=4CP，CC1=4，CP=1，A（4，0，0） 、P（0，4，1） 。B（4，4，0） 。PA=（4，-4，-1） ，) 1, 0 , 4(PBcosAPB=33561| PBPAPBPA直线 AP 与平面BCC1B1所成的角为 arccos33561;(2)连接 D1O，由（1）有 D1（0，0，4） 、O（2，2，4） ，OD1=（2，2，0） ，ODPAODPA11, 0又因为 D1AP 的斜线 D1O 在这个平面内的射影是 D1H。D1HAP；（3）由正方体的性质不难得出CB1为平面 ABD1的一个法向量，B1（4，4，4） 、C（0，4，0） 、P（0，4，1）CB1=(-4,0

33、,-4),BP=(-4,0,1),2232232412| 1 11的距离为到平面ABDP CBBPCBd3 （典型例题）如图 10-17，在三棱锥 VABC 中，底面ABC 是以B 为直角的等腰直角三角形，又 V 在底面 ABC 上的射影在线段 AC 上且靠近 C 点，且 AC=4，VA=14，VB 与底面 ABC 成 45角。（1）求 V 到底面 ABC 的距离；（2）求二面角 VABC 的大小。考场错解（1）过 V 作 VDAC，垂足为 D，连接 BD，由已知 有 VD平面 ABC，在直角三角形 VBD 中，VBD 为直线 VB与底面 ABC 所成的角，VBD=45，BD=, 242222

34、V 到底面 ABC 的距离等于 2。专家把脉 BD 与 AC 垂直是错误的，BD42222，错误的原因是缺少函数方程思想，VD 直接计算在本题中做不到，而应设未知数，建立方程来求解。对症下药 （1）如图 10-18，在平面 VAC 中，过 V 作 VDAC 于 D，连接 BD，由已知VD平面 ABC，VBD 为 VB 与底面所成的角，VBD=45，设 CD=x,则在 RtVAD 中，VD2=VA2-AD2=14-（x-2）2=-x2+8x-2,在直角三角形 VBD 中，VDB=90，#*VBD=45，BD2=x2+8-4222 x=x2-4x+8.在直角三角形 VBD 中，VDB=90，VBD

35、=45，VD=BD，即-x2+8x-2=x2-4x+8,解得 x=1 或 x=5,又由题意 x=5 应舍去,x=1 此时 VD=,5218) 1(2V 到底面 ABC 的距离为5;(2)过 D 作 OEAB 于E,连结 VE,VD底面 ABC,DEAB,VEAB, VED 为二面角 VABC 的平面角。 在平面 ABC 中，CBAB，DEAB，DEBC，由（1）知,223 43,43BCDEACAD BCDE在 RtVDE 中，VD=5，VDE=90DE223，tanVED=2235.310arctan,310VED二面角 VABC 的大小为arctan310.专家会诊专家会诊空间中的距离以点

36、到面的距离为中心内容，大多数距离问题都可以转化为点到面的距 离，求法比较灵活，主要有：（1）直接法。过该点作面的垂线，求出垂线段的长度， 不过不能只顾作，计算不出来，应先利用线面的位置关系判断垂足的位置；（2）间接 解法：利用三棱锥的体积进行等积变换来求解；（3）利用空间向量求解，公式是| nnad，其中 n 为平面的法向量，a 为过该点的平面的一条斜线段所确定的一个向量。 考场思维训练考场思维训练 1如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各条棱长都为 a， P 为 A1B 上的点。（1）试确定PBPA1的值，使得 PCAB；答案：过 P 作 PMAB 于 M，连结 CM，ABC-A1B1C

37、1为正三棱柱，PM平面 ABC，PC 在 下底面上的射影为 CM，PCAB，CMAB，又ABC 为等边三角形，M 为 AB 中点，即 P 为 A1B 的中点，.,11ABPCPBPA时（2）若321PBPA，求二面角 PACB 的大小；答案：过 P 作 PMAB 于 N，过 N 作 NQAC 于 Q，连结 PQ，根据三垂线定理得PQN 为二面角 PACB 的平角. PN=aNQa23 52,53，在 RtPQN 中，tanPQN=60.60,3 3210 53的大小为 即二面角BACPPQN aa（3）在（2）的条件下，求 C1到平面 PAC 的距离。答案：.2,2,21 53 31 31 1

38、211aPACCahaaVShVcACCPPACPAC的距离为到平面解得#*2 长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=9，AB=AC=63，N 为 BC 中点，M 为 A1B 的中点，P为 C1D1的中点，如图， （1）求点 P 到平面 B1MN 的距离； 答案：如图，平面 B1MN 截长方体所得的截面为 A1B1NR，C1D1/A1B1，C1D1/平面 A1B1NR，P 到平面 B1MN 的距离等于 C1到平面 B1MN 的距离，作 C1GB1N 于 G，ABCD A1B1C1D1为长方体，C1G平面 B1MN，在距形 BCC1B1中，BB1=AA1=9，B1C1=BC=63，B1N=

39、63，BB1N=30，C1B1G=60，C1G=6. 9233P 到平面 B1MN 的距离为 9.（2）求 PC 与平面 B1MN 所成的角。 答案：PC/MB，PC 与平面 B1MN 所成的角等于 MB 与平面 B1MN 所成的角，过 B 作 BHB1N 于 H，作 BH平面 B1MN，BMH 为 MB 与平面 B1MN 所成的角，BH=.43sin.43sin,36,29 1arcMNBPCBMHMB所成的角为与平面3 已知斜三棱柱 ABCA1B1C1的侧面，A1ACC1与底面 ABC 垂直，ABC=90，BC=2，AC=23，且 AA1A1C，AA1A1C。如图所示。（1）求侧棱 AA1

40、与底面 ABC 所成二面角的大小； 答案：取 AC 中点 D，连 A1D，AA1=AC，A1DAC 又侧面 A1ACC1平面 ABC，A1D平面 ABC，A1AD 为 AA1与平面 ABC 所成的角，由已知A1AD=45（2）求侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角的大小； 答案：作 DEAB，由三垂线定理 ABA1E，A1ED 为侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角的平面角.又 BCAB，DE/BC，DE=,3, 121 1DABCtanA1ED=3,A1ED=60. 侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角为 60.（3）求顶点 C 到侧面 A1ABB1的距离。 答案：

41、D 到平面 A1ABB1的距离是 C 到该平面距离的一半，由（2）知平面 A1ED平面A1ABB1，作 DFA1E，则 DF平面 A1ABB1，又 DF=,23C 到平面 A1ABB1的距离为3.命题角度命题角度 4 简单几何体简单几何体 1 （典型例题）如图 10-22，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB=3，AA1=4，M 为 AA1的中点，P 是 BC 上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1到 M 的最短路线长为29，设这#*条最短路线与 CC1的交点为 N。求：（1）该三棱柱侧面展开图的对角线长；（2）PC 与 NC 的长；（3）平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角（锐角）

42、的大小（用反三角函数表示） 。考场错解 第（2）问：过 M 作 MNCC1于 N，则由已知有 MN+NP=3+NP=29，NP=29-3，此时 N 为 CC1的中点，NC=2，PC=2963622 NCNP。专家把脉 依题意是 MN+NP 的最小值为29,而错解中认为 MN 最小,则 MN+NP 就最小,这是错误的. 对症下药 (1)正三棱柱 ABCA1B1C1的侧面展开图是一个长为 9，宽为 4 的矩形，其对角线长为974922；（2）如图 10-23，将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1旋转 120，使其与侧面 AA1C1C 在同一平面上， 点 P 运动到 P1的位置，连接 MP1，则 MP

43、1就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1到点 M 的最短路线。设 PC=x，则 P1C=x，在 RtMAP1中，由勾股定理得（3+x）2+22=29，求得 x=2, PC=P1C=2,.54,5211NCAPCP MANC（3）解法一：连接 PP1，则 PP1就是 MNP 与平面 ABC 的交线，作 NHPP1于 H，又 CC1 平面 ABC，连接 CH，由三垂线定理得，CHPP1，NHC 就是平面 MNP 与平面 ABC所成二面角的平面角（锐角） 。在 RtPHC 中，PCH=21PCP1=60，CH=12PC、在 RtNCH 中 tanNHC=,54CHNCNHC=arctan54平面 N

44、MP 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的大小为 arctan54。解法 2：MPN 在ABC 上的射影为APC，设所求的角为 则 cos=41415 MNPSAPCS.故平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的大小为 arccos41415.2(典型例题)如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 为平行四边形，其中AB=2，BD=BC=1，AA1=2，E 为 DC 中点，点 F 在 DD1上，且 DF=41。（1）求异面直线 BD 与 A1D1的距离； （2）EF 与 BC1是否垂直？请说明理由； （3）求二面角 EFBD 的正切值。 考场错解 第（2）问：ABCD

45、A1B1C1D1为直四棱柱，EF 在面 BCC1B1上的射影为 CC1，而 BC1与 BC1不垂直，EF 与 BC1不垂直。 专家把脉 把直四棱柱看成长方体了，实际上，长方体是底面为长方形的直四棱柱，本题 中的底面 ABCD 为平行四边形，所以 ABCDA1B1C1D1不是长方体，也就是说 EF 在面 BCC1B1上的射影不是 CC1。#*对症下药 正解一：（1）ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，DD1AD1，DD1BD，DD1 为 A1D1与 BD 的公垂线段，DD1=2，A1D1与 BD 的距离为 2；（2）BD=BC=1，CD=2，BCD 为等腰直角三角形，E 为 CD 的中点，BEC

46、D， 又 ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，BE面 CDD1C1，BEEF，在 RtFDE 中，FDE=90，FD=41，DE=22，EF2=169，在 RtC1CE 中，C1CE=90,EC=22,CC1=AA1=2, DE21=29,在 RtD1FC1中，FD1C1=90，D1F=47，D1C1=2，168121FCFC21=EF2+EC21，EFEC1，得 EF平面 BEC1FFBC1（3）如图 10-24，过 E 作 EOBD，过 O 作 OMBF 于 M，连接 EM，易证得 EO平面 BDF，EMO 为二在角 EFBD 的平面角，DBC=90，EOBD，EOBC，又E 为 CD 中点，EO=21 21BC，在BDF 中，BOMBFD，