数学经典易错题会诊与-高考试题预测9.doc

《数学经典易错题会诊与-高考试题预测9.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学经典易错题会诊与-高考试题预测9.doc（63页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、#*经典易错题会诊与经典易错题会诊与 2012 届高考试题届高考试题预测（九）预测（九）考点考点 9 圆锥曲线圆锥曲线 对椭圆相关知识的考查 对双曲线相关知识的考查 对抛物线相关知识的考查 对直线与圆锥曲线相关知识的考查 对轨迹问题的考查 考察圆锥曲线中的定值与最值问题 椭圆 双曲线 抛物线 直线与圆锥曲线 轨迹问题 圆锥曲线中的定值与最值问题 经典易错题会诊经典易错题会诊 命题角度命题角度 1 对椭圆相关知识的考查对椭圆相关知识的考查 1(典型例题)设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P， 若FlPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )12.22

2、.212.22.DCBA考场错解 A专家把脉 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把|21 PFPF当作离心率对症下药 D 设椭圆的方程为2222byax=l (a，b 0) 由题意可设|PF2|=|F1F2|=k，|PF1|=2k，则 e=12 222 kkk ac2(典型例题)设双曲线以椭圆92522yx=1 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( )A2 B34C21D43考场错解 D 由题意得 a=5，b=3，则 c=4 而双曲线以椭圆92522yx=1 长轴的两个端点为焦点，则 a=c =4，b=3 k=43ab专家把脉 没有很好理解 a、b、c 的实际意

3、义对症下药 C 设双曲线方程为2222byax=1，则由题意知 c=5，ca2=4 则 a2=20 b2=5，#*而 a=25 b=5 双曲线渐近线斜率为ab=21 3(典型例题)从集合1，2，3，11中任选两个元素作为椭圆方程2222nymx=1 中的 m 和n，则能组成落在矩形区域 B=(x，y)x|312+32=12 应用结论时也易混淆对症下药 (1)解法 1：依题意，可设直线 AB 的方程为 y=A(x-1)+3，代入 3x2+y2=， 整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-=0设 A(x1，y1)、B(x2、y2)，则 x1，x2是方程的两个不同的根，=4(k2+3

4、)-3(k-3)20，且 x1+x2= 3)3(2 2kkk，由 N(1，3)是线段 AB 的中点，得1221 xx，A(k-3)=k2+3解得 k=-1，代入得，12，即 的取值范围是(12，+)于是，直线 AB 的方程为 y-3=-(x-1)，即 x+y-4=0解法 2：设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有 2222212133yxyx(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0依题意，x1x2，kAB=- 2121)(3 yyxx N(1，3)是 AB 的中点，x1+x2=2，yl+y2=6，从而 kAB=-1又由 N(1，3)在椭圆内，312+32=12， 的

5、取值范围是(12，) 直线 AB 的方程为 y-3=-(x-1)，即 x+y-4=0 ()解法 1：CD 垂直平分 AB，直线 CD 的方程为 y-3 =x-1，即 x-y+2=0，代入椭圆方 程，整理得 4x2+4x+4 又设 C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD 的中点为 M(x0，y0)，则 x3， x4是方程的两根，x3+x4=-1，且 x0=21(x3+x4)=-21，y0=x0+2=23，即 M(-21，23)于是由弦长公式可得|CD|=. )3(2|)1(1432xxk#*将直线 AB 的方程 x+y-4=0，代入椭圆方程得 4x2-8x+ 16-=0 同理可得|AB|=.

6、)12(2| .1212xxk 当 12 时，)3(2)12(2,|AB|12，使得 A、B、C、D 四点共圆，则 CD 必为圆的直径，点 M 为圆心点 M到直线 AB 的距离为 d=.2232|423 21|2|4|00 yx于是，由、式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d2+.|2|23 212 29|2|22CDAB故当 12 时，A、B、C、D 四点均在以 M 为圆心，|2|CD为半径的圆上 (注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：) A、B、C、D 共圆ACD 为直角三角形，A 为直角|AN|2 =|CN|DN|，即)2|)(2|()2(2dCDdCDAB. 由式知，式左边=

7、212,由和知，式右边=,212)29 23 223 2)3(2)(223 2)3(2(式成立，即 A、B、C、D 四点共圆解法 2：由()解法 1 及 12， CD 垂直平分 AB，直线 CD 方程为 y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得 4x2+4x+4-=0 将直线 AB 的方程 x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得 4x2-8x+16-=0解和式可得 xl，2=.231,2122 4 , 3x不妨设 A(1+)233,231(),233,231(,12213 ,1221DC)21233,23123()21233,23123(CACA计算可得0CACA,A 在以 CD 为直径的圆上又 B

8、 为 A 关于 CD 的对称点，A、B、C、D 四点共圆 (注：也可用勾股定理证明 ACAD) 专家会诊专家会诊 1重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究 2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆#*位置关系时忽略了斜率不存在的情形 3注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦 长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法 等求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等 考场思维调练考场思维调练 1 已知椭圆的中心 O 是坐标原点，A 是它的左顶

9、点，F 是它的左焦点，l1，l2分别为左右准 线，l1与 x 轴交于 O，P、Q 两点在椭圆上，且 PMl1于 M,PNl2于 N，QFAO，则 下列比值中等于椭圆离心率的有( )|)5( ;|)4( ;|)3( ;|)2( ;|) 1 (BFQF BAAF BOAO PNPF PMPFA.1 个 B2 个 C.4 个 D5 个 答案： C 解析：对(1)，(4)的正确性容易判断；对(3)，由于caa BOAO 2|=e，故(3)正确；对(5)，可求得|QF|=,2ab|BF|=cbcca22 ,eBFQF|故,故(5)正确；(2)显然不对，所选 C2 椭圆有这样的光学性质：从随圆的一个焦点出

10、发的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经 过随圆的另一个焦点今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B 是它的焦点，长 轴长为 20，焦距为 2c，静放在点 A 的小球 (小球的半径不计)，从点 A 沿直线出发， 经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 ( )A4a B2(a-c)C.2(a+c) D以上答案均有可能 答案： D 解析：(1)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发，经椭圆壁右 顶点反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 2(d-c)，则选 B； (2)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次 回到

11、点 A 时，小球经过的路程是 2(a+c)，则选 C； (3)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第 一次回到点 A 时，小球经过的路程是 4a，则选 A. 于是三种情况均有可能，故选 D.3 已知椭圆22ax+y2=1(a1)，直线 l 过点 A(-a，0)和点 B(a，ta)(tt0)交椭圆于 M直线 MO交椭圆于 N(1)用 a，t 表示AMN 的面积 S；(2)若 t1，2，a 为定值，求 S 的最大值 答案：易得 l 的方程为了 y=2t(x+a)1 分由#*, 1) 1(22 22 y axxty 得(a2t2+4)y2-4aty=0

12、解得了 y=0 或 y= 44 22taat即点 M 的纵坐标 yM= 44 22taatS=SAMN=2SAOM=|OA|yM= 44 22taat(2)由(1)得， S= 44 22taat= tata2244(t0)令 V=t4+a2t，V=-24t+a2由 V=Oat2当时 ta2时，V0；当 02，则 00，b0)的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点A，OAF 的面积为22a(O 为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( )A30 B45 C60 D90考场错解 B#*专家把脉 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角对症下药 D 由题意得 A(cab ca,2 )sOAF=21cbaaa

13、bcab2212 ，则两条渐近线为了 y=x 与 y=-x 则求两条渐近线的夹角为 903(典型例题)双曲线2222byax=1(a1，b0)的焦距为 2c，直线 l 过点(a，0)和(0,b)，且点(1，0)到直线 l 的距离与点(-1，0)到直线 l 的距离之和 s54c，求双曲线的离心率 e 的取值范围考场错解 直线 l 的方程为by ax=1 即 bx+ay-ab=0 点(-1，0)到直线 l 的距离：22) 1(baab，点(1，0)到直线 l 的距离: 22) 1(baab 22) 1(baab+ 22) 1(baab=ccabbaab 542222 得 5a2222cac于是得

14、52221ee即 4e4-25e2+250 解不等式得45e25，所以 e 的取值范围是.5,2525,5专家把脉 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围 e1对症下药 解法：直线 J 的方程为by ax=1，即 bx+ay-ab=0由点到直线的距离公式，且 a1，得到点(1，0)到直线 l 的距离 d1=.) 1(22baab同理得到点（-1，0）到直线 l 的距离 d2=.) 1(22baabs=d1+d2=.2222cabbaab 由025254.215.25,542,542222222eeeecacaccabcs即于是得即得解不等式，得.525, 01. 5452eeee的取值范围

15、是所以由于专家会诊专家会诊 1注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调 e1，必须明确焦点与准线 的对应性 2由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两 种形式，应防止遗漏 3掌握参数 a、b、c、e 的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用 考场思维训练考场思维训练 1 已知 F1，F2为双曲线2222byax=1(a0,b0)的两个焦点，过 F2作垂直 x 轴的直线，它与双曲线的一个交点为 P，且pF1F2=30，则双 曲线的渐近线方程为 ( )#*xyDyCxyBxyA2.33.3.22.答案： D 解析：由已知有 212 | FFPF=t

16、an30=acb 22 ，所以 2a2=b2渐近线方程为 y=x2,所以选取 D2 若 Fl、F2双曲线2222byax=1 的左、右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线左支上，M 在右准线上，且满足 |,11OPOFOPOFOMOPOMOPPMOF (1)求此双曲线的离心率； 答案：由 PMDF1知四边形 PF1OM 为平行四边形，又由| 11 OPOMOPOMOFOPOFOP知 OP 平分F1OM, PF1OM 菱形，设半焦距为 c，由|1 OF=c知eacaccPMPF PFPFPMPF | ,22|,|1121又，即 c+eca1e2-e-2=0, e=2(e=-1 舍去)(2)若此双曲

17、线过点 N(2，3)，求双曲线方程： 答案：e=2=,acc=2a, 双曲线方程为)3, 2(,1 32222 将点 ayax代入，有3a, 1 4342 22 aa即所求双曲线方程为9322yx=1.(3)设(2)中双曲线的虚轴端点为 B1，B2(B1在 y 轴正半轴上)，求 B2作直线 AB 与双曲线交于 A、B 两点，求BBAB11时，直线 AB 的方程 答案：依题意得 B1（0，3） ，B2（0，-3）,设直线 AB 的方程为 y=kx-3,A(x1,y1),B(x2,y2)则由193. 0186)3(32222yxkxxkkxy双曲线的渐近线为 y=x3,当 k=3时，AB 与双曲线

18、只有一个交点，#*即 k3.x1+x2=. 318, 36 2212kxx kk y1+y2=k(x1+x2)-6=2318k,y1y2=k2x1x2-k(x1+x2)+9=9又 AB1（x1，y1 -3）, BB1=(x2,y2 -3), AB1 BB1, 09)(3212121yyyyxx09 31839 318 22 kk, ,即 k2=5, k=5.故所求直线 AB 的方程为 y=5x-3 或 y=-5x-3.3 设双曲线42x-y2=1 的右顶点为 A、P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从 A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线 OP(O 为坐标原点)分别交于 Q 和 R 两点(1)

19、证明：无论 P 点在什么位置，总有|2AROQOP；答案：设 OP：y=kx 与 AR：y=联立)2(21x解得),212,212(kk kOR同理可得),212,212(kk kOQ所以|OQOR|, |41|44 22kk设|OP|2=（m,n）,则由双曲线方程与 OP 方程联立解得 m2=, 414, 414 222 2kkn k 所以|OP|2=m2+n2=| 4144 22 OROQkk(点在双曲线上，1-4k20);(2)设动点 C 满足条件：)(21ARAQAC，求点 C 的轨迹方程答案：),(21ARAQAC点 C 为 QR 的中心，设 C（x,y）,则有 22412412kk

20、ykx，消去 k,可得所求轨迹方程为 x2-x2-4y2=0(x0).命题角度命题角度 3 对抛物线相关知识的考查。对抛物线相关知识的考查。 1(典型例题)过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标 之和等于 5，则这样的直线 ( )A.有且仅只有一条 B有且仅有两条#*C.有无穷多条 D不存在考场错解 D 由题意得|AB|=5 p=4，通径长为 24=8 54，则这 样的直线有且仅有两条，解法二：用待定系数法设直线方程为 y=k(x-1)采用设而不求的方 法求出 k 有两个值，即直线有且仅有两条 2(典型例题 1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)两

21、点在抛物线 y=2x2上，l 是 AB 的垂直平分线(1)当且仅当 x1+x2取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论；()当直线 l 的斜率为 2 时，求 l 在 y 轴上截距的取值范围考场错解 ()，设 l 在 y 轴上的截距为 b，依题意得 l 的方程为 y=2x+b，过点 A、B 的直线方程可写为 y=,21mx 与 y=2x2联立得2x2+21x-m=0得 x1+ x2=-41；设 AB 的中点 N 的坐标为(x0，y0)则 x0=21(x1+x2)=-81,y0=-21x0+m=161+m由 Nl,得161+m=-41+b，于是 b=165 165 m即得 l 在 y

22、 轴上截距的取值范围为,165.专家把脉 没有借助“0”来求出 m321，无法进一步求出 b 的范围，只好胡乱地把 m 当作大于或等于 0对症下药 (1)Fl|FA|=|FB|A、B 两点到抛物线的准线的距离相等 抛物线的准线是 x 轴的平行线，y10，y20，依题意 y1、y2不同时为 0， 上述条件等价于 yl=y2x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0；x1x2，上述条件等价于 x1+x2=0即当且仅当 x1+x2=0 时，l 经过抛物线的焦点 F。()设 l 在 y 轴上的截距为 b，依题意得 l 的方程为 y=2x+b 过点 A、B 的直线方程可写为y=-21x+m，所以

23、 x1、x2满足方程 2x2+21x-m=0，得 x1+x2=-41；A、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式41+8m0，即 m321设 AB 的中点 N 的坐标为(x0，y0)，则x0=21(x1+x2)=-81，y0=-21x0+m=161+m#*由 Nl，得161+m=-41+b，于是 b=165+m329 321 165即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为(329，+)3(典型例题)如图，过抛物线 y2=2px(p0)上一定点 p(x0，y0)(y00)，作两条直线分别交抛 物线于 A (x1，y1)，B(x2，y2) (1)求该抛物线上纵坐标为2P的点到其焦点 F 的距

24、离； ()当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 021 yyy 的值，并证明直线 AB 的斜率是非零常数考场错解 (1)当 y=2p时，x=8p又抛物线的准线方程为 x=-P，由抛物线定义得，所求距离为.89)(8ppp()设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB 由 y21=2px1,y20=2px0相减得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故 kPA= 012 yyP (x1x0)同理可得 kpB= 012 yyP (x2x0)由 kPA=-kPB得 y0=-2 (yl+y2)故.21021 yyy设直线 AB 的斜率为 kAB。 由 y22=

25、2px2,y21=2px1 相减得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)故 kAB=).()(2 21 211212xxyyp xxyy将 y1+y2=-21y0(y00)代入得 kAB=- 04 yp故 kAB是非零常数专家把脉 没有掌握抛物线的准线方程，计算不够准确对症下药 (1)当 y=2p时，x=8p，又抛物线 y2= 2px 的准线方程为 x=2p，由抛物线定义得，所求距离为8p-(-2p)=.85p()设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB 由 y12=2px1，y20=2px0 相减得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)，故 kPA=

26、 0101012 yyp xxyy (x1x0)同理可得 kPB= 012 yyp (x2x0)由 PA、PB 倾斜角互补知 kPA=-kPB，#*即 012 yyp =- 022 yyp ，所以 yl+y2=-2y0，故 021 yyy =-2. 设直线 AB 的斜率为 kAB由 y22=2px2，y21=2pxl 相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，所以).(2 21 211212xxyyp xxyykAB将 yl+y2=-2y0(y00)代入得,2021yp yypkAB所以 kAB是非零常数 4(典型例题)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2上异于坐标原点

27、 O 的两不同动点 A、B 满足 AOBO(如图所示)(1)求AOB 的重心 C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；()AOB 的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理 由OAOB 考场错解（）设AOB 的重心为 G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则) 1 (332121 yyyxxxOA0OBOAOB x1x2+yly2=0(2)又点 A、B 在抛物线上，有 y1=x12，y2=x22代入(2)化简得 xlx2=0 或-1y=31)(31 3222121xxyy（x1+x2）2-2x1x2=3x2+32或 3x2，故重心为 G 的轨迹方程为 y=3x2或 y

28、=3x2+32.专家把脉没有考虑到 x1x2=0 时，AOB 不存在 对症下药 （）设AOB 的重心为 G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则) 1 (332121 yyyxxx)2(0, 12121yyxxkkOBOAOBOA即又点 A、B 在抛物线上，有 y1=x12，y2=x22代入(2)化简得 xlx2=-1y=31)(31 3222121xxyy（x1+x2）2-2x1x2=32)3(312x=3x2+32#*所以重心为 G 的轨迹方程为 y=3x2+ 32()SAOB=22211222222122212222212121)(21|21yyyxyxxxyxyxOBOA由(1)

29、得 SAOB=12212) 1(2212221221662616261xxxx当且仅当 x16=x26即 x1=-x2=-1 时，等号成立。 所以AOB 的面积存在最小值，最小值为 1。 专家会诊专家会诊 1.用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。 2.凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交 点坐标的复杂运算。 3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。 考场思维调练考场思维调练 1 已知抛物线 y2=4x 的准线与 x 轴交于 M 点，过 M 作直线与抛物线交于 A、B 两点，若线 段 AB 的垂直平分线与 x

30、 轴交于 D(x0，0)(1)求 x0的取值范围 1 答案：由题意易得 M（-1，0） 设过点 M 的直线方程为 y=k(x+1)(k0)代入 y2=4x 得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0 (1) 再设 A(x1,y1),B(x2,y2),则1,24 21212 xxkxxkkxxkxkxkyy42)() 1() 1(212121AB 的中点坐标为).2,2(22kkk那么线段 AB 的垂直平分线方程为得令0),2(12 22 y kkxkky.21202 22222kkkx kkx即又方程（1）中 =（2k2-4）2-4k40，0k2 1，. 3, 22 02x k(2)ABD 能否

31、是正三角形?若能求出 x0的值，若不能，说明理由 答案：若 ABD 是正三角形，则有点 D 到 AB 的距离等于. |23ABAB|2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=.)1)(1 (16 422kkk#*点以 AB 的距离 d=kkkkkkk kk 222222121221|2| 据 d244222)1 (16 43) 1(4:|43kkkkAB得4k4+k2-3=0,(k2+1)(4k2-3)=0, k2=43,满足 00)(2)若直线 l 的斜率 k2，且点 M 到直线 3x+4y+m=0 的距离为51，试确定 m 的取值范围答案：51 5|242

32、3|22 mkkkd18631|8|63|22mkkmkkmkk3186 2211860480 ,2360222kkkkk00),0),(),2 , 8( PMTMMPTMyxy 得 8x-2y2=0即 y2=4x(x0)故点 P 的轨迹是（0，0）为顶点，以（2，0）为焦距的抛物线.(除去原点)(2)若动直线 l 经过点 D(4，0)，交曲线 C 与 A、B 两点，求是否存在垂直于 x 轴直线 l 被以 AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在，求出 l的方程，若不存在，请说明 理由 答案：设 AD 中点为 H，垂直于 x 轴的直线 l的方程为 x=a. 以 AD 为直径的圆交 l于 E、

33、F 两点。EF 的中点为 G因为|EH|=21|AD|212 121)4(yx（其中（x1,y1）为坐标） ，|HG|=|24|1ax所以|EG|2=|EH|2=41（x1-4）2+yx2-41(x1-2a)2+4=41(x1-4)2+4x1-41(x1-2a)2+8(x1-2a)+16=414ax1-12x1-4a2+16a=（a+3）x1-a2+4a 所以当 a=3 时，以 AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值，l的方程 x=3.命题角度命题角度4 对直线与圆锥曲线的关系的考查对直线与圆锥曲线的关系的考查 1(典型例题)设双曲线C：12 22 y ax(a0)与直线l：x+y=1相交于两个不

34、同的点A、B，(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；()设直线l与y轴的交点为P，且PBPA125，求a的值考场错解 (1)由C点与l相交于两个不同的点，故知方程组 112 22yxy ax有两个不同的实数解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0故4a4+8a2(1-a2) 0#*解得：00对症下药 (1)由C与l相交于两个不同的点，故知方程组 1, 12 22yxy ax有两个不同的实数解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0所以 0)1 (84012242aaaa解得026且e2，即离心率e的取值范围为(26)(2) ()设A(x1，y1)，B(

35、x2，y2)，P(0，1)PBPA125 (x1,y1-1)=125(x2,y2-1)由此得x1=125x2，由于x1，x2都是方程的根，且1-a20，所以1217x2=-22222212 125, 12aax aa ，消x2，得-602891222 aa，由a0，所以a=13172(典型例题)给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点(1)设l的斜率为1，求OA与OB夹角的大小；()设AFFB，若4，9，求l在y轴上截距的变化范围考场错解 (1)设OA与OB夹角为；由题意l的方程为了y=x-1，将y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0设A(x1，y1)B

36、(x2，y2)则有x1+x2=6，x1x2=1易得OAOB=x1x2+y1y2=-3，#*41|22222121yxyxOBOAcos=41413|OBOAOBOA=-arccos()由题意知AFFBAFFB，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A、B |FB|=|BB|，|AF|=|AA| |BB|=|AA|，4， 9设l的方程为y=k(x-1)由xyxky4) 1(2得k2x2-(2k2 +4)x+k2=0 x=222122kkk|AA|=222122kkk+l=22212) 1(2kkk|BB|=22222212) 1(2122kkkkkk43,34)0(9 12) 1(212) 1(2

37、412) 1(212) 1(2| | | |22222222 kk kkkkkkkkAABB专家把脉 ()没有理解反余弦的意义()思路不清晰 对症下药 (1)C的焦点为F(1，0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为了y=x-1 将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有xl+x2=6，x1x2=1 OBOA=(x1，y1)(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3所以OA与OB夹角的大小为-arc cos41413()由题设AFFB得 (x2-1，y2)=(1-x1，-y1)，即 1212),1 (1y

38、yxx 由得y22=2y21y21=4x1，y22=4x2，x2=2x1 联立、解得x2=，依题意有0，B(，2 )或B (，-2 )，又9(1，0)，得直线l方程为(-1)y= (x-1)或(-1)y=2(x-1)当4，9时，l在 y轴上的截距为12 或-12 #*由12 =1212 ，可知：12 在4，9上是递减的， 4312 34，-34-12 -43直线l在y轴上截距的变化范围为-34，-4343，34 3(典型例题)已知椭圆C：12222 byax(ab0)的左、右焦点为Fl、F2，离心率为e直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点Fl

39、关于直线l的对称点为P，设.ABAM(1)证明：=1-e2；()确定的值，使得PF1F2是等腰三角形考场错解 ()要使PF1F2为等腰三角形必有三种情况： (1)当|PF1|=|F1F2|时 设点p的坐标是(x0，y0)则 acxeyecxy220100000解得1)1 (213220220eaeyc eex由|PF1|=|F1F2| 得c ece 1)2(22 2+22 22 4 1)1 (2c eae 两边同时除以4a2，化简得2 2221) 1(e ee 从而e2=31于是.3212e(2)当|PF1|=|F1F2|时，同理可得2 222 22 1)3( 1)3(c ecec ece 解

40、得e2=3于是=1-3=-2 (3)当|PF2|=|F1F2|时，同理可得2 222 22 1)3( 1)3(c ecec ece =4c2 解得e2=1 于是=1-1=0综上所述，当=32或-2或0时PF1F2，F2为等腰三角形专家把脉 (1)没有注意到因为PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为 等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2| (2)没有注意到椭圆离心率的范围对症下药 (1)证法一：因为A、B分别是直线l：y= ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(-0 ,ea)(0,a).由., 1,2222222baccbycxbyaxaexy这里得#*

41、所以点M的坐标是(-c,ab2)，由ABAM得(-c+ab ea2 ,)=(ea，a)即2 21eaabeacea 解得证法二：因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(-ea，0)，(0，a)，设M的坐标是(x0，y0)，由ABAM 得(aeax,0)，所以 .) 1(00ayeax因为点M在椭圆上，所以220 220 byax=1，即. 11)1 (, 1)()1(22222222 eebaaea 所以e4-2(1-)e2+(1-)2=0，解得e2=1- 即=1-e2()解法一：因为PF1l，所以 PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰

42、三角形，必有|PF1|=|F1F2|,即21|PF1|=c.设点F1到l的距离为d，由21|PF1|=d，=c eecaeace 221|1|0)(|,得 2211ee=e所以e2=31，于是=1-e2=32.即当=32时，PF1F2为等腰三角形解法二：因为PF1l，所以，PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形， 必有|PF1|=|F1F2|,设点P的坐标是(x0，y0)，则 acxeyecxy220100000解得. 1)1 (2, 13220220eaeyeex由|PF1|=|FlF2|得2 222 22 1)1 (2 1)3( eaec ece=4c2，两边同时除以

43、4a2，化简得 1) 1(12ee=e2从而e2=31于是=l-e2=32即当=32时，PF1F2为等腰三角形 #*4(典型例题)抛物线C的方程为y=ax2(an0)的离心率分别为e1、e2、e3，则 ( )Ae1e2e3 Be1e2c=2, a2=8 b2=a2-c2=8-4=4,所求椭圆方程为. 14822 yx(3)与E点轨迹相切的直线l交椭圆于P、Q两点，求 |PQ|的最大值及此时l的方程答案：由（1）可知点 E 的轨迹是圆122 yx设是圆上的任点，则过(x0,y0)点的切线方程是 x0x+y0y=1当 y00 时， 001 yxxy代入椭圆方程得：220202 04 02202 02212020202212002240220220212212212 02 021202202 02 02 002202 0)1 (1516)1208128( )1 (111)()()1 (1 (|1208128( ) 1(1) 1(14)()(13032,4) 1(1, , 03224)2(xxxx xxxx yyxxxyxPQxx xxxxxxx