全等三角形证明培优题.doc

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1、-_模块一：基本辅助线 1. 如图，已知 AC=BD,ADAC,BCBD，求证：AD=BC.2.如图，AB=AE,ABC=AED,BC=ED,点 F 是 CD 的中点， （1）求证：AFCD. （2）在你连接 BE 后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）3.如图，B=E,C=D,BC=DE,M 为 CD 中点，求证：AMCD.4.如图，平面上有一边长为 2 的正方形 ABCD，O 为对角线的交点，正方形 OEFG 的顶点与 O 重合，OE、OG 分别与正方形 ABCD 的边交于 M、N 两点 如图（1），当 OEAB 时，四边形 OMBN 的面积为_； 如图（2），当正方形 OEF

2、G 绕点 O 旋转时，四边形 OMBN 的面积会发生变化吗？试证明你 的结论5.如图所示，在ABC 中，AB=AC，在 AB 上取一点 E，在 AC 延长线上取一点 F，使 BE=CF，EF 交 BC 于 G.求证：EG=FG。-_6.如图，在ABC 中，AB=AC，E 在线段 AC 上，D 在 AB 的延长线，连 DE 交 BC 于 F，过点 E 作 EGBC 于 G（1）若A=50，D=30，求GEF 的度数；（2）若 BD=CE，求证：F G=BF+CG模块二：母子型 1 已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点，ACM, CBN 都是等边三角形，AN 交 MC 于点E，BM 交 CN

3、于点 F. (1)求证：AN=BM; (2)求证：CEF 为等边三角形2.如图，已知，等腰 RtOAB 中，AOB=90，等腰 RtEOF 中，EOF=90，连结 AE、BF。求证：（1）AE=BF；（2）AEBF。-_3.如图 1，若四边形 ABCD、四边形 GFED 都是正方形，显然图中有 AG=CE，AGCE；（1）当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 2 的位置时，AG=CE 是否成立？若成立，请给出证明； 若不成立，请说明理由； （2）当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 3 的位置时，延长 CE 交 AG 于 H，交 AD 于 M 求证：AGCH；当 AD=4，DG=时，求 C

4、H 的长24.如图，已知ABD、AEC 都是等边三角形，AFCD 于点 F，AHBE 于点 H,问：（1）BE 与 CD 有何数量关系？为什么？（2）AF、AH 有何数量关系？为什么？5.已知：如图所示，在ABC 和ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且点 B，A，D 在一条直线上，连接 BE，CD，M，N 分别为 BE，CD 的中点 （1）求证：BE=CD；AMN 是等腰三角形； （2）在图的基础上，将ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转 180，其他条件不变，得到图 所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图中延长 ED 交线段 B

5、C 于点 P求证：PBDAMN-_6.（2009丰台区一模）如图 1，在ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF （1）如果 AB=AC，BAC=90， 当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图 2，线段 CF、BD 所在直线的位置关系为 _，线段 CF、BD 的数量关系为_； 当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图 3，中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果 ABAC，BAC 是锐角，点 D 在线段 BC 上，当ACB 满足什么条件时， CFBC（点 C、F 不重合），并说明理由模块三

6、模块三 倍长中线倍长中线 （1 1）倍长中线倍长中线 （2 2）倍长类中线）倍长类中线1. 已知：如图，ABC 中，AD 平分BAC，且 BD=CD，求证：AB=AC-_2.已知，如图ABC 中，ACAB,AM 是 BC 边上的中线，求证：（AC-AB）AM(AB+A21 21C)3. 如图所示，已知ABC 中，AD 平分BAC,E,F 分别在 BD,AD 上，DE=CD,EF=AC,求证:EF/AB.4.如图，AD 是ABC 的中线，E、F 分别在 AB、AC 上，且 DEDF 求证：BE+CFEF4.如图，已知在ABC 中，AB=AC，CE 是 AB 边上的中线，延长 AB 到 D，使 B

7、D=AB，连接CD求证：CE=CD.215. 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。-_7.分别以ABC 的边 AB,AC 为边，向三角形的外侧作正方形 ABDE 和正方形 ACFG,M 为 BC 的 中点，求证：AMEG.8 如图，ABC 中，AB=4，AC=7，M 是 BC 的中点，AD 平分BAC，过 M 作 MFAD，交 AC 于 F，求 FC 的长9.在ABC 中，AM 是 BC 边上的中线，（1）求证：AB+AC2AM;(2)若 AB=5，AC=9，求 AM 的 取值范围。10. ABC 中，AC=8，BC 边上的中线 AD=6，则边 AB 的取值范围是 。 11.如图，在

8、ABC 中，AD 平分BAC，E 为 BC 的中点，过点 E 作 EFAD 交 AB 于点 G，交 CA 的延长线于点 F求证：BG=CF12. 如图，已知在ABC 中，AD 平分 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，延长 BE 交 AC 于 F,AF=EF,求证：AC=BE.-_13.如图所示，BAC=DAE=90，M 是 BE 的中点，AB=AC，AD=AE，求证：（1） CD=2AM,（2）AMCD14. 在ABC 中，分别以ABC 的边 AB,AC 为边，向三角形的外侧作正方形 ABDE 和正方形 ACFG,点 M 为 BC 中点，（1）求证：AM 丄 EG;（2）求证:EG=2A

9、M.模块四、截长补短1截长：截取较长线段，使其和较短线段长度相等。截长：截取较长线段，使其和较短线段长度相等。2补短：延长较短线段，使其和较长线段长度相等。补短：延长较短线段，使其和较长线段长度相等。适用范围：条件或题目中出现适用范围：条件或题目中出现“a+b=c”或或“a-b=c”目的：构造全等三角形目的：构造全等三角形 1.如图，在ABC 中，B=2C,ADBC 于 D,求证：CD=BD+AB.2.如图，在正方形 ABCD 中，M、N 分别是 BC、CD 上的点，MAN=45 求证：MB+ND=MN-_3、如图所示，已知ABC 中，AD 平分BAC,E、F 分别在 BD、AD 上，DE=C

10、D,已知 ABCD 是 正方形，E、F 分别在 CB、CD 的延长线上，EAF=135，求证：BE+DF=EF.4. 如图，五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180连接 AD （1）同学们学习了图形的变换后知道旋转是研究几何问题的常用方法,请你在图中作出 ABC 绕着点 A 按逆时针旋转“BAE 的度数”后的像； （2）试判断 AD 是否平分CDE，并说明理由5.如图，在四边形 ABCD 中，B=D=180,AB=AD,EF 分别是线段 BC、CD 上的一点，且BE+FD=EF.求证：EAF=BAD.216.已知：如图，在正方形 ABCD 中，M 在 CB

11、延长线上，N 在 DC 延长线上，MAN=45， AHMN，垂足为 H，求证：（1）MN=DN-BM；（2）AH=AB-_7.已知：如图，ABCD 是正方形，FAD=FAE求证：BE+DF=AE8.如图，ABC 是正三角形，ADC=120，求证：BD=AD+CD.模块五 角平分线的性质与判定 1.如图，BE=CF，DEAB 的延长线于点 E，DFAC 于点 F，且 DB=DC， 求证：AD 是BAC 的平分线2.如图，已知ABC 的周长是 22，OB、OC 分别平分ABC 和ACB,ODBC 于 D，且 OD=3，ABC 的面积是_3.如图，在ABC 中，BAC=120，ADBC 于 D，且

12、AB+BD=DC，那么C=（ ）度.-_4.已知，如图，ABCD 是正方形，FAD=FAE.求证：BE+DF=AE.5.如图ABC 是正三角形，BDC 是顶角BDC=120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交 AB、AC 边于 M、N 两点，连接 MN探究：（1）线段 BM、MN、NC 之间的数量关系（2）若点 M、N 分别是 AB、CA 延长线上的点，其它条件不变，再探线段 BM、MN、NC 之间的数量关系，在图中画出图形并对以上两种探究结果选择一个你喜欢的 加以证明6.如图：在ABC 中，C=90， AD 是BAC 的平分线，DEAB 于 E，F 在 AC 上，BD=

13、DF； 说明：（1）CF=EB （2）AB=AF+2EB-_7.如图，已知：ABC 的B、C 的外角平分线交于点 D求证：AD 是BAC 的平分线模块六、角平分线的四大基本模型 1.角平分线+平分线，等腰三角形必呈现 2.点垂线，垂两边，线等全等都出现 3.角平分线+垂线，中点全等必可见 4.角分线，分两边，对称全等要记全 1.如图，在ABC 中，BD、CD 分别平分ABC 和ACB.DE/AB,FD/AC,如果 BC=6，求 DEF 的周长2.ABC 中.（1）如图 1，若BAC 的平分线过 BC 的中点 D,猜想 AB 和 AC 的关系并证明。（2）如图 2，若BAC 的平分线不过 BC

14、的中点 D,而是与 BC 的垂直平分线交于点 E，过 E 作 EF AB,垂足为 F,猜想 2BF、AB、AC 的关系并证明。-_3.如图，ABC 中，AB=2AC，1=2，DA=DB，你能说明 DCAC 吗？4.在ABC 中，BAC=90，AB=AC,BE 平分ABC,CEBE,求证：(1)BDBE=ABBC；(2)CE=BD.215.如图，已知ABC 中，AD 平分BACC=20，AB+BD=AC，则B 的度数是_6.已知，等腰ABC，A=100，ABC 的平分线交 AC 于 D,BD=BE,(1)求DEC;(2)求证：AD=EC.7.如图，AD 是ABC 的角平分线，H，G 分别在 AC

15、，AB 上，且 HD=BD（1）求证：B 与AHD 互补；-_（2）若B+2DGA=180，请探究线段 AG 与线段 AH、HD 之间满足的等量关系，并加以证明8.(1)如图，在ABC 中，AD 是BAC 的外角平分线，P 是 AD 上的任意一点，试比较 PB+PC与 AB+AC 的大小，并说明理由（2）如图，AD 是ABC 中BAC 的平分线，P 是 AD 上的任意一点，且 ABAC，求证：AB-ACPB-PC9.如图，ABC 中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是 D，AE 平分BAD，交 BC 于点 E. 在ABC 外有一点 F，使 FAAE，FCBC.（1）求证：BE=CF；（

16、2）在 AB 上取一点 M，使 BM=2DE，连接 MC，交 AD 于点 N，连接 ME.求证：MEBC；DE=DN. 10.（1）如图，在ABC 中，ABC、ACB 的平分线相交于 F，过 F 作 DEBC，分别交 AB 、AC 于点 D、E判断 DE=DB+EC 是否成立？为什么？（2）如图，若点 F 是ABC 的平分线-_和外角ACG 的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段 DE、DB、EC 之间有何数量关系 ？证明你的猜想11.如图，在ABC 中，BE 是ABC 的角平分线，ADBE，垂足为 D，求证： 2=1+C12.如图，CD 为 RtABC 斜边上的高，BAC 的平分线分别交

17、CD、BC 于点 E、F且 FGAB，垂足为 G，求证：CE=FG模块七模块七 垂直平分线垂直平分线-_1.如图，已知 AB=AC，DE 垂直平分 AB 交 AC、AB 于 E、D 两点，若 AB=12cm，BC=10cm，A=50，求BCE的周长和EBC 的度数。2.电信部门要修建一座电视信号发射塔 P，按照设计要求，发射塔 P 到两城镇 A、B 的距离 必须相等，到两条高速公路 m 和 n 的距离也必须相等请在图中作出发射塔 P 的位 置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）3 如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BEAE，延长 AE 交 BC 的

18、延长线于点 F 求证：（1）FC=AD； （2）AB=BC+AD (3)若ABC=50,求F.4.已知：如图 AB=CD,线段 AC 的垂直平分线于线段 BD 的垂直平分线相交于点 E,求证：ABE=CDE.-_模块八模块八 大角夹半角大角夹半角 模型特征：组成大角的两条线段相等，大角与半角具有公共顶点。模型特征：组成大角的两条线段相等，大角与半角具有公共顶点。 方法：旋转某个图形使大角的等线段重合在一起，利用全等三角形求解。方法：旋转某个图形使大角的等线段重合在一起，利用全等三角形求解。 1.操作：如图，ABC 是正三角形，BDC 是顶角BDC=120的等腰三角形，以 D 为顶 点作一个 6

19、0角，角的两边分别交 AB、AC 边于 M、N 两点，连接 MN 探究：线段 BM、MN、NC 之间的关系，并加以证明 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思 路写出来（要求至少写 3 步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、 中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明 AN=NC（如图）；DMAC（如图） 附加题：若点 M、N 分别是射线 AB、CA 上的点，其它条件不变，再探线段 BM、MN、NC 之间 的关系，在图中画出图形，并说明理由2. 如图，将 RtABC 沿斜边翻折得到ADC，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且EA

20、F=DAB（1）试猜想 DE，BF，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想21(2) 过点 A 作 AMEF 于点 M,证明 EF=BE+DF; (3) 试猜想 AM 与 AB 之间的数量关系，并证明你的猜想。3.如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一动点，连接 AE 交对角线 BD 于点 F，过点 F-_作 FGAE 交 BC 于点 G （1）求证：AF=FG；（2）如图，连接 G，当 BG=3，DE=2 时，求 EG 的长4.如图所示，ABC 是边长为 1 的正三角形，BDC 是顶角顶角为 120的等腰三角形，以 D 为顶点做一个 60的MDN，点 M、N 分别在 AB、AC 上

21、，求AMN 的周长5.已知梯形 ABCD 中，ADBC，AB=BC=DC，点 E、F 分别在 AD、AB 上，且FCEBCD。21（1）求证：BF=EF-ED； （2）连接 AC，若B=80，DEC=70，求ACF 的度数-_模块九 K 字模型1.在ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E。（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：ADCCEB；DE=AD+BE；（2）当直线 MN 绕点C 旋转到图 2 的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD、BE 具

22、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。2.在锐角三角形 ABC 中，AH 是 BC 边上的高，分别以 AB、AC 为一边，向外作正方形 ABDE 和 ACFG，连接 CE、BG 和 EG，EG 与 HA 的延长线交于点 M，试证明：BG=CE BGCE AM 是AEG 的中线 .AMGABCSS 2-_3.平面内有一等腰直角三角形（ACB=90）和一直线 MN。过点 C 作 CEMN 于点 E，过点 B 作 BFMN 于点 F，当点 E 与点 A 重合时（如图 1），易证：AF+BF=2CE，当三角板绕点 A 顺时针旋转转到图 2、图 3 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AF、BF、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明。