微积分试题集汇总.doc

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1、-_微积分试题集微积分试题集一季一、计算下列极限：（每题 5 分，共 10 分）4若时,是等价无穷小,求常数的值.0x 211sink xxx 与k5. 设在处连续，求的值.sin2sin,0,( )3,0,1,0sinxbxxxxx f xxaxx 0x , a b二、导数与微分：（每题 5 分，共 25 分）1. 设求 sin,xyx2.xdy2求由方程所确定的曲线在处的切线方程. yxxyee( )yy x0x 3利用微分近似计算,求 的近似值. 38.0244设 求 2210,sin, ( )ln(1)0xxxf xxx ( ).fx-_5. 求曲线的拐点.5 235( )33f xx

2、x三、计算下列各题：（每小题 8 分，共 16 分）1. 设某商品的价格与需求量的关系为,PQ280PQ(1) 求时的需求弹性,并说明其经济意义.4P（2）求当价格为何值时,总收益最大？并求出此时的需求价格弹性. PRdE2. 设为的原函数,且,已知求( )F x( )f x( )( )(1)F xf xxx2(1),Fe ( )0,F x ( ).f x四、证明题：（每小题 5 分，共 10 分）1.当时, 证明：.0x (1)ln(1)arctan .xxx2. 设)(xf 连续且，试证明是的极小值点。( )lim8 xafx xaax )(xf-_二季一、填空题（每小题 4 分，本题共

3、20 分）函数的定义域是 24)2ln(1)(xxxf若函数,在处连续，则 0,0, 13sin)( xkxxxxf0xk曲线在点处的切线方程是xy ) 1, 1 (xxsd)in(微分方程的阶数为 xyyxysin4)(53 二、单项选择题（每小题 4 分，本题共 20 分）设，则（ ）1) 1(2xxf)(xfA B ) 1( xx2xC D)2( xx) 1)(2(xx若函数 f (x)在点 x0处可导，则( )是错误的 A函数 f (x)在点 x0处有定义 B，但Axf xx )(lim0)(0xfA C函数 f (x)在点 x0处连续 D函数 f (x)在点 x0处可微 函数在区间是

4、（ ） 2) 1( xy)2 , 2(A单调增加 B单调减少C先增后减 D先减后增（ ） xxf xd)(A. B. cxfxf x)()(cxf x)(C. D. cxfx)(212cxfx)() 1(下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）A. ； B. ； yxxyddyxyxyddC. ； D. xxyxysindd)(ddxyxxy-_三、计算题（本题共 44 分，每小题 11 分）计算极限4586lim224xxxxx设，求.xyx3sin2 yd计算不定积分xxxdcos计算定积分xxxdln51e1四、应用题（本题 16 分）欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口

5、容器，怎样做法用料最省？-_微积分初步期末试题选（一）微积分初步期末试题选（一）1 1填空题填空题（1）函数的定义域是 )2ln(1)(xxf（2）函数的定义域是 24)2ln(1)(xxxf（3）函数，则 74)2(2xxxf)(xf（4）若函数在处连续，则 0,0, 13sin)( xkxxxxf0xk（5）函数，则 xxxf2) 1(2)(xf（6）函数的间断点是 1322xxxy（7） xx x1sinlim（8）若，则 2sin4sinlim 0 kxxxk2 2单项选择题、单项选择题、（1）设函数，则该函数是（ ） 2eexx yA奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数（

6、2）下列函数中为奇函数是（） A B C Dxxsin2eexx )1ln(2xx2xx （3）函数的定义域为（） )5ln(4xxxyA B C且 D且5x4x5x0x5x4x（4）设，则（ ）1) 1(2xxf)(xfA B ) 1( xx2xC D)2( xx) 1)(2(xx-_（5）当（ ）时，函数在处连续.k 0,0, 2)(xkxexfx 0xA0 B1 C D 23（6）当（ ）时，函数，在处连续.k 0,0, 1)(2xkxxxf0xA0 B1 C D 21（7）函数的间断点是（ ）233)(2xxxxfA B 2, 1xx3xC D无间断点3, 2, 1xxx3 3计算题计

7、算题（1） 423lim222xxxx（2） 329lim223xxxx（3）4586lim224xxxxx-_微积分初步期末试题选（二）微积分初步期末试题选（二）1 1填空题填空题（1）曲线在点的切斜率是 1)(xxf)2 , 1 (（2）曲线在点的切线方程是 xxfe)() 1 , 0(（3）已知，则= xxxf3)(3)3(f （4）已知，则= xxfln)()(xf （5）若，则 xxxf e)( )0(f2.2.单项选择题单项选择题（1）若，则=（ ） xxfxcose)()0(f A. 2 B. 1 C. -1 D. -2（2）设，则（ ） yx lg2dy A B C D1 2d

8、xx1dxxln10ln10 xxd1dxx（3）设是可微函数，则（ ） )(xfy )2(cosdxfA B xxfd)2(cos2 xxxfd22sin)2(cosC Dxxxfd2sin)2(cos2 xxxfd22sin)2(cos（4）若，其中是常数，则（ ） 3sin)(axxfa )(xfA B C D23cosax ax6sinxsinxcos3 3计算题计算题（1）设，求 （2）设，求.xxy1 2eyxxy3cos4siny（3）设，求. （4）设，求.xyx2e1yxxxycoslny-_微积分初步期末试题选（三）微积分初步期末试题选（三）1 1填空题填空题（1）函数的单

9、调增加区间是 yx312()（2）函数在区间内单调增加，则应满足 1)(2 axxf), 0(a2 2单项选择题单项选择题（1）函数在区间是（ ） 2) 1( xy)2 , 2(A单调增加 B单调减少C先增后减 D先减后增（2）满足方程的点一定是函数的（ ）.0)( xf)(xfy A极值点 B最值点 C驻点 D 间断点（3）下列结论中（ ）不正确 A在处连续，则一定在处可微.)(xf0xx 0xB在处不连续，则一定在处不可导. )(xf0xx 0xC可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D函数的极值点一定发生在不可导点上.（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ） (,) A B C Dxs

10、inxe2xx33 3应用题应用题（1）欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（2）用钢板焊接一个容积为 4的正方形的开口水箱，已知钢板每平方米 10 元，焊接费 40 元，问3m 水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？微积分初步期末试题选（四）微积分初步期末试题选（四）-_1 1填空题填空题（1）若的一个原函数为，则 .)(xf2ln x)(xf（2）若，则 cxxxf2sind)()(xf（3）若_dosxxc（4）2dex（5） xx d)(sin（6）若，则 cxFxxf)(d)(xxfd)32(（7）若，则 cxFxxf)(d)(x

11、xxfd)1 (2（8） ._d)2cos(sin112xxxxx（9） . .e12d) 1ln(ddxxx（10）= xxde022 2单项选择题单项选择题（1）下列等式成立的是（ ） A B)(d)(dxfxxf)(d)(xfxxfC D)(d)(ddxfxxfx)()(dxfxf（2）以下等式成立的是（ ）A B )1d(dlnxxx)(cosddsinxxxC D xxxdd3ln3dd3x xx （3）（ ） xxf xd)(A. B. cxfxf x)()(cxf x)(C. D. cxfx)(212cxfx)() 1(（4）下列定积分中积分值为 0 的是（ ） A B xxx

12、d2ee11xxx d2ee11-_C D xxxd )cos(3xxxd )sin(2（5）设是连续的奇函数，则定积分（ ） )(xfaaxxf -d)(A0 B C D 0-d)( axxfaxxf 0d)(0-d)(2 axxf（6）下列无穷积分收敛的是（ ） A B 0dinxxs1d1xxC D1d1xx02dexx3 3计算题计算题（1） （2）xxd) 12(10xxxd1sin2（3） (4)cxdxxxxx e2e2dexxxd)e4(e22ln0(5) (6)xxxdln51e1xxxde10(7) 2 0dsinxxx微积分初步期末试题选（五）微积分初步期末试题选（五）1

13、 1填空题填空题-_(1)已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是 .)(xfy xx1)5 , 4(2)由定积分的几何意义知，= .xxaad 022(3)微分方程的特解为 . 1)0(,yyy(4)微分方程的通解为 .03yy(5)微分方程的阶数为 xyxyysin4)(7)4(3 2.2.单项选择题单项选择题(1)在切线斜率为 2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ） Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 C D 22 xy12 xy(2)下列微分方程中， （ ）是线性微分方程 A B yyyx ln2xxyyye2C Dyyxye xyyxyxl

14、nesin (3)微分方程的通解为（ ） 0 yA B C DCxy CxyCy 0y(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）A. ； B. ； yxxyddyxyxyddC. ； D. xxyxysindd)(ddxyxxy三季三季一、一、 选择题选择题 ( (选出每小题的正确选项，每小题分，共计选出每小题的正确选项，每小题分，共计 1010 分分) )1_。10lim 2x x-_（A ） - （B ） + （C） 0 （D） 不存在2当时，的极限为 _。0x ( )xxf xx（A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D） 不存在下列极限存在，则成立的是_。0()( )( )lim

15、( ) xf axf aAfax 0( )(0)( )lim(0) xf txfBtfx00 00()()( )lim2() tf xtf xtCfxt 0( )( )()lim( ) xf xf aDfaax设 f（x）有二阶连续导数，且 0( )(0)0,lim1,0( )_ xfxfff xx则是的。（A ） 极小值 （B ）极大值（ C ）拐点 （D） 不是极值点也不是拐点5若则下列各式 成立。( )( ),fxg x( )( )( )0Af xx( )( )( )Bf xxC( )( )( )Cd f xdx()( )( )ddDf x dxx dxdxdx二、二、填空题（每小题填空

16、题（每小题 3 3 分，共分，共 1818 分）分）1. 设，那么曲线在原点处的切 0(2 )( )0(0)0,lim1sinxfxf xxfx 在处可导，且( )yf x线方程是_。函数在区间0，3上满足罗尔定理，则定理中的= 。( )3f xxx3设 。1( ),( )lnf xfx dxx的一个原函数是那么4设那么 2 阶导函数 ( ),xf xxe( )_fxx在点取得极_值。5设某商品的需求量是价格的函数，那么在的水平上，若价格52QP下降 1，需求量将 。6若且 。,11),(xxuufy,1)( uufdy dx三、计算题（每小题三、计算题（每小题 6 6 分，共分，共 4242

17、 分）：分）：1、 求 1 1 ln(ln )limxxex2、1 (1)limxxx ex-_3、设211,21xaxxcbx 时，无穷小量求常数a、b、c.4、1 (2)1dxxx5、ln(2)xxedxe6、3cos sinxxdxx7、设函数 f(x)具有二阶导数，且 f（0）=0, 又 ，求。(0)0 ( )( )0fx g xf xxx( )g x四、应用题（8 分）1，假设某种商品的需求量 Q 是单价 P（单位元）的函数：Q=1200-8P；商品的总成本 C 是需求量 Q 的函数：C=2500+5Q。（1）求边际收益函数和边际成本函数；（2）求使销售利润最大的商品单价。-_五、

18、（12 分）作函数的图形221 (1)xyx六、证明题（每题 5 分，共计 10 分） 1、 设函数在上连续，且在内是常数，证明在上的表达式为，)(xf , a b( )fx( , )a b)(xf , a b( ),f xAxBAB其中、为常数。2、设函数在上可导，且证明在内仅有一个)(xf0,)( )0,(0)0.fxkf)(xf(0,)零点。四季一、填空题（每小题 4 分，本题共 20 分）-_函数的定义域是 xxf51)( xx x1sinlim已知，则= xxf2)()(xf 若，则 cxFxxf)(d)(xxfd)32(微分方程的阶数是 yxxyyx esin)(4二、单项选择题（

19、每小题 4 分，本题共 20 分）设函数，则该函数是（ ） 2eexx yA奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数函数的间断点是（ ）233)(2xxxxfA B C D无间断点2, 1xx3x3, 2, 1xxx下列结论中（ ）正确 A在处连续，则一定在处可微.)(xf0xx 0xB函数的极值点一定发生在其驻点上. C在处不连续，则一定在处不可导. )(xf0xx 0xD函数的极值点一定发生在不可导点上.如果等式，则（ ）cxxfxx11 ede )()(xfA. B. C. D. x121 xx121 x下列微分方程中， （ ）是线性微分方程 A B yyyx cos2xyxyy

20、sinC Dyyxyln xyyxyxlnesin 三、计算题（本题共三、计算题（本题共 4444 分，每小题分，每小题 1111 分）分）计算极限 423lim222xxxx-_设，求.xxyx2eyd计算不定积分 xxxdsin计算定积分xxxde210四、应用题（本题 16 分）用钢板焊接一个容积为 4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米 10 元，焊接费 40 元，问3m 水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？五季一、填空题（每小题 4 分，本题共 20 分）-_函数的定义域是 241)( xxf 若，则 24sinlim 0 kxxxk已知，则= xxfln)()(x

21、f 若 xxsdin微分方程的阶数是 yxexyyx sin)(4二、单项选择题（每小题 4 分，本题共 20 分）设函数，则该函数是（ ） xxysinA奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数当=（ ）时，函数，在处连续.k 00, , 1)(2xkxxxf0xA1 B2 C D0 1满足方程的点一定是函数的（ ） 。0)( xf)(xfA极值点 B最值点 C驻点 D 间断点设是连续的奇函数，则定积分（ ） )(xfaaxxf -d)(A B C D 00-d)(2 axxf0-d)( axxfaxxf 0d)(微分方程的通解是（ ）1yyA. ； B. ； C. ； D. 1eC

22、xy1e xCyCxyCxy2 21三、计算题（本题共 44 分，每小题 11 分）计算极限423lim222xxxx设，求.xxy3cos5siny-_计算不定积分xxxd)1 (2 计算定积分0dsin2xxx四、应用题（本题 16 分）欲用围墙围成面积为 216 平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 微积分习题集答案一季一、计算下列极限：（每题 5 分，共 25 分）-_1。23322000011arctanarctan111limlimlimlimln(1)333 1xxxxxxxxx xxxx2。222001l

23、n(1)limlim221 cos1 cos/20lim(1)xxxx xxxxxeee 3. 22000011tantansec1limlimlimlimtantan2xxxxxxxxx xxxxxx。22000tanlimlimlim0222xxxxxx xx4若时,是等价无穷小,求常数的值.0x 211sink xxx 与k解：由于时有与，故。0x 22112kkxx :2sinxxx:2k 5. 设在处连续，求的值.sin2sin,0,( )3,0,1,0sinxbxxxxx f xxaxx 0x , a b解：由左连续与右连续分别得， 00sin23lim( )limsin xxbx

24、f xxbxx， 0000113lim( )limlimlimlnlnsinxx xxxxxaaf xaaaxx所以得及。3ae3b 二、导数与微分：（每题 5 分，共 25 分）1. 设求 sin,xyx2.xdy解：两边去对数得 ，再求导得lnsin lnyxx，整理后得 。1cos lnsinyxxxyxsin1cos lnsinxyxxxxx 当时有 ，所以。2xsin22coslnsin12222y 2xdydx-_2求由方程所确定的曲线在处的切线方程. yxxyee( )yy x0x 解：易知时有。求导得 ，将代入则有，所以0x 0y yxyxye ye0xy01xy切线方程为 。

25、yx3利用微分近似计算,求 的近似值. 38.024解：令，则。3( )yf xx 321( ) 3fx x取，则有，08x 0.024x 333218.02480.0240.002 3 8ydyy dx 所以 。38.0242.0024设 求 2210,sin, ( )ln(1)0xxxf xxx ( ).fx解：， 00( )(0)10limlimsin0 xxf xffxxx， 22000( )(0)ln(1)0limlimlim0 xxxf xfxxfxxx所以，即。2112 sincos0( )00201xxxx fxxxxx 2112 sincos0 ( )201xxxxfxxxx

26、 5. 求曲线的拐点.5 235( )33f xxx解：求导得 与 。2 310( )53fxxx1 3 31010101( )1333fxxx显然，当时不存在；当时，所以与是潜在拐点。下面0x ( )fx1x ( )0fx0x 1x 考察函数凹凸性的变化，不难看出 1x 10x 0x ( )fx( )0fx( )0fx( )0fx-_所以，与均为曲线的拐点。(0,0)41,3 三、计算不定积分：（每题 6 分，共 24 分）1。21 sin2(sincos )(sincos )sincossincossincosxxxdxdxxx dxxxCxxxx2。22 222arctanarctan1

27、1ln(1)arctan11122xxxdxxdxdxxxCxxx3：令，则221xdx xsinxt22x。2 2221 cos2111sinsin2arcsin1224221x dxxtxdxdxtCxxxC x 42 222 2222ln(1)ln(1)ln(1)211x dxxdxxxxxdxxx。2ln(1)22arctanxxxxC四、计算下列各题：（每小题 8 分，共 16 分）1. 设某商品的价格与需求量的关系为,PQ280PQ(1) 求时的需求弹性,并说明其经济意义.4P（2）求当价格为何值时,总收益最大？并求出此时的需求价格弹性. PRdE解：（1），故，这说明当价格时，若

28、价格222 80dPPEQQP 4320.580 16dPE4P上涨（下跌），则需求量近似减少（增加）。1%0.5%（2）我们知道时，总收益最大。由解得，所以当价格1dE R22280PP8041533P 时总收益最大。4153P 2. 设为的原函数,且,已知求( )F x( )f x( )( )(1)F xf xxx2(1),Fe ( )0,F x ( ).f x解：因为，所以给定条件等价于，两边关于求积分，则( )0F x ( )1 ( )(1)f x F xxxx，从而（） 。将代入可得ln( )2arctanF xxC2arctan( )xF xCe0C /2(1)Fe-_，所以 ，从

29、而 。1C 2arctan( )xF xe2arctan1( )( )(1)xf xF xexx 五、证明题：（每小题 5 分，共 10 分）2.当时, 证明：.0x (1)ln(1)arctan .xxx证明：令 ，则 ，当时显然( )(1)ln(1)arctanf xxxx22( )ln(1)1xfxxx0x 有 ，并且只有在时才有，所以在时为增函数。故当( )0fx0x ( )0fx( )f x0x 时有，也就是说当时, 。0x ( )(0)0f xf0x (1)ln(1)arctanxxx2. 设)(xf 连续且，试证明是的极小值点。( )lim8 xafx xaax )(xf证明：由

30、知。又)(xf 连续，所以。根据定义有( )lim8 xafx xalim( )0 xafx ( )0fa，由第二充分条件即可知是的极小( )( )( )( )limlim80 xaxafxfafxfaxaxaax )(xf值点。二季一、填空题（每小题 4 分，本题共 20 分） 1 2 , 1() 1, 2(21 21xycx sin3二、单项选择题（每小题 4 分，本题共 20 分）C B D A B 三、 （本题共 44 分，每小题 11 分）解：原式 11 分32 12lim) 1)(4()2)(4(lim 44 xx xxxxxx解： 9 分xyx3cos32ln211 分 dxxd

31、yx)3cos32ln2(解：= 11 分xxxdcoscxxxxxsxxcossindinsin4解：xxxdln51e1eexxx121)5ln(1101)5ln)d(15ln(15111 分27) 136(101-_四、应用题（本题 16 分）解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知xhy2232,32xhhxxxxxxxhxy12832442 222令，解得是惟一驻点，易知是函数的极小值点，此时有012822xxy4x4x，所以当，时用料最省 24322h4x2h微积分初步期末试题选（一）微积分初步期末试题选（一）1 1填空题填空题（1） 答案：且.2x3x（2）答案：2 , 1()

32、 1, 2(（3）答案：3)(2 xxf（4）答案：1k（5）答案：1)(2 xxf（6）答案：1x（7）答案：1（8）答案：2k2 2单项选择题单项选择题（1）答案：B （2）答案：C （3）答案：D （4）答案：C （5） 答案：D （6） 答案：B （7）答案：A3 3计算题计算题（1） 解：41 21lim)2)(2() 1)(2(lim423lim 22222xx xxxx xxxxxx（2） 解：23 46 13lim) 1)(3()3)(3(lim329lim 33223xx xxxx xxxxxx（3）解：32 12lim) 1)(4()2)(4(lim4586lim 4422

33、4xx xxxx xxxxxxx微积分初步期末试题选（二）微积分初步期末试题选（二）1 1填空题填空题-_（1）答案： 21（2）答案： 1 xy（3）答案： ，=27（3ln33)(2xxxf)3(f )3ln1（4）答案：，=xxf1)()(xf 21 x（5）答案：，xxxxf ee2)( )0(f22.2.单项选择题单项选择题（1）答案：C （2）答案：B （3）答案：D （4）答案：C3 3计算题计算题（1）解： )1(ee221 21xxxyxx) 12(e1 xx（2）解： )sin(cos34cos42xxxyxxx2cossin34cos4（3）解：2121(21exxyx（

34、4）解： )sin(cos1 2321 xxxyxxtan2321 微积分初步期末试题选（三）微积分初步期末试题选（三）1 1填空题填空题（1）答案：), 1 ( （2）答案：0a2 2单项选择题单项选择题（1）答案：D （2）答案：C （3）答案： B （4）答案：B3 3应用题应用题解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知xhy22108,108xhhxxxxxxxhxy432108442 222令，解得是唯一驻点， 043222xxy6x-_且，04322263 xxy说明是函数的极小值点，所以当，用料最省.6x6x361082h解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有xhS24 x

35、h 所以 ,164)(22 xxxhxxS2162)(xxxS令，得， 0)( xS2x因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的面积最小. 1, 2hx此时的费用为 （元） 1604010)2(S微积分初步期末试题选（四）微积分初步期末试题选（四）1 1填空题填空题（1）答案： （2）答案： x2x2cos2（3）答案： （4）答案：cx sincx2e（5）答案： （6）答案：cx sincxF )32(21（7）答案： （8） 答案：cxF)1 (212 32（9）答案：0 （10）答案：212 2单项选择题单项选择题（1）答案：C （2）答案：D （3）答案：A （4）答

36、案：A（5） 答案：A （6）答案：D3 3计算题计算题（1）解：cxxxxx111010) 12(221) 1d(2) 12(21d) 12(（2）解：cxxxxxx1cos1d1sind1sin2（3）cxdxxxxx e2e2de-_(4)解：)ed(4)e4(d)e4(e22ln022ln0xxxxx=3130)125216(31)e4(312ln03x(5);27) 136(101)ln51 (101)ln51 ()ln51 (51dln51121e1eexxdxxxx(6)解：1eedeede10101010xxxxxxxx(7) 解：1sindcoscosdsin2 02 02

37、02 0 xxxxxxxx微积分初步期末试题选（五）微积分初步期末试题选（五）1 1填空题填空题(1)答案： (2)答案：12xy42a(3) 答案： (4)答案： (5)答案：4xyexcy3e2.2.单项选择题单项选择题(1) 答案：A (2) 答案：D (3) 答案：C (4) 答案：B三季三季一、一、 选择题选择题 ( (选出每小题的正确选项，每小题分，共计选出每小题的正确选项，每小题分，共计 1010 分分) )1C； 2 D； 3.B C; 4.A; 5.B C.二、二、填空题（每小题填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1818 分）分）1. 2 3 1 2yx 21 lnCxx4X=2,极小值 5上升 2% 6221dy dxx三、计算题（每小题三、计算题（每小题 6 6 分，共分，共 4242 分）：分）：1 1、求 1 1 ln(ln )limxxex解