第04讲 向量的数量积（原卷版）-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第二册）.docx

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1、第9章平面向量第04讲 向量的数量积 课程标准重难点1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会计算平面向量的数量积4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.5.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明1.数量积的几何意义2.投影向量3.数量积的相关运算与证明知识点一向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos 叫作向量a和b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0.思考若a0，且ab0，是否能推出b0?答案在实数中，若a0，且ab0，则b0；但是

2、在数量积中，若a0，且ab0，不能推出b0.因为其中a有可能垂直于b.知识点二投影向量设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)所示，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述由向量a得到向量1的变换称为向量a向向量b投影，向量1称为向量a在向量b上的投影向量知识点三平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为，e是与b方向相同的单位向量则(1)aeea|a|cos .(2)abab0.(3)当ab时，ab特别地，aa|a|2或|a|.(4)|ab|a|b|.知识点五平面向量数量积的运算律对于向量a，b，c和实数，有(1)abba(交换律)(2)(a)

3、ba(b)(ab)ab(数乘结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)思考若abbc，是否可以得出结论ac?答案不可以已知实数a，b，c(b0)，则abbcac，但是abbc推不出ac.理由如下：如图，ab|a|b|cos |b|OA|，bc|b|c|cos |b|OA|.所以abbc，但是ac.知识点六平面向量数量积的运算性质类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质多项式乘法向量数量积(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)(ab)a2b2(ab)(ab)a2b2(abc)2a2b2c22ab2bc2ca(ab

4、c)2a2b2c22ab2bc2ca考法01 求两向量的数量积例 1已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).【方法总结】定义法求平面向量的数量积若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos .运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件【跟踪训练】1.在等腰直角三角形ABC中，ABBC4，则_，_，_.考法02 投影向量例 2已知|a|3，|b|1，向量a与向量b的夹角为120，求a在b上的投影向量延伸探究本例改为求b在a上的投影向量【方法总结】投影向量的求法(1)非零向量共线是指向量的方向相同

5、或相反(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线【跟踪训练】1. 已知|a|12，|b|8，ab24，求a在b上的投影向量考法03 向量的数量积的运算性质例 3(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是()A. acbc(ab)cB(bc)a(ca)b不与c垂直C|a|b|ab|D(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2【方法总结】向量的数量积ab与实数a，b的乘积ab有联系，同时也有许多不同之处例如，由ab0并不能得出a0或b0.特别是向量的数量积不满足结合律【跟踪训练】给出下列结论：若abac，则bc；(ab)(ab)|a|2|b|2；(ab)

6、2|a|22|a|b|b|2.其中正确的是_(填序号)考法04 求向量的模和向量的夹角例 4(1)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.(2)已知非零向量a，b满足|a|1，且(ab)(ab).求|b|；当ab时，求向量a与a2b的夹角的值【素养提升】(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2|a|2，即|a|，勿忘记开方(2)求向量的夹角，主要是利用公式cos 求出夹角的余弦值，从而求得夹角可以直接求出ab的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，ab三者之间的关系，然后代入求解【方法总结】解决有关垂直问题时利用abab0(a，b为非零向量)【

7、跟踪训练】1.已知向量a，b满足|a|b|1，且|3a2b|，求a，b的夹角考法05 与垂直有关的问题例 5已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n(tmn)，则实数t的值为()A4 B4 C. D【跟踪训练】解决有关垂直问题时利用abab0(a，b为非零向量)题组A 基础过关练一、单选题1如图，正六边形的边长为2，动点从顶点出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点，若的最大值和最小值分别是，则（ ）A9B10C11D122若向量，则与的夹角余弦值为（ ）ABCD3将单位向量向右平移得到向量，点在线段上，已知，则（ ）ABCD4如图，平面四边形ABCD中，则（ ）ABCD

8、2二、多选题5在中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C点），则下列说法正确的是（ ）AB若F为AE的中点，则C若，则D若，且，则6对平面向量，有（ ）A若和为单位向量，则B若，则C若，在上的投影向量为，则的值为2D已知，为实数，若，则与共线7如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，E为CD的中点，AE与DB交于F，则（ ）A在方向上的投影为0BCD三、填空题81955年10月29日新疆克拉玛依1号油井出油，标致着新中国第一个大油田的诞生，克拉玛依大油泡是一号油井广场上的标志性建筑，成为市民与游客的打卡网红地，形状为椭球型，中心截面为椭圆，已知动点在椭圆上，若

9、点A的坐标为，点满足，则的最小值是_.9在矩形中，已知，（为正常数），为边的中点，是对角线上的动点（含端点），若的取值范围为，则_.四、解答题题组B 能力提升练一、单选题1在平行四边形中，点，满足，且，设，则（ ）ABC2D2回旋镖（Boomerang）曾是澳大利亚土著人的传统狩猎工具，今在澳大利亚回旋镖是相当受欢迎的运动项目.四叶回旋镖可看作是由如图所示的四个相同的直角梯形围成，其中，若点H满足，则向量与的夹角为（ ）ABCD3已知A，B，C，D在同一平面上，其中，若点B，C，D均在面积为的圆上，则（ ）A4B2C4D24已知向量，则（ ）A0BCD二、多选题5如图，在平行四边形中，已知，分

10、别是靠近，的四等分点，则（ ）ABCD6（多选）已知向量，均为单位向量，且，则以下结论正确的是（ ）ABCD三、填空题7已知单位向量满足，若，则_8已知向量在正方形网格（小正方形的边长为1）中的位置如图所示则向量在向量上的投影的数量为_四、解答题9已知与的夹角都是，计算：（1）；（2）.题组C 培优拔尖练一、单选题1已知正六边形的边长为2，当时，的最大值为（ ）A6B12C18D2定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）ABCD若，则二、多选题3“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，的面积分别为，则.若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足.则（ ）A为的外心BCD4已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（ ）ABC的最大值为D设，则三、填空题5已知空间向量，且，.则对任意的实数，的最小值为_.6在锐角中，若点为的外心，且，则的最大值为_.学科网（北京）股份有限公司