第04讲 向量的数量积（解析版）-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第二册）.docx

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1、第9章平面向量第04讲 向量的数量积 课程标准重难点1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会计算平面向量的数量积4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.5.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明1.数量积的几何意义2.投影向量3.数量积的相关运算与证明知识点一向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos 叫作向量a和b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0.思考若a0，且ab0，是否能推出b0?答案在实数中，若a0，且ab0，则b0；但是

2、在数量积中，若a0，且ab0，不能推出b0.因为其中a有可能垂直于b.知识点二投影向量设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)所示，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述由向量a得到向量1的变换称为向量a向向量b投影，向量1称为向量a在向量b上的投影向量知识点三平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为，e是与b方向相同的单位向量则(1)aeea|a|cos .(2)abab0.(3)当ab时，ab特别地，aa|a|2或|a|.(4)|ab|a|b|.知识点五平面向量数量积的运算律对于向量a，b，c和实数，有(1)abba(交换律)(2)(a)

3、ba(b)(ab)ab(数乘结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)思考若abbc，是否可以得出结论ac?答案不可以已知实数a，b，c(b0)，则abbcac，但是abbc推不出ac.理由如下：如图，ab|a|b|cos |b|OA|，bc|b|c|cos |b|OA|.所以abbc，但是ac.知识点六平面向量数量积的运算性质类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质多项式乘法向量数量积(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)(ab)a2b2(ab)(ab)a2b2(abc)2a2b2c22ab2bc2ca(ab

4、c)2a2b2c22ab2bc2ca考法01 求两向量的数量积例 1已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).【解析】(1)与的夹角为60，|cos 6011.(2)与的夹角为120，|cos 12011.(3)与的夹角为60，|cos 6011.【方法总结】定义法求平面向量的数量积若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos .运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件【跟踪训练】1.在等腰直角三角形ABC中，ABBC4，则_，_，_.【答案】01616【解析】由题意，得|4，|4，|4，所以

5、44cos 900，44cos 13516，44cos 13516.考法02 投影向量例 2已知|a|3，|b|1，向量a与向量b的夹角为120，求a在b上的投影向量【解析】|b|1，b为单位向量a在b上的投影向量为|a|cos 120b3bb.延伸探究本例改为求b在a上的投影向量【解析】|a|3，a，b在a上的投影向量为|b|cos 120 1aa.【方法总结】投影向量的求法(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线【跟踪训练】1. 已知|a|12，|b|8，ab24，求a在b上的投影向量【解析】ab|a|b|cos ，cos ，a在b上的投影

6、向量为|a|cos 12bb.考法03 向量的数量积的运算性质例 3(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是()A. acbc(ab)cB(bc)a(ca)b不与c垂直C|a|b|ab|D(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2【答案】ACD【解析】根据数量积的分配律知A正确；(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，(bc)a(ca)b与c垂直，B错误；a，b不共线，|a|，|b|，|ab|组成三角形，|a|b|ab|成立，C正确；D正确故正确结论的选项是ACD.【方法总结】向量的数量积ab与实数a，b的乘积ab有联系，同时也有许多不

7、同之处例如，由ab0并不能得出a0或b0.特别是向量的数量积不满足结合律【跟踪训练】给出下列结论：若abac，则bc；(ab)(ab)|a|2|b|2；(ab)2|a|22|a|b|b|2.其中正确的是_(填序号)【答案】【解析】由向量数量积的性质和运算律知，错误，正确考法04 求向量的模和向量的夹角例 4(1)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.【答案】2【解析】方法一|a2b|2.方法二(数形结合法)由|a|2b|2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.(2)已知非零向量a，b满足|a|1，且(ab

8、)(ab).求|b|；当ab时，求向量a与a2b的夹角的值【解析】因为(ab)(ab)，即a2b2，即|a|2|b|2，所以|b|2|a|21，故|b|.因为|a2b|2|a|24ab|2b|21111，故|a2b|1.又因为a(a2b)|a|22ab1，所以cos ，又0，故.【素养提升】(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2|a|2，即|a|，勿忘记开方(2)求向量的夹角，主要是利用公式cos 求出夹角的余弦值，从而求得夹角可以直接求出ab的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，ab三者之间的关系，然后代入求解【方法总结】解决有关垂直问题时利用abab0(a，b

9、为非零向量)【跟踪训练】1.已知向量a，b满足|a|b|1，且|3a2b|，求a，b的夹角【解析】设a与b的夹角为，由题意得(3a2b)27，9|a|24|b|212ab7，又|a|b|1，ab，|a|b|cos ，即cos .又0，a，b的夹角为.考法05 与垂直有关的问题例 5已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n(tmn)，则实数t的值为()A4 B4 C. D【答案】B【解析】由题意知，所以mn|n|2n2，因为n(tmn)0，所以tmnn20，即tn2n20，所以t4.【跟踪训练】解决有关垂直问题时利用abab0(a，b为非零向量)题组A 基础过关练一、单

10、选题1如图，正六边形的边长为2，动点从顶点出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点，若的最大值和最小值分别是，则（ ）A9B10C11D12【答案】D【解析】连接，在正六边形中，正六边形的边长为2，因为当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，所以当在上运动时，取得最大值，为，当移动到点时，取得最小值，为0 ，故选：D.2若向量，则与的夹角余弦值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由，则，设与的夹角余弦值为，所以.故选：C3将单位向量向右平移得到向量，点在线段上，已知，则（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，所以，则又，所以，从而，且，所以故选：A4如图，平面四边形ABCD中，则

11、（ ）ABCD2【答案】B【解析】法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，由，则且，又，即，由，有，解得，故.法二：如图，过C作交AB的延长线于E，作交AD的延长线于F，.由，及，易知：B是线段AE的中点，于是.由，得，易知，则，故，于是，又，即.法三：设，由，得，由，得，又，则.又，于是，故.故选：B.二、多选题5在中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C点），则下列说法正确的是（ ）AB若F为AE的中点，则C若，则D若，且，则【答案】ACD【解析】对于A，取的中点，则也是的中点，则有，所以，故A正确；对

12、于B，若F为AE的中点，则，故B错误；对于C，因为D，E分别为线段BC上的两个三等分点，所以，故C正确；对于D，由A选项得，由，因为，所以，即，因为，所以，平分，在中，所以，所以为等边三角形，所以，故选：D.故选：ACD.6对平面向量，有（ ）A若和为单位向量，则B若，则C若，在上的投影向量为，则的值为2D已知，为实数，若，则与共线【答案】BC【解析】向量既有大小又有方向，单位向量只是知道向量长度，不知道方向与可能相等也可能不相等，A错，或，所以，共线，B对对于C，因为，在上的投影向量为，所以，所以，所以C正确，若，使得，则与可共线也可不共线，D错故选：BC7如图，平行四边形ABCD中，AB=

13、2，AD=4，E为CD的中点，AE与DB交于F，则（ ）A在方向上的投影为0BCD【答案】AB【解析】平行四边形中，所以，所以，为的中点，与交于，所以在方向上的投影为0，所以A正确；，所以B正确；，所以C不正确；因为，所以，所以D不正确.故选：AB三、填空题81955年10月29日新疆克拉玛依1号油井出油，标致着新中国第一个大油田的诞生，克拉玛依大油泡是一号油井广场上的标志性建筑，成为市民与游客的打卡网红地，形状为椭球型，中心截面为椭圆，已知动点在椭圆上，若点A的坐标为，点满足，则的最小值是_.【答案】【解析】因为，所以点M的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆，因为，所以，要想使最小，只需最小，设

14、，则，其中，因为，所以当时，取得最小值，此时.故答案为：9在矩形中，已知，（为正常数），为边的中点，是对角线上的动点（含端点），若的取值范围为，则_.【答案】1【解析】以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则，有，由得：，而的取值范围为，于是得，而 m为正数，解得：，所以.故答案为：1四、解答题10在等腰三角形ABC中，D为BC的中点（1）求在上的投影向量；（2）求在上的投影向量【解析】（1）如图，D为BC的中点则，所以，在上的投影为，在上的投影向量为；（2）在上的投影为，在上的投影向量为题组B 能力提升练一、单选题1在平行四边形中，点，满足，且，设，则（ ）ABC2D【

15、答案】B【解析】由得是的中点，又由得，所以.故选：B.2回旋镖（Boomerang）曾是澳大利亚土著人的传统狩猎工具，今在澳大利亚回旋镖是相当受欢迎的运动项目.四叶回旋镖可看作是由如图所示的四个相同的直角梯形围成，其中，若点H满足，则向量与的夹角为（ ）ABCD【答案】C【解析】如图：过作，交于点，在直角梯形ABCD中，所以为正方形，所以为等腰直角三角形，即，同理可得.因为四叶回旋镖是由四个相同的直角梯形围成，所以B，D，E三点共线.因为，所以点H为线段FG的中点，又，所以向量与的夹角即与的夹角，为，故选：C.3已知A，B，C，D在同一平面上，其中，若点B，C，D均在面积为的圆上，则（ ）A4

16、B2C4D2【答案】A【解析】依题意，圆的半径为2，设圆心为O，因为，所以BD为圆的直径，因为，则是等边三角形，所以，所成角为60，所以故选：A4已知向量，则（ ）A0BCD【答案】B【解析】，向量夹角的范围是，.故选：B.二、多选题5如图，在平行四边形中，已知，分别是靠近，的四等分点，则（ ）ABCD【答案】AC【解析】对于A：，分别是靠近，的四等分点，A正确，对于B：是靠近的四等分点，B错误，对于C：是靠近的四等分点，C正确，对于D：D错误，故选：AC6（多选）已知向量，均为单位向量，且，则以下结论正确的是（ ）ABCD【答案】ABC【解析】由题意，向量，均为单位向量，且，则，解得，所以，

17、所以A正确，D不正确；由，所以B正确；由，所以C正确.故选：ABC三、填空题7已知单位向量满足，若，则_【答案】【解析】.故答案为：.8已知向量在正方形网格（小正方形的边长为1）中的位置如图所示则向量在向量上的投影的数量为_【答案】【解析】解：如图建立平面直角坐标系，则，则，所以向量在向量上的投影的数量为故答案为：.四、解答题9已知与的夹角都是，计算：（1）；（2）.【解析】（1）.（2）.题组C 培优拔尖练一、单选题1已知正六边形的边长为2，当时，的最大值为（ ）A6B12C18D【答案】B【解析】以为原点，为轴建立如图所示平面直角坐标系，正六边形的边长为，所以：， 令，下用列举法求得的所有

18、可能取值.11111241111-116111-11011-111-81-11110-1111122-1-1111-2-11-111-2-111-11-2-1111-1101-1-111-81-11-11-121-111-1-811-1-11-811-11-1-8111-1-14-1-1-111-2-1-11-11-14-1-111-1-14-11-1-11-2-11-11-1-6-111-1-1-21-1-1-1141-1-11-1-81-11-1-1-811-1-1-14-1-1-1-1110-1-1-11-1-6-1-11-1-1-14-11-1-1-161-1-1-1-116-1-1-

19、1-1-118由表格数据可知的最大值为，所以的最大值为.故选：B2定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）ABCD若，则【答案】D【解析】A，时，时，成立，时，综上，A不恒成立；B是一个实数，无意义，B不成立；C若，则，C错误；D若，则，所以，成立故选：D二、多选题3“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，的面积分别为，则.若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足.则（ ）A为的外心BCD【答案】BCD【解析】因为，同理，

20、故为的垂心，故A错误；，所以，又，所以，又，所以，故B正确；故，同理，延长交与点，则，同理可得，所以，故C正确；，同理可得，所以，又，所以，故D正确故选：BCD4已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（ ）ABC的最大值为D设，则【答案】BCD【解析】因为是平面上夹角为的两个单位向量，则设，所以，所以，即,圆心为，半径为；如图：A：，所以，故A错误；B：，所以，故B正确；C：，因为表示圆上的动点与定点之间的距离，所以最大值为点与圆心之间的距离加半径，而点与圆心之间的距离为，因此的最大值为，故C正确；D：因为，所以当与圆相切时，角最大，此时，当经过圆心时，最小，此时，所以，故D正确；故选：BCD.三、填空题5已知空间向量，且，.则对任意的实数，的最小值为_.【答案】6【解析】因为令，所以，所以，当，时等号成立所以的最小值为6故答案为：66在锐角中，若点为的外心，且，则的最大值为_.【答案】【解析】，整理得：设锐角外接圆的半径为，所以，则上式两边平方得：，其中，代入式，得：，整理得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立即，解得：或当时，此时，此时P点在ABC外部，ABC为钝角三角形，与题干矛盾，所以舍去，成立故答案为：学科网（北京）股份有限公司