人教版高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列的前n项和（1）课件 新人教A必修5.ppt

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1、等差数列的前等差数列的前n项和（一）项和（一）2021/8/9 星期一1教学目标 1、等差数列前n项和公式2、等差数列前n项和公式及其获取思路；3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题4、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用；熟练应用等差数列的求和公式。教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。2021/8/9 星期一2复习回顾(1)等差数列的通项公式等差数列的通项公式:已知首项已知首项a1和公差和公差d,则有则有:an=a1+(n-1)d

2、 已知第已知第m项项am和公差和公差d,则有则有:an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）(2)等差数列的性质等差数列的性质:在等差数列在等差数列an中中,如果如果m+n=p+q (m,n,p,q N),那么那么:an+am=ap+aq2021/8/9 星期一3 泰泰姬姬陵陵坐坐落落于于印印度度古古都都阿阿格格，是是十十七七世世纪纪莫莫卧卧儿儿帝帝国国皇皇帝帝沙沙杰杰罕罕为为纪纪念念其其爱爱妃妃所所建建，她她宏宏伟伟壮壮观观，纯纯白白大大理理石石砌砌建建而而成成的的主主体体建建筑筑叫叫人人心心醉醉神神迷迷，成成为为世世界界七七大大奇奇迹迹之之一一。陵陵寝寝以以宝宝石石镶镶饰饰，

3、图图案案之之细细致致令令人叫绝。人叫绝。传传说说陵陵寝寝中中有有一一个个三三角角形形图图案案，以以相相同同大大小小的的圆圆宝宝石石镶镶饰饰而而成成，共共有有100100层层（见见左图），奢靡之程度，可见一斑。左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现问题呈现 问题问题12021/8/9 星期一4探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？借助几何图形之借助几何图形之直观性，使用熟悉的直观性，使用熟悉的几何方法：把几何方法：把“全等全等三角形三角形”倒置，与原倒置，与原

4、图补成平行四边形。图补成平行四边形。2021/8/9 星期一5探究发现探究发现问题问题1：图案中，第：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？多少颗宝石？123212120191获得算法：获得算法：2021/8/9 星期一6问题问题2 一个堆放铅笔的一个堆放铅笔的V形架的最形架的最下面一层放一支铅笔，往上下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放一支，最上面一层放100支支.这个这个V形架上共放着多少支形架上共放着多少支铅笔？铅笔？问题就是问题就是 求求“1+2+3+4+100=？”2021/8/9 星期一7 问题问题2：对于这个

5、问题，德国著名数学家高斯：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）这个问题，可看成是求等差数列这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，n，的前的前100项的项的和。和。假设1+2+3+100=x,(1)那么100+99+98+1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101+101=2x,100个101所以x=5050.高斯高斯2021/8/9 星期一8问题问题3:求求:1+2+3+4+n=?记记:S=1+2 +3 +(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+3 +2 +12021/

6、8/9 星期一9设等差数列设等差数列a1,a2,a3,它的前它的前n 项和是项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2)由等差数列的性质由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由由(1)+(2)得得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+.即即 Sn=n(a1+an)/2 下面将对等差数列的前下面将对等差数列的前n项和公式进行推导项和公式进行推导2021/8/9 星期一10即前即前n项的和与首项末项及项数有项的和与首项末项及项数有关关若已知若已知a1，n，d，则如何表示，则如何表示S

7、n呢？呢？因为因为 an=a1+（n-1）d所以所以 Sn=na1+n(n-1)d/22021/8/9 星期一11由此得到等差数列的由此得到等差数列的 an 前前n n项和的公式项和的公式即：等差数列前即：等差数列前n项的和等于项的和等于首末项首末项的的和和与与项数项数乘乘积积的一半。的一半。上面的公式又可以写成上面的公式又可以写成由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。正所谓：知三求二2021/8/9 星期一12例例1 某长跑运动员某长跑运动员7天里每天的训练天里每天的训练量（单位：量（单位：

8、m）是：是：7500,8000,8500,9000,9500,10000,10500这位运动员这位运动员7天共跑了多少米？天共跑了多少米？解解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，记为记为an,其中其中 a1=7500,a7=10500.根据等差数列前根据等差数列前n项和公式，得项和公式，得答：这位长跑运动员答：这位长跑运动员7天共跑了天共跑了63000m.2021/8/9 星期一13例例2 等差数列等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是前多少项的和是54？本题实质是反用公式，解一本题实质是反用公式，解一个关于个关于n 的一元二次函数，注的一元

9、二次函数，注意得到的项数意得到的项数n 必须是正整数必须是正整数.2021/8/9 星期一14解解：将题中的等差数列记为：将题中的等差数列记为an，sn代表该数列代表该数列 的前的前n项和，则有项和，则有a1=10,d=6(10)=4 根据等差数列前根据等差数列前n项和公式：项和公式：解得解得n1=9,n=3(舍去舍去)因此等差数列因此等差数列10,6,2,2，前，前9项的和项的和是是54.设该数列前设该数列前n 项和为项和为542021/8/9 星期一15例例3 求集合求集合M=m|m=7n,n是正整数是正整数,且且m100的元素个数的元素个数,并求这些元素的和并求这些元素的和.解解:由由7

10、n100得得 n1007,由于满足它的正整数由于满足它的正整数n共有共有14个个,集合集合M中的元素共有中的元素共有14个个.即即7,14,21,91,98.这是一个等差数列这是一个等差数列,各项的和是各项的和是答答:集合集合M中的元素共有中的元素共有14个个,它们的和为它们的和为735.=7352021/8/9 星期一16公式应用公式应用知三求二知三求二例例之之解解:利用利用a1=a20=再根据再根据在等差数列在等差数列 中中,已知已知:,求求 及及 .2021/8/9 星期一17练练 习习 一一根据条件，求相应等差数列根据条件，求相应等差数列an的的Sn:a1=5,an=95,n=10;a1=100,d=2,n=50;答案：答案：500；2550；2021/8/9 星期一18练练 习习 二二(2004.全国文全国文)等差数列等差数列 的前的前 项项和记为和记为 .已知已知 ,.(1)求通项求通项 ;(2)令令 ,求求 .2021/8/9 星期一19 1.推导等差数列前推导等差数列前 n项和公式的方法项和公式的方法小结：小结：2.公式的应用中的数学思想公式的应用中的数学思想.-倒序相加法倒序相加法-方程思想方程思想3.公式中五个量公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知已知其中三个量，可以求其余两个其中三个量，可以求其余两个-知三求二知三求二2021/8/9 星期一20